第3章関数Functions

• A relation is a set of ordered pairs. A function is a specific type of relation in which each domain value, or input, leads to exactly one range value, or output. See Example 1 and Example 2.• Function notation is a shorthand method for relating the input to the output in the form $y=f\left(x\right).$ See Example 3 and Example 4.• In tabular form, a function can be represented by rows or columns that relate to input and output values. See Example 5.• To evaluate a function, we determine an output value for a corresponding input value. Algebraic forms of a function can be evaluated by replacing the input variable with a given value. See Example 6 and Example 7.• To solve for a specific function value, we determine the input values that yield the specific output value. See Example 8.• An algebraic form of a function can be written from an equation. See Example 9 and Example 10.• Input and output values of a function can be identified from a table. See Example 11.• Relating input values to output values on a graph is another way to evaluate a function. See Example 12.• A function is one-to-one if each output value corresponds to only one input value. See Example 13.• A graph represents a function if any vertical line drawn on the graph intersects the graph at no more than one point. See Example 14.• The graph of a one-to-one function passes the horizontal line test. See Example 15.

・関係とは順序対の集合である。関数はその特別な種類で、定義域の各値すなわち入力が、ちょうど一つの値域の値すなわち出力に至るものである。例1と例2を見よ。・関数の表記は、入力と出力を $y=f\left(x\right)$ の形で結びつける短い書き方である。例3と例4を見よ。・表の形では、関数は入力値と出力値を結びつける行または列で表せる。例5を見よ。・関数の値を求めるとは、ある入力値に対応する出力値を決めることである。代数の形の関数は、入力の変数を与えられた値に置き換えれば値を求められる。例6と例7を見よ。・決まった関数の値について解くには、その出力値を生む入力値を求める。例8を見よ。・代数の形の関数は、方程式から書ける。例9と例10を見よ。・関数の入力値と出力値は、表から読み取れる。例11を見よ。・グラフ上で入力値と出力値を結びつけるのも、関数の値を求める一つの方法である。例12を見よ。・各出力値がただ一つの入力値に対応するとき、その関数は一対一である。例13を見よ。・グラフに引いたどの縦線もグラフと一点でしか交わらないなら、そのグラフは関数を表す。例14を見よ。・一対一の関数のグラフは横線の判定法を通る。例15を見よ。

• The domain of a function includes all real input values that would not cause us to attempt an undefined mathematical operation, such as dividing by zero or taking the square root of a negative number.• The domain of a function can be determined by listing the input values of a set of ordered pairs. See Example 1.• The domain of a function can also be determined by identifying the input values of a function written as an equation. See Example 2, Example 3, and Example 4.• Interval values represented on a number line can be described using inequality notation, set-builder notation, and interval notation. See Example 5.• For many functions, the domain and range can be determined from a graph. See Example 6 and Example 7.• An understanding of toolkit functions can be used to find the domain and range of related functions. See Example 8, Example 9, and Example 10.• A piecewise function is described by more than one formula. See Example 11 and Example 12.• A piecewise function can be graphed using each algebraic formula on its assigned subdomain. See Example 13.

・関数の定義域には、0で割る、負の数の平方根をとるといった、定義されない計算をすることにならない実数の入力値がすべて入る。・関数の定義域は、順序対の集合の入力値を並べれば決められる。例1を見よ。・関数の定義域は、方程式で書かれた関数の入力値を見ても決められる。例2、例3、例4を見よ。・数直線上に示された区間の値は、不等式の書き方・集合の内包的な書き方・区間の書き方で述べられる。例5を見よ。・多くの関数では、定義域と値域はグラフから決められる。例6と例7を見よ。・道具となる関数を理解していれば、関連する関数の定義域と値域を求めるのに使える。例8、例9、例10を見よ。・区分けして定めた関数は、二つ以上の式で述べられる。例11と例12を見よ。・区分けして定めた関数のグラフは、各代数の式をそれぞれの部分定義域の上で使えば描ける。例13を見よ。

• A rate of change relates a change in an output quantity to a change in an input quantity. The average rate of change is determined using only the beginning and ending data. See Example 1.• Identifying points that mark the interval on a graph can be used to find the average rate of change. See Example 2.• Comparing pairs of input and output values in a table can also be used to find the average rate of change. See Example 3.• An average rate of change can also be computed by determining the function values at the endpoints of an interval described by a formula. See Example 4 and Example 5.• The average rate of change can sometimes be determined as an expression. See Example 6.• A function is increasing where its rate of change is positive and decreasing where its rate of change is negative. See Example 7.• A local maximum is where a function changes from increasing to decreasing and has an output value larger (more positive or less negative) than output values at neighboring input values.• A local minimum is where the function changes from decreasing to increasing (as the input increases) and has an output value smaller (more negative or less positive) than output values at neighboring input values.• Minima and maxima are also called extrema.• We can find local extrema from a graph. See Example 8 and Example 9.• The highest and lowest points on a graph indicate the maxima and minima. See Example 10.

・変化の割合は、入力の量の変化に対する出力の量の変化を結びつける。平均変化率は始めと終わりの値だけを使って求める。例1を見よ。・グラフ上で区間の端を示す点を見つければ、平均変化率を求められる。例2を見よ。・表の中の入力と出力の組を比べても、平均変化率を求められる。例3を見よ。・式で述べられた区間の両端での関数の値を求めても、平均変化率を計算できる。例4と例5を見よ。・平均変化率は、式として求められることもある。例6を見よ。・関数は、変化の割合が正のところで増加し、負のところで減少する。例7を見よ。・極大とは、関数が増加から減少に変わり、その出力値が隣り合う入力値での出力値より大きい(より正であるか、より負でない)ところである。・極小とは、(入力が増えるにつれて)関数が減少から増加に変わり、その出力値が隣り合う入力値での出力値より小さい(より負であるか、より正でない)ところである。・極小と極大を合わせて極値ともいう。・極値はグラフから求められる。例8と例9を見よ。・グラフのいちばん高い点といちばん低い点が、最大値と最小値を示す。例10を見よ。

• We can perform algebraic operations on functions. See Example 1.• When functions are composed, the output of the first (inner) function becomes the input of the second (outer) function.• The function produced by composing two functions is a composite function. See Example 2 and Example 3.• The order of function composition must be considered when interpreting the meaning of composite functions. See Example 4.• A composite function can be evaluated by evaluating the inner function using the given input value and then evaluating the outer function taking as its input the output of the inner function.• A composite function can be evaluated from a table. See Example 5.• A composite function can be evaluated from a graph. See Example 6.• A composite function can be evaluated from a formula. See Example 7.• The domain of a composite function consists of those inputs in the domain of the inner function that correspond to outputs of the inner function that are in the domain of the outer function. See Example 8 and Example 9.• Just as functions can be combined to form a composite function, composite functions can be decomposed into simpler functions.• Functions can often be decomposed in more than one way. See Example 10.

・関数には代数の計算を行える。例1を見よ。・関数を合成すると、一つ目(内側)の関数の出力が二つ目(外側)の関数の入力になる。・二つの関数を合成してできる関数が合成関数である。例2と例3を見よ。・合成関数の意味を読むときは、関数を合成する順序を考えなければならない。例4を見よ。・合成関数の値は、与えられた入力値で内側の関数の値を求め、その出力を入力として外側の関数の値を求めれば得られる。・合成関数の値は表から求められる。例5を見よ。・合成関数の値はグラフから求められる。例6を見よ。・合成関数の値は式から求められる。例7を見よ。・合成関数の定義域は、内側の関数の定義域の中で、その出力が外側の関数の定義域に入るような入力からなる。例8と例9を見よ。・関数を組み合わせて合成関数を作れるのと同じように、合成関数はより単純な関数に分解できる。・関数の分け方は一通りとは限らないことが多い。例10を見よ。

• A function can be shifted vertically by adding a constant to the output. See Example 1 and Example 2.• A function can be shifted horizontally by adding a constant to the input. See Example 3, Example 4, and Example 5.• Relating the shift to the context of a problem makes it possible to compare and interpret vertical and horizontal shifts. See Example 6.• Vertical and horizontal shifts are often combined. See Example 7 and Example 8.• A vertical reflection reflects a graph about the $x\text{-}$ axis. A graph can be reflected vertically by multiplying the output by –1.• A horizontal reflection reflects a graph about the $y\text{-}$ axis. A graph can be reflected horizontally by multiplying the input by –1.• A graph can be reflected both vertically and horizontally. The order in which the reflections are applied does not affect the final graph. See Example 9.• A function presented in tabular form can also be reflected by multiplying the values in the input and output rows or columns accordingly. See Example 10.• A function presented as an equation can be reflected by applying transformations one at a time. See Example 11.• Even functions are symmetric about the $y\text{-}$ axis, whereas odd functions are symmetric about the origin.• Even functions satisfy the condition $f(x)=f(-x).$• Odd functions satisfy the condition $f(x)=-f(-x).$• A function can be odd, even, or neither. See Example 12.• A function can be compressed or stretched vertically by multiplying the output by a constant. See Example 13, Example 14, and Example 15.• A function can be compressed or stretched horizontally by multiplying the input by a constant. See Example 16, Example 17, and Example 18.• The order in which different transformations are applied does affect the final function. Both vertical and horizontal transformations must be applied in the order given. However, a vertical transformation may be combined with a horizontal transformation in any order. See Example 19 and Example 20.

・出力に定数を足せば、関数を縦に平行移動できる。例1と例2を見よ。・入力に定数を足せば、関数を横に平行移動できる。例3、例4、例5を見よ。・移動を問題の文脈に結びつければ、縦と横の平行移動を比べて読み取れる。例6を見よ。・縦と横の平行移動はしばしば組み合わされる。例7と例8を見よ。・縦の対称移動はグラフを $x\text{-}$ 軸に関して折り返す。出力に –1 を掛ければ、グラフを縦に折り返せる。・横の対称移動はグラフを $y\text{-}$ 軸に関して折り返す。入力に –1 を掛ければ、グラフを横に折り返せる。・グラフは縦にも横にも折り返せる。折り返す順序は最終のグラフに影響しない。例9を見よ。・表の形で示された関数も、入力と出力の行または列の値にそれぞれ掛けることで折り返せる。例10を見よ。・方程式で示された関数は、変形を一つずつ当てることで折り返せる。例11を見よ。・偶関数は $y\text{-}$ 軸に関して対称であり、奇関数は原点に関して対称である。・偶関数は条件 $f(x)=f(-x)$ を満たす。・奇関数は条件 $f(x)=-f(-x)$ を満たす。・関数は奇関数か偶関数か、どちらでもないかのいずれかである。例12を見よ。・出力に定数を掛ければ、関数を縦に縮めたり伸ばしたりできる。例13、例14、例15を見よ。・入力に定数を掛ければ、関数を横に縮めたり伸ばしたりできる。例16、例17、例18を見よ。・違う変形を当てる順序は、最終の関数に影響する。縦の変形も横の変形も、与えられた順に当てなければならない。ただし縦の変形と横の変形は、どちらの順に組み合わせてもよい。例19と例20を見よ。

• Applied problems, such as ranges of possible values, can also be solved using the absolute value function. See Example 1.• The graph of the absolute value function resembles a letter V. It has a corner point at which the graph changes direction. See Example 2.• In an absolute value equation, an unknown variable is the input of an absolute value function.• If the absolute value of an expression is set equal to a positive number, expect two solutions for the unknown variable. See Example 3.

・ありうる値の範囲などの応用問題も、絶対値関数を使って解ける。例1を見よ。・絶対値関数のグラフは文字のVに似ている。グラフが向きを変える角の点がある。例2を見よ。・絶対値の方程式では、分からない変数が絶対値関数の入力になっている。・ある式の絶対値が正の数に等しいとおかれていれば、分からない変数の解は二つあると見込んでよい。例3を見よ。

• If $g(x)$ is the inverse of $f(x),$ then $g(f(x))=f(g(x))=x.$ See Example 1, Example 2, and Example 3.• Only some of the toolkit functions have an inverse. See Example 4.• For a function to have an inverse, it must be one-to-one (pass the horizontal line test).• A function that is not one-to-one over its entire domain may be one-to-one on part of its domain.• For a tabular function, exchange the input and output rows to obtain the inverse. See Example 5.• The inverse of a function can be determined at specific points on its graph. See Example 6.• To find the inverse of a formula, solve the equation $y=f(x)$ for $x$ as a function of $y.$ Then exchange the labels $x$ and $y.$ See Example 7, Example 8, and Example 9.• The graph of an inverse function is the reflection of the graph of the original function across the line $y=x.$ See Example 10.

・$g(x)$ が $f(x)$ の逆関数なら $g(f(x))=f(g(x))=x$ である。例1、例2、例3を見よ。・道具となる関数のうち、逆関数を持つのは一部だけである。例4を見よ。・関数が逆関数を持つには、一対一でなければならない(横線の判定法を通らなければならない)。・定義域全体では一対一でない関数も、定義域の一部では一対一であることがある。・表で表された関数では、入力と出力の行を入れ替えれば逆関数が得られる。例5を見よ。・関数の逆関数は、そのグラフ上の決まった点で求められる。例6を見よ。・式の逆関数を求めるには、方程式 $y=f(x)$ を $y$ の関数としての $x$ について解く。そのうえで $x$ と $y$ の名前を入れ替える。例7、例8、例9を見よ。・逆関数のグラフは、もとの関数のグラフを直線 $y=x$ に関して折り返したものである。例10を見よ。