第2章一次元の運動Motion in One Dimension原書 p.55–96

SECTION LEARNING OBJECTIVES By the end of this section, you will be able to do the following:

この節の学習目標 この節を終えると、次のことができるようになる。

• Describe motion in different reference frames• Define distance and displacement, and distinguish between the two• Solve problems involving distance and displacement

・異なる基準系での運動を記述する・道のりと変位を定義し、両者を区別する・道のりと変位に関する問題を解く

Our study of physics opens with kinematics—the study of motion without considering its causes. Objects are in motion everywhere you look. Everything from a tennis game to a space-probe flyby of the planet Neptune involves motion. When you are resting, your heart moves blood through your veins. Even in inanimate objects, atoms are always moving.

物理学の学習は運動学から始まる。運動学とは、運動の原因には立ち入らず、物体がどのように動くかを記述する学問である。私たちの周囲には、いたるところに運動がある。テニスの試合にも、海王星の近くを通過する探査機にも運動が関わっている。休んでいるときも、心臓は血液を血管へ送り出している。生命のない物体の内部でも、原子は絶えず動いている。

How do you know something is moving? The location of an object at any particular time is its position. More precisely, you need to specify its position relative to a convenient reference frame. Earth is often used as a reference frame, and we often describe the position of an object as it relates to stationary objects in that reference frame. For example, a rocket launch would be described in terms of the position of the rocket with respect to Earth as a whole, while a professor’s position could be described in terms of where she is in relation to the nearby white board. In other cases, we use reference frames that are not stationary but are in motion relative to Earth. To describe the position of a person in an airplane, for example, we use the airplane, not Earth, as the reference frame. (See Figure 2.2.) Thus, you can only know how fast and in what direction an object's position is changing against a background of something else that is either not moving or moving with a known speed and direction. The reference frame is the coordinate system from which the positions of objects are described.

何かが動いているとどうしてわかるのか。ある時刻における物体の場所が、その位置である。もっと正確に言えば、都合のよい基準系に対する位置を定める必要がある。地球はしばしば基準系として使われ、私たちはその基準系の中で静止した物との関係で物体の位置を述べることが多い。たとえばロケットの打ち上げなら、地球全体に対するロケットの位置として記述されるだろうし、教師の位置なら、近くのホワイトボードとの関係で述べられるだろう。場合によっては、静止しておらず地球に対して動いている基準系を使うこともある。たとえば飛行機の中の人の位置を述べるには、地球ではなく飛行機を基準系にする(図2.2を見よ)。つまり、物体の位置がどれくらいの速さで、どの向きに変わっているかを知るには、動いていない何か、あるいは速さと向きが分かっている何かを背景に置くしかない。基準系とは、物体の位置を記述するもとになる座標系のことである。

Your classroom can be used as a reference frame. In the classroom, the walls are not moving. Your motion as you walk to the door, can be measured against the stationary background of the classroom walls. You can also tell if other things in the classroom are moving, such as your classmates entering the classroom or a book falling off a desk. You can also tell in what direction something is moving in the classroom. You might say, “The teacher is moving toward the door.” Your reference frame allows you to determine not only that something is moving but also the direction of motion.

教室を基準系として使うことができる。教室の中で壁は動かない。あなたが戸口へ歩いていく運動は、動かない教室の壁を背景にして測れる。教室に入ってくる級友や、机から落ちる本など、教室の中の他のものが動いているかどうかもわかる。教室の中で何がどちらの向きに動いているかもわかる。「先生が戸口のほうへ動いている」と言えるだろう。基準系があるから、何かが動いていることだけでなく、その向きまで決められるのである。

You could also serve as a reference frame for others’ movement. If you remained seated as your classmates left the room, you would measure their movement away from your stationary location. If you and your classmates left the room together, then your perspective of their motion would be change. You, as the reference frame, would be moving in the same direction as your other moving classmates. As you will learn in the Snap Lab, your description of motion can be quite different when viewed from different reference frames.

あなた自身が、他人の運動の基準系になることもできる。級友たちが教室を出ていく間あなたが座ったままなら、あなたは、動かない自分の位置から遠ざかっていく彼らの運動を測ることになる。もし級友たちと一緒に教室を出れば、彼らの運動の見え方は変わる。基準系であるあなたは、動いている級友たちと同じ向きに動いていることになる。身近な実験で学ぶように、運動の記述は、どの基準系から見るかによってまるで違ったものになりうる。

The idea that a description of motion depends on the reference frame of the observer has been known for hundreds of years. The 17^th-century astronomer Galileo Galilei (Figure 2.3) was one of the first scientists to explore this idea.

運動の記述が観測者の基準系に依存するという考えは、何百年も前から知られていた。17世紀の天文学者ガリレオ・ガリレイ(図2.3)は、この考えを探究した最初期の科学者の一人である。

Galileo suggested the following thought experiment: Imagine a windowless ship moving at a constant speed and direction along a perfectly calm sea. Is there a way that a person inside the ship can determine whether the ship is moving? You can extend this thought experiment by also imagining a person standing on the shore. How can a person on the shore determine whether the ship is moving?

ガリレオは次のような思考実験を示した。まったく波のない海を、一定の速さと向きで進む窓のない船を想像してほしい。船の中にいる人が、船が動いているかどうかを判定する方法はあるだろうか。この思考実験は、岸に立つ人を加えることで広げられる。岸にいる人は、船が動いているかどうかをどうやって判定できるだろうか。

Galileo came to an amazing conclusion. Only by looking at each other can a person in the ship or a person on shore describe the motion of one relative to the other. In addition, their descriptions of motion would be symmetric or opposite. A person inside the ship would describe the person on the land as moving past the ship. The person on shore would describe the ship and the person inside it as moving past. Galileo realized that observers moving at a constant speed and direction relative to each other describe motion in the same way. Galileo had discovered that a description of motion is only meaningful if you specify a reference frame.

ガリレオは驚くべき結論に達した。船の中の人も岸の人も、互いを見ることによってのみ、相手に対する自分の運動を述べられる。しかも二人の運動の記述は、対称、すなわち互いに逆になる。船の中の人は、岸の人が船のそばを通り過ぎていくと述べるだろう。岸の人は、船とその中の人が通り過ぎていくと述べるだろう。ガリレオは、互いに一定の速さと向きで動いている観測者たちは、運動を同じしかたで記述することに気づいた。ガリレオが発見したのは、運動の記述は基準系を定めて初めて意味を持つ、ということだった。

Imagine standing on a platform watching a train pass by. According to Galileo’s conclusions, how would your description of motion and the description of motion by a person riding on the train compare?

プラットフォームに立って列車が通り過ぎるのを見ているとしよう。ガリレオの結論によれば、あなたの運動の記述と、列車に乗っている人の記述は、どう対応するか。

Distance vs. Displacement As we study the motion of objects, we must first be able to describe the object’s position. Before your parent drives you to school, the car is sitting in your driveway. Your driveway is the starting position for the car. When you reach your high school, the car has changed position. Its new position is your school.

道のりと変位 物体の運動を調べるには、まずその物体の位置を記述できなければならない。親の車で学校へ送ってもらう前、車は家の私道に止まっている。私道が車の出発位置である。高校に着いたとき、車の位置は変わっている。新しい位置はあなたの学校である。

Physicists use variables to represent terms. We will use d to represent car’s position. We will use a subscript to differentiate between the initial position, d₀, and the final position, d_f. In addition, vectors, which we will discuss later, will be in bold or will have an arrow above the variable. Scalars will be italicized.

物理学者は用語を変数で表す。ここでは車の位置をdで表す。初めの位置d₀と終わりの位置d_fを区別するために添字を使う。さらに、あとで扱うベクトルは太字にするか、変数の上に矢印を付けて表す。スカラーは斜体にする。

Now imagine driving from your house to a friend's house located several kilometers away. How far would you drive? The distance an object moves is the length of the path between its initial position and its final position. The distance you drive to your friend's house depends on your path. As shown in Figure 2.5, distance is different from the length of a straight line between two points. The distance you drive to your friend's house is probably longer than the straight line between the two houses.

今度は、数キロメートル離れた友人の家まで車で行くところを想像してほしい。どれだけ走ることになるだろうか。物体が動いた道のりとは、初めの位置と終わりの位置を結ぶ経路の長さのことである。友人の家まで走る道のりは、どの道を通るかによって変わる。図2.5に示すように、道のりは2点を結ぶ直線の長さとは違う。友人の家まで車で走る道のりは、二軒を結ぶ直線よりおそらく長い。

We often want to be more precise when we talk about position. The description of an object’s motion often includes more than just the distance it moves. For instance, if it is a five kilometer drive to school, the distance traveled is 5 kilometers. After dropping you off at school and driving back home, your parent will have traveled a total distance of 10 kilometers. The car and your parent will end up in the same starting position in space. The net change in position of an object is its displacement, or $\text{Δ}d\text{.}$ The Greek letter delta, $\text{Δ}$, means change in.

位置について語るときは、もっと厳密でありたいことが多い。物体の運動の記述には、動いた道のり以上のものが含まれることが多い。たとえば学校まで5キロメートルの道のりなら、進んだ道のりは5キロメートルである。あなたを学校で降ろして家に帰れば、親は合計10キロメートルの道のりを進んだことになる。車も親も、空間の中では出発したのと同じ位置に戻る。物体の位置の正味の変化が変位であり、$\text{Δ}d$で表す。ギリシャ文字のデルタ$\text{Δ}$は「〜の変化」を意味する。

If you are describing only your drive to school and the route is a straight line, then the distance traveled and the displacement are the same—5 kilometers. When you are describing the entire round trip, distance and displacement are different. When you describe distance, you only include the magnitude, the size or amount, of the distance traveled. However, when you describe the displacement, you take into account both the magnitude of the change in position and the direction of movement.

学校へ行く道だけを述べていて、その道が直線なら、進んだ道のりと変位は同じ5キロメートルになる。往復全体を述べるときには、道のりと変位は違ってくる。道のりを述べるときは、進んだ道のりの大きさ、すなわちその量だけを含める。しかし変位を述べるときには、位置の変化の大きさと運動の向きの両方を考えに入れる。

In our previous example, the car travels a total of 10 kilometers, but it drives five of those kilometers forward toward school and five of those kilometers back in the opposite direction. If we ascribe the forward direction a positive (+) and the opposite direction a negative (–), then the two quantities will cancel each other out when added together.

先ほどの例では、車は合計10キロメートル進むが、そのうち5キロメートルは学校へ向かう向きに、残り5キロメートルは反対の向きに走っている。前向きを正(+)、反対向きを負(−)とすれば、二つの量は足し合わせたときに打ち消し合う。

A quantity, such as distance, that has magnitude (i.e., how big or how much) and sometimes a sign (e.g., electric charge, temperature in Celsius, or component of a vector) but does not take into account direction is called a scalar. A quantity, such as displacement, that has both magnitude and direction is called a vector. A vector with magnitude zero is a special case of a vector that has no direction.

道のりのように、向きを伴わず大きさで表される量をスカラーという。スカラーには、電荷やセルシウス温度、ベクトルの各成分のように、正負の符号をとるものもある。変位のように、大きさと向きを持つ量をベクトルという。大きさが0のベクトルは例外で、その向きは定まらない。

Vectors & Scalars This video (https://openstax.org/l/28vectorscalar) introduces and differentiates between vectors and scalars. It also introduces quantities that we will be working with during the study of kinematics.

ベクトルとスカラー この動画(https://openstax.org/l/28vectorscalar)は、ベクトルとスカラーを紹介し、両者の違いを説明する。運動学を学ぶ間に扱う量も紹介されている。

Intro to vectors & scalars | One-dimensional motion | Physics | Khan Academy (https://openstax.org/l/ 28vectorscalar)

ベクトルとスカラーの入門|一次元の運動|物理|カーンアカデミー(https://openstax.org/l/28vectorscalar)

How does this video (http://openstax.org/l/28vectorscalar) help you understand the difference between distance and displacement? Describe the differences between vectors and scalars using physical quantities as examples.

この動画(http://openstax.org/l/28vectorscalar)は、道のりと変位の違いを理解するのにどう役立つか。物理量を例に使って、ベクトルとスカラーの違いを述べよ。

Displacement Problems Hopefully you now understand the conceptual difference between distance and displacement. Understanding concepts is half the battle in physics. The other half is math. A stumbling block to new physics students is trying to wade through the math of physics while also trying to understand the associated concepts. This struggle may lead to misconceptions and answers that make no sense. Once the concept is mastered, the math is far less confusing.

変位の問題道のりと変位の違いは理解できただろうか。物理を学ぶには、概念の理解と数学による計算の両方が必要になる。初めて学ぶ人は、概念がまだ曖昧なまま計算も進めようとして、つまずきやすい。その結果、誤解したまま計算したり、物理的に意味のない答えを出したりしてしまう。まず概念を理解すれば、式や計算もずっと見通しよく扱える。

So let’s review and see if we can make sense of displacement in terms of numbers and equations. You can calculate an object's displacement by subtracting its original position, d₀, from its final position d_f. In math terms that means

では復習して、変位を数と式の言葉で理解できるか見てみよう。物体の変位は、終わりの位置d_fから初めの位置d₀を引けば計算できる。数式で書けば次のようになる。

If the final position is the same as the initial position, then $\text{Δ}d=0$ .

終わりの位置が初めの位置と同じなら、$\text{Δ}d=0$となる。

To assign numbers and/or direction to these quantities, we need to define an axis with a positive and a negative direction. We also need to define an origin, or O. In Figure 2.6, the axis is in a straight line with home at zero and school in the positive direction. If we left home and drove the opposite way from school, motion would have been in the negative direction. We would have assigned it a negative value. In the round-trip drive, d_f and d₀ were both at zero kilometers. In the one way trip to school, d_f was at 5 kilometers and d₀ was at zero km. So, $\Delta d$ was 5 kilometers.

これらの量に数や向きを割り当てるには、正の向きと負の向きを持つ軸を定めなければならない。原点Oも定める必要がある。図2.6では軸は直線で、家が0、学校が正の向きにある。家を出て学校と反対の方向へ走ったなら、運動は負の向きになり、負の値を与えることになる。往復の運転では、d_fもd₀もどちらも0キロメートルだった。学校までの片道では、d_fが5キロメートル、d₀が0キロメートルだった。したがって$\Delta d$は5キロメートルだった。

Calculating Distance and Displacement A cyclist rides 3 km west and then turns around and rides 2 km east. (a) What is her displacement? (b) What distance does she ride? (c) What is the magnitude of her displacement?

道のりと変位を計算する ある自転車乗りが西に3 km走り、向きを変えて東に2 km走る。(a)彼女の変位はいくらか。(b)進んだ道のりはいくらか。(c)変位の大きさはいくらか。

To solve this problem, we need to find the difference between the final position and the initial position while taking care to note the direction on the axis. The final position is the sum of the two displacements, $\text{Δ}{d}_1$ and $\text{Δ}{d}_2$ .

この問題を解くには、軸の向きに注意しながら、終わりの位置と初めの位置の差を求めればよい。終わりの位置は、二つの変位$\text{Δ}{d}_1$と$\text{Δ}{d}_2$の和である。

c. The magnitude of the displacement is 1 km. Discussion

c. 変位の大きさは1 kmである。 考察

The displacement is negative because we chose east to be positive and west to be negative. We could also have described the displacement as 1 km west. When calculating displacement, the direction mattered, but when calculating distance, the direction did not matter. The problem would work the same way if the problem were in the north–south or y-direction.

東を正、西を負としたので、変位は負になっている。この変位を「西へ1 km」と述べてもよかった。変位の計算では向きが効いたが、道のりの計算では向きは関係しなかった。問題が南北方向、すなわちy方向であっても、まったく同じように解ける。