第3章関数Functions

3.6 Absolute Value Functions3.6 絶対値関数

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Graph an absolute value function.• Solve an absolute value equation.

・絶対値関数のグラフを描く。・絶対値の方程式を解く。

The majestic Andromeda Galaxy (M31), our closest large galactic neighbor, with its faint spiral arms and bright core, surrounded by a myriad of stars in the vast cosmic expanse. Two smaller companion galaxies are also visible near M31. — Figure 1 Distances in deep space can be measured in all directions. As such, it is useful to consider distance in terms of absolute values. (credit: "s58y"/Flickr)図1 深宇宙の距離はあらゆる向きに測れる。だから距離を絶対値として考えると役に立つ。(出典: "s58y"/Flickr)

Until the 1920s, the so-called spiral nebulae were believed to be clouds of dust and gas in our own galaxy, some tens of thousands of light years away. Then, astronomer Edwin Hubble proved that these objects are galaxies in their own right, at distances of millions of light years. Today, astronomers can detect galaxies that are billions of light years away. Distances in the universe can be measured in all directions. As such, it is useful to consider distance as an absolute value function. In this section, we will continue our investigation of absolute value functions.

1920年代まで、いわゆる渦巻星雲は、数万光年のかなたにある自分たちの銀河の中の塵と気体の雲だと信じられていた。その後、天文学者 Edwin Hubble が、これらは数百万光年の距離にあるそれ自体一つの銀河であることを示した。今日、天文学者は数十億光年のかなたの銀河を捉えられる。宇宙の距離はあらゆる向きに測れる。だから距離を絶対値関数として考えると役に立つ。この節では、絶対値関数の調べを続ける。

Understanding Absolute Value絶対値を理解する

Recall that in its basic form $f (x) = | x |,$ the absolute value function is one of our toolkit functions. The absolute value function is commonly thought of as providing the distance the number is from zero on a number line. Algebraically, for whatever the input value is, the output is the value without regard to sign. Knowing this, we can use absolute value functions to solve some kinds of real-world problems.

基本の形 $f (x) = | x |$ の絶対値関数が、道具となる関数の一つだったのを思い出そう。絶対値関数は、その数が数直線上で0からどれだけ離れているかを与えるものだとふつう考えられる。式の上では、入力値が何であれ、出力は符号を無視したその値である。これを知っていれば、絶対値関数を使って現実の問題のいくつかを解ける。

Absolute Value Function 絶対値関数

The absolute value function can be defined as a piecewise function

絶対値関数は、区分けして定めた関数として次のように定められる。

f (x) = | x | = {\begin{matrix} x & if & x \geq 0 \\ - x & if & x < 0 \end{matrix}

Example 1例1

Using Absolute Value to Determine Resistance絶対値を使って抵抗値を求める

Electrical parts, such as resistors and capacitors, come with specified values of their operating parameters: resistance, capacitance, etc. However, due to imprecision in manufacturing, the actual values of these parameters vary somewhat from piece to piece, even when they are supposed to be the same. The best that manufacturers can do is to try to guarantee that the variations will stay within a specified range, often $±1%, \pm 5%,$ or $\pm 10% .$

抵抗器やコンデンサーなどの電子部品には、抵抗値や静電容量などの動作の値が定められている。しかし製造の精度には限りがあるので、同じはずの品でも実際の値は一つ一つ少しずつ違う。製造者にできる最善は、そのばらつきを定められた範囲、多くは $±1%, \pm 5%,$ や $\pm 10%$ に収めると保証することである。

Suppose we have a resistor rated at 680 ohms, $\pm 5 % .$ Use the absolute value function to express the range of possible values of the actual resistance.

定格680オーム、 $\pm 5 %$ の抵抗器があるとしよう。絶対値関数を使って、実際の抵抗値がとりうる範囲を表せ。

Solution 解答

We can find that 5% of 680 ohms is 34 ohms. The absolute value of the difference between the actual and nominal resistance should not exceed the stated variability, so, with the resistance $R$ in ohms,

680オームの5%は34オームだと分かる。実際の抵抗値と定格との差の絶対値が、定められたばらつきを超えてはならないので、抵抗値を $R$ オームとすると、

| R - 680 | \leq 34

Try It #1やってみよう1

Students who score within 20 points of 80 will pass a test. Write this as a distance from 80 using absolute value notation.

80点から20点以内の点をとった学生が試験に合格する。これを絶対値の書き方を使って、80からの距離として書け。

Graphing an Absolute Value Function絶対値関数のグラフを描く

The most significant feature of the absolute value graph is the corner point at which the graph changes direction. This point is shown at the origin in Figure 2.

絶対値のグラフのもっとも目立つ特徴は、グラフが向きを変える角の点である。図2ではこの点が原点にある。

Figure 3 shows the graph of $y = 2 | x - 3 | + 4.$ The graph of $y = | x |$ has been shifted right 3 units, vertically stretched by a factor of 2, and shifted up 4 units. This means that the corner point is located at $(3, 4)$ for this transformed function.

図3に $y = 2 | x - 3 | + 4.$ のグラフを示す。 $y = | x |$ のグラフを右へ3だけ動かし、縦に2倍に伸ばし、上へ4だけ動かしたものである。よってこの変形された関数では、角の点は $(3, 4)$ にある。

Graph of the different types of transformations for an absolute function.

Example 2例2

Writing an Equation for an Absolute Value Function Given a Graphグラフが与えられたとき、絶対値関数の方程式を書く

Write an equation for the function graphed in Figure 4.

図4に描かれた関数の方程式を書け。

Solution 解答

The basic absolute value function changes direction at the origin, so this graph has been shifted to the right 3 units and down 2 units from the basic toolkit function. See Figure 5.

基本の絶対値関数は原点で向きを変えるので、このグラフは基本の道具となる関数を右へ3、下へ2だけ動かしたものである。図5を見よ。

Graph of two transformations for an absolute function at (3, -2).

We also notice that the graph appears vertically stretched, because the width of the final graph on a horizontal line is not equal to 2 times the vertical distance from the corner to this line, as it would be for an unstretched absolute value function. Instead, the width is equal to 1 times the vertical distance as shown in Figure 6.

またこのグラフは縦に伸びているように見える。ある横の直線上での最終のグラフの幅が、角からその直線までの縦の距離の2倍になっていないからである。伸ばしていない絶対値関数ならそうなるはずである。図6のように、幅は縦の距離の1倍になっている。

Graph of two transformations for an absolute function at (3, -2) and describes the ratios between the two different transformations.

From this information we can write the equation

この情報から、次の方程式が書ける。

\begin{matrix} f (x) & = & 2 | x - 3 | - 2, & treating the stretch as a vertical stretch,or \\ f (x) & = & | 2 (x - 3) | - 2, & treating the stretch as a horizontal compression . \end{matrix}

Analysis 考察

Note that these equations are algebraically equivalent—the stretch for an absolute value function can be written interchangeably as a vertical or horizontal stretch or compression. Note also that if the vertical stretch factor is negative, there is also a reflection about the x-axis.

これらの方程式は式として同じであることに注意せよ。絶対値関数の拡大は、縦の拡大・縮小としても横の拡大・縮小としても、どちらにでも書ける。また縦の拡大の係数が負なら、x軸に関する対称移動も伴うことに注意せよ。

Q&A 疑問と答え

If we couldn’t observe the stretch of the function from the graphs, could we algebraically determine it?

グラフから関数の拡大を読み取れないとき、式の上で決められるか。

Yes. If we are unable to determine the stretch based on the width of the graph, we can solve for the stretch factor by putting in a known pair of values for $x$ and $f (x) .$

できる。グラフの幅から拡大の倍率を決められないときは、分かっている $x$ と $f (x)$ の組を入れて倍率について解けばよい。

f (x) = a | x - 3 | - 2

Now substituting in the point (1, 2)

ここで点 (1, 2) を代入すると、

\begin{matrix} 2 & = & a | 1 - 3 | - 2 \\ 4 & = & 2 a \\ a & = & 2 \end{matrix}

Try It #2やってみよう2

Write the equation for the absolute value function that is horizontally shifted left 2 units, is vertically reflected, and vertically shifted up 3 units.

横に左へ2だけ動かし、縦に折り返し、縦に上へ3だけ動かした絶対値関数の方程式を書け。

Q&A 疑問と答え

Do the graphs of absolute value functions always intersect the vertical axis? The horizontal axis?

絶対値関数のグラフは、つねに縦の軸と交わるか。横の軸とはどうか。

Yes, they always intersect the vertical axis. The graph of an absolute value function will intersect the vertical axis when the input is zero.

縦の軸とはつねに交わる。絶対値関数のグラフは、入力が0のときに縦の軸と交わる。

No, they do not always intersect the horizontal axis. The graph may or may not intersect the horizontal axis, depending on how the graph has been shifted and reflected. It is possible for the absolute value function to intersect the horizontal axis at zero, one, or two points (see Figure 7).

横の軸とはつねに交わるわけではない。グラフをどう動かし、どう折り返したかによって、交わることも交わらないこともある。絶対値関数が横の軸と交わる点は、0個・1個・2個のいずれもありうる(図7を見よ)。

Solving an Absolute Value Equation絶対値の方程式を解く

In Other Type of Equations, we touched on the concepts of absolute value equations. Now that we understand a little more about their graphs, we can take another look at these types of equations. Now that we can graph an absolute value function, we will learn how to solve an absolute value equation. To solve an equation such as $8 = | 2 x - 6 |,$ we notice that the absolute value will be equal to 8 if the quantity inside the absolute value is 8 or -8. This leads to two different equations we can solve independently.

「その他の方程式」で絶対値の方程式の考えに触れた。そのグラフを少し理解したので、この型の方程式をもう一度見よう。絶対値関数のグラフを描けるようになったので、絶対値の方程式の解き方を学ぶ。 $8 = | 2 x - 6 |$ のような方程式を解くには、絶対値の中の量が 8 か -8 のとき絶対値が8になることに気づけばよい。ここから、別々に解ける二つの方程式が出てくる。

\begin{matrix} 2 x - 6 & = & 8 & or & 2 x - 6 & = & −8 \\ 2 x & = & 14 & 2 x & = & −2 \\ x & = & 7 & x & = & −1 \end{matrix}

Knowing how to solve problems involving absolute value functions is useful. For example, we may need to identify numbers or points on a line that are at a specified distance from a given reference point.

絶対値関数を含む問題を解けることは役に立つ。たとえば、ある基準の点から決まった距離にある直線上の数や点を求めたいことがある。

An absolute value equation is an equation in which the unknown variable appears in absolute value bars. For example,

絶対値の方程式とは、分からない変数が絶対値の縦線の中に現れる方程式である。たとえば、

\begin{array}{l} | x | = 4, \\ | 2 x - 1 | = 3, or \\ | 5 x + 2 | - 4 = 9 \end{array}

Solutions to Absolute Value Equations 絶対値を含む方程式の解

For real numbers $A$ and $B$ , an equation of the form $| A | = B,$ with $B \geq 0,$ will have solutions when $A = B$ or $A = - B .$ If $B < 0,$ the equation $| A | = B$ has no solution.

実数 $A$ と $B$ について、 $B \geq 0$ である $| A | = B$ の形の方程式は、 $A = B$ または $A = - B$ のときに解を持つ。 $B < 0$ なら、方程式 $| A | = B$ は解を持たない。

How To 手順

Given the formula for an absolute value function, find the horizontal intercepts of its graph.

絶対値関数の式が与えられたとき、そのグラフの横の軸との交点を求める。

1. Isolate the absolute value term.2. Use $| A | = B$ to write $A = B$ or $−A = B,$ assuming $B > 0.$ 3. Solve for $x .$

1. 絶対値の項だけを残す。2. $B > 0.$ として、 $| A | = B$ を使って $A = B$ または $−A = B$ と書く。3. $x$ について解く。

Example 3例3

Finding the Zeros of an Absolute Value Function絶対値関数の零点を求める

For the function $f (x) = | 4 x + 1 | - 7,$ find the values of $x$ such that $f (x) = 0.$

関数 $f (x) = | 4 x + 1 | - 7$ について、 $f (x) = 0.$ となる $x$ の値を求めよ。

Solution 解答

\begin{matrix} 0 & = & | 4 x + 1 | - 7 & Substitute 0 for f (x) . \\ 7 & = & | 4 x + 1 | & Isolate the absolute value on one side of the equation . \\ 7 & = & 4 x + 1 & or & −7 & = & 4 x + 1 & Break into two separate equations and solve . \\ 6 & = & 4 x & −8 & = & 4 x \\ x & = & \frac{6}{4} = 1.5 & x & = & \frac{- 8}{4} = - 2 \end{matrix}

The function outputs 0 when $x = \frac{3}{2}$ or $x = - 2.$ See Figure 8.

この関数は $x = \frac{3}{2}$ または $x = - 2.$ のとき0を出力する。図8を見よ。

Graph an absolute function with x-intercepts at -2 and 1.5.

Try It #3やってみよう3

For the function $f (x) = | 2 x - 1 | - 3,$ find the values of $x$ such that $f (x) = 0.$

関数 $f (x) = | 2 x - 1 | - 3$ について、 $f (x) = 0.$ となる $x$ の値を求めよ。

Q&A 疑問と答え

Should we always expect two answers when solving $| A | = B ?$

$| A | = B ?$ を解くとき、答えはつねに二つあると考えてよいか。

No. We may find one, two, or even no answers. For example, there is no solution to $2 + | 3 x - 5 | = 1.$

そうではない。答えが一つのことも二つのことも、まったく無いこともある。たとえば $2 + | 3 x - 5 | = 1.$ に解は無い。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with absolute value.

絶対値についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Graphing Absolute Value Functions• Graphing Absolute Value Functions 2

・絶対値関数のグラフを描く・絶対値関数のグラフを描く 2

Verbal言葉で答える問題

1. How do you solve an absolute value equation?

1. 絶対値の方程式はどう解くか。

2. How can you tell whether an absolute value function has two x-intercepts without graphing the function?

2. グラフを描かずに、絶対値関数が x切片を二つ持つかどうかをどう見分けるか。

3. When solving an absolute value function, the isolated absolute value term is equal to a negative number. What does that tell you about the graph of the absolute value function?

3. 絶対値関数を解いていて、絶対値の項だけを残したらそれが負の数に等しくなった。このことから、その絶対値関数のグラフについて何が分かるか。

4. How can you use the graph of an absolute value function to determine the x-values for which the function values are negative?

4. 絶対値関数のグラフを使って、関数の値が負になる x の値をどう求められるか。

Algebraic代数の問題

5. Describe all numbers $x$ that are at a distance of 4 from the number 8. Express this set of numbers using absolute value notation.

5. 数8から距離4にある数 $x$ をすべて述べよ。この数の集合を絶対値の書き方で表せ。

6. Describe all numbers $x$ that are at a distance of $\frac{1}{2}$ from the number −4. Express this set of numbers using absolute value notation.

6. 数 −4 から距離 $\frac{1}{2}$ にある数 $x$ をすべて述べよ。この数の集合を絶対値の書き方で表せ。

7. Describe the situation in which the distance that point $x$ is from 10 is at least 15 units. Express this set of numbers using absolute value notation.

7. 点 $x$ が10から少なくとも15単位離れている場面を述べよ。この数の集合を絶対値の書き方で表せ。

8. Find all function values $f (x)$ such that the distance from $f (x)$ to the value 8 is less than 0.03 units. Express this set of numbers using absolute value notation.

8. $f (x)$ から値8までの距離が0.03単位より小さくなる関数の値 $f (x)$ をすべて求めよ。この数の集合を絶対値の書き方で表せ。

For the following exercises, find the x- and y-intercepts of the graphs of each function.

次の各問について、各関数のグラフの x切片と y切片を求めよ。

9. $f (x) = 4 | x - 3 | + 4$

10. $f (x) = - 3 | x - 2 | - 1$

11. $f (x) = - 2 | x + 1 | + 6$

12. $f (x) = - 5 | x + 2 | + 15$

13. $f (x) = 2 | x - 1 | - 6$

14. $f (x) = | - 2 x + 1 | - 13$

15. $f (x) = - | x - 9 | + 16$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, graph the absolute value function. Plot at least five points by hand for each graph.

次の各問について、絶対値関数のグラフを描け。各グラフについて少なくとも五点を手で打て。

16. $y = | x - 1 |$

17. $y = | x + 1 |$

18. $y = | x | + 1$

For the following exercises, graph the given functions by hand.

次の各問について、与えられた関数のグラフを手で描け。

19. $y = | x | - 2$

20. $y = - | x |$

21. $y = - | x | - 2$

22. $y = - | x - 3 | - 2$

23. $f (x) = - | x - 1 | - 2$

24. $f (x) = - | x + 3 | + 4$

25. $f (x) = 2 | x + 3 | + 1$

26. $f (x) = 3 | x - 2 | + 3$

27. $f (x) = | 2 x - 4 | - 3$

28. $f (x) = | 3 x + 9 | + 2$

29. $f (x) = - | x - 1 | - 3$

30. $f (x) = - | x + 4 | - 3$

31. $f (x) = \frac{1}{2} | x + 4 | - 3$

Technology機器を使う問題

32. Use a graphing utility to graph $f (x) = 10 | x - 2 |$ on the viewing window $[0, 4] .$ Identify the corresponding range. Show the graph.

32. グラフ作成ツールを使い、表示窓 $[0, 4]$ で $f (x) = 10 | x - 2 |$ のグラフを描け。対応する値域を答えよ。グラフを示せ。

33. Use a graphing utility to graph $f (x) = - 100 | x | + 100$ on the viewing window $[- 5, 5] .$ Identify the corresponding range. Show the graph.

33. グラフ作成ツールを使い、表示窓 $[- 5, 5]$ で $f (x) = - 100 | x | + 100$ のグラフを描け。対応する値域を答えよ。グラフを示せ。

For the following exercises, graph each function using a graphing utility. Specify the viewing window.

次の各問について、グラフ作成ツールを使って各関数のグラフを描け。表示窓を明記せよ。

34. $f (x) = - 0.1 | 0.1 (0.2 - x) | + 0.3$

35. $f (x) = 4 \times 10^{9} | x - (5 \times 10^{9}) | + 2 \times 10^{9}$

Extensions発展問題

For the following exercises, solve the inequality.

次の各問について、不等式を解け。

36. If possible, find all values of $a$ such that there are no $x -$ intercepts for $f (x) = 2 | x + 1 | + a .$

36. できるなら、 $f (x) = 2 | x + 1 | + a$ に $x -$ 切片が無くなるような $a$ の値をすべて求めよ。

37. If possible, find all values of $a$ such that there are no $y$ -intercepts for $f (x) = 2 | x + 1 | + a .$

37. できるなら、 $f (x) = 2 | x + 1 | + a$ に $y$ 切片が無くなるような $a$ の値をすべて求めよ。

Real-World Applications応用問題

38. Cities A and B are on the same east-west line. Assume that city A is located at the origin. If the distance from city A to city B is at least 100 miles and $x$ represents the distance from city B to city A, express this using absolute value notation.

38. 都市Aと都市Bは東西に同じ線上にある。都市Aが原点にあるとする。都市Aから都市Bまでの距離が少なくとも100マイルで、 $x$ が都市Bから都市Aまでの距離を表すとき、これを絶対値の書き方で表せ。

39. The true proportion $p$ of people who give a favorable rating to Congress is 8% with a margin of error of 1.5%. Describe this statement using an absolute value equation.

39. 議会を好意的に評価する人の真の割合 $p$ は8%で、誤差の幅は1.5%である。この文を絶対値の方程式で述べよ。

40. Students who score within 18 points of the number 82 will pass a particular test. Write this statement using absolute value notation and use the variable $x$ for the score.

40. 82点から18点以内の点をとった学生が、ある試験に合格する。この文を絶対値の書き方で書け。点数には変数 $x$ を使え。

41. A machinist must produce a bearing that is within 0.01 inches of the correct diameter of 5.0 inches. Using $x$ as the diameter of the bearing, write this statement using absolute value notation.

41. 機械工は、正しい直径5.0インチから0.01インチ以内の軸受けを作らなければならない。軸受けの直径を $x$ として、この文を絶対値の書き方で書け。

42. The tolerance for a ball bearing is 0.01. If the true diameter of the bearing is to be 2.0 inches and the measured value of the diameter is $x$ inches, express the tolerance using absolute value notation.

42. 玉軸受けの許容差は0.01である。軸受けの真の直径が2.0インチであるべきで、測った直径が $x$ インチのとき、この許容差を絶対値の書き方で表せ。