第3章関数Functions

3.2 Domain and Range3.2 定義域と値域

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Find the domain of a function defined by an equation.• Graph piecewise-defined functions.

・方程式で定まる関数の定義域を求める。・区分けして定めた関数のグラフを描く。

Horror and thriller movies are both popular and, very often, extremely profitable. When big-budget actors, shooting locations, and special effects are included, however, studios count on even more viewership to be successful. Consider five major thriller/horror entries from the early 2000s—I am Legend, Hannibal, The Ring, The Grudge, and The Conjuring. Figure 1 shows the amount, in dollars, each of those movies grossed when they were released as well as the ticket sales for horror movies in general by year. Notice that we can use the data to create a function of the amount each movie earned or the total ticket sales for all horror movies by year. In creating various functions using the data, we can identify different independent and dependent variables, and we can analyze the data and the functions to determine the domain and range. In this section, we will investigate methods for determining the domain and range of functions such as these.

恐怖ものやスリラーの映画は人気があり、しばしば非常に儲かる。ただし多額の出演料の俳優、撮影地、特殊効果が入ると、撮影所は当たるためにさらに多くの観客を当てにすることになる。2000年代初頭のスリラー・恐怖ものの大作を五つ——I am Legend、Hannibal、The Ring、The Grudge、The Conjuring——考えよう。図1は、これらの映画が公開されたときの興行収入(ドル)と、恐怖もの全体の年ごとの入場券の売上を示している。この資料から、各映画の収入の関数や、恐怖もの全体の年ごとの入場券売上の関数を作れることに注意せよ。資料からいろいろな関数を作ると、さまざまな独立変数と従属変数を見分けられ、資料と関数を調べて定義域と値域を決められる。この節では、こうした関数の定義域と値域を決める方法を調べる。

Two graphs where the first graph is of the Top-Five Grossing Horror Movies for years 2000-2003 and Market Share of Horror Movies by Year — Figure 1 Based on data compiled by www.the-numbers.com.3図1 www.the-numbers.com がまとめた資料による。

Finding the Domain of a Function Defined by an Equation方程式で定まる関数の定義域を求める

In Functions and Function Notation, we were introduced to the concepts of domain and range. In this section, we will practice determining domains and ranges for specific functions. Keep in mind that, in determining domains and ranges, we need to consider what is physically possible or meaningful in real-world examples, such as tickets sales and year in the horror movie example above. We also need to consider what is mathematically permitted. For example, we cannot include any input value that leads us to take an even root of a negative number if the domain and range consist of real numbers. Or in a function expressed as a formula, we cannot include any input value in the domain that would lead us to divide by 0.

「関数とその表記」で、定義域と値域という考えを導いた。この節では、具体的な関数について定義域と値域を決める練習をする。定義域と値域を決めるときは、上の恐怖ものの例の入場券売上や年のように、現実の場面で物理的にありうるか、意味があるかを考える必要があることを覚えておこう。数学として許されるかどうかも考えなければならない。たとえば、定義域と値域が実数からなるなら、負の数の偶数乗根をとることになる入力値は入れられない。また式で表された関数では、0で割ることになる入力値は定義域に入れられない。

We can visualize the domain as a “holding area” that contains “raw materials” for a “function machine” and the range as another “holding area” for the machine’s products. See Figure 2.

定義域は「関数という機械」に入れる「材料」を置く場所、値域はその機械の「製品」を置く場所だと思い描ける。図2を見よ。

Diagram of how a function relates two relations.

We can write the domain and range in interval notation, which uses values within brackets to describe a set of numbers. In interval notation, we use a square bracket [ when the set includes the endpoint and a parenthesis ( to indicate that the endpoint is either not included or the interval is unbounded. For example, if a person has $100 to spend, they would need to express the interval that is more than 0 and less than or equal to 100 and write $(0, 100] .$ We will discuss interval notation in greater detail later.

定義域と値域は区間の書き方でも書ける。これは括弧の中に値を書いて数の集合を述べる方法である。区間の書き方では、集合が端点を含むときは角括弧 [ を使い、端点を含まないか区間に限りがないときは丸括弧 ( を使う。たとえばある人が使える金が100ドルなら、0より多く100以下という区間を表す必要があり、 $(0, 100]$ と書く。区間の書き方については後で詳しく述べる。

Let’s turn our attention to finding the domain of a function whose equation is provided. Oftentimes, finding the domain of such functions involves remembering three different forms. First, if the function has no denominator or an odd root, consider whether the domain could be all real numbers. Second, if there is a denominator in the function’s equation, exclude values in the domain that force the denominator to be zero. Third, if there is an even root, consider excluding values that would make the radicand negative.

式が与えられた関数の定義域を求めることに目を向けよう。こうした関数の定義域を求めるには、たいてい三つの形を思い出すことになる。第一に、関数に分母も奇数乗根も無いなら、定義域が実数全体になりうるかどうかを考える。第二に、関数の式に分母があるなら、分母を0にしてしまう値を定義域から除く。第三に、偶数乗根があるなら、根号の中身を負にする値を除くことを考える。

Before we begin, let us review the conventions of interval notation:

始める前に、区間の書き方の約束を確かめておこう。

• The smallest number from the interval is written first.• The largest number in the interval is written second, following a comma.• Parentheses, ( or ), are used to signify that an endpoint value is not included, called exclusive.• Brackets, [ or ], are used to indicate that an endpoint value is included, called inclusive.

・区間の中でいちばん小さい数を先に書く。・区間の中でいちばん大きい数を、読点の後に書く。・丸括弧 ( や ) は、その端点の値を含まないことを示す。これを開いた端という。・角括弧 [ や ] は、その端点の値を含むことを示す。これを閉じた端という。

See Figure 3 for a summary of interval notation.

区間の書き方のまとめは図3を見よ。

Example 1例1

Finding the Domain of a Function as a Set of Ordered Pairs順序対の集合としての関数の定義域を求める

Find the domain of the following function: ${(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}$ .

次の関数の定義域を求めよ。 ${(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}$

Solution 解答

First identify the input values. The input value is the first coordinate in an ordered pair. There are no restrictions, as the ordered pairs are simply listed. The domain is the set of the first coordinates of the ordered pairs.

まず入力値を見分ける。入力値は順序対の一つ目の座標である。順序対がそのまま並べてあるだけなので、制限は無い。定義域は順序対の一つ目の座標の集合である。

{2, 3, 4, 5, 6}

Try It #1やってみよう1

Find the domain of the function:

次の関数の定義域を求めよ。

${(−5, 4), (0, 0), (5, −4), (10, −8), (15, −12)}$

How To 手順

Given a function written in equation form, find the domain.

方程式の形で書かれた関数が与えられたとき、その定義域を求める。

1. Identify the input values.2. Identify any restrictions on the input and exclude those values from the domain.3. Write the domain in interval form, if possible.

1. 入力値を見分ける。2. 入力への制限があれば見つけ、その値を定義域から除く。3. できるなら、定義域を区間の形で書く。

Example 2例2

Finding the Domain of a Function関数の定義域を求める

Find the domain of the function $f (x) = x^{2} - 1.$

関数 $f (x) = x^{2} - 1.$ の定義域を求めよ。

Solution 解答

The input value, shown by the variable $x$ in the equation, is squared and then the result is lowered by one. Any real number may be squared and then be lowered by one, so there are no restrictions on the domain of this function. The domain is the set of real numbers.

方程式の中の変数 $x$ で示された入力値は、二乗されてから1だけ下げられる。どんな実数も二乗して1だけ下げられるので、この関数の定義域に制限は無い。定義域は実数全体である。

In interval form, the domain of $f$ is $(- \infty, \infty) .$

区間の形では、 $f$ の定義域は $(- \infty, \infty)$ である。

Try It #2やってみよう2

Find the domain of the function: $f (x) = 5 - x + x^{3} .$

関数 $f (x) = 5 - x + x^{3}$ の定義域を求めよ。

How To 手順

Given a function written in an equation form that includes a fraction, find the domain.

分数を含む方程式の形で書かれた関数が与えられたとき、その定義域を求める。

1. Identify the input values.2. Identify any restrictions on the input. If there is a denominator in the function’s formula, set the denominator equal to zero and solve for $x$ . If the function’s formula contains an even root, set the radicand greater than or equal to 0, and then solve.3. Write the domain in interval form, making sure to exclude any restricted values from the domain.

1. 入力値を見分ける。2. 入力への制限を見つける。関数の式に分母があれば、分母を0とおいて $x$ について解く。関数の式に偶数乗根があれば、根号の中身を0以上とおいて解く。3. 制限された値を必ず除いたうえで、定義域を区間の形で書く。

Example 3例3

Finding the Domain of a Function Involving a Denominator分母を含む関数の定義域を求める

Find the domain of the function $f (x) = \frac{x + 1}{2 - x} .$

関数 $f (x) = \frac{x + 1}{2 - x}$ の定義域を求めよ。

Solution 解答

When there is a denominator, we want to include only values of the input that do not force the denominator to be zero. So, we will set the denominator equal to 0 and solve for $x .$

分母があるときは、分母を0にしてしまわない入力値だけを入れたい。そこで分母を0とおいて $x$ について解く。

\begin{matrix} 2 - x & = & 0 \\ - x & = & −2 \\ x & = & 2 \end{matrix}

Now, we will exclude 2 from the domain. The answers are all real numbers where $x < 2$ or $x > 2$ as shown in Figure 4. We can use a symbol known as the union, $\cup,$ to combine the two sets. In interval notation, we write the solution: $(−∞, 2) \cup (2, \infty) .$

ここで2を定義域から除く。答えは、図4のように $x < 2$ または $x > 2$ であるすべての実数である。二つの集合を合わせるには、和と呼ばれる記号 $\cup$ を使える。区間の書き方では、解を $(−∞, 2) \cup (2, \infty)$ と書く。

Number line illustrates x < 2 or x > 2, with an open circle at 2, and interval notation (-∞, 2) U (2, ∞).

Try It #3やってみよう3

Find the domain of the function: $f (x) = \frac{1 + 4 x}{2 x - 1} .$

関数 $f (x) = \frac{1 + 4 x}{2 x - 1}$ の定義域を求めよ。

How To 手順

Given a function written in equation form including an even root, find the domain.

偶数乗根を含む方程式の形で書かれた関数が与えられたとき、その定義域を求める。

1. Identify the input values.2. Since there is an even root, exclude any real numbers that result in a negative number in the radicand. Set the radicand greater than or equal to zero and solve for $x .$ 3. The solution(s) are the domain of the function. If possible, write the answer in interval form.

1. 入力値を見分ける。2. 偶数乗根があるので、根号の中身が負になる実数をすべて除く。根号の中身を0以上とおいて $x$ について解く。3. その解がこの関数の定義域である。できるなら、答えを区間の形で書く。

Example 4例4

Finding the Domain of a Function with an Even Root偶数乗根を含む関数の定義域を求める

Find the domain of the function $f (x) = \sqrt{7 - x} .$

関数 $f (x) = \sqrt{7 - x}$ の定義域を求めよ。

Solution 解答

When there is an even root in the formula, we exclude any real numbers that result in a negative number in the radicand.

式に偶数乗根があるときは、根号の中身が負になる実数をすべて除く。

Set the radicand greater than or equal to zero and solve for $x .$

根号の中身を0以上とおいて $x$ について解く。

\begin{matrix} 7 - x & \geq & 0 \\ - x & \geq & −7 \\ x & \leq & 7 \end{matrix}

Now, we will exclude any number greater than 7 from the domain. The answers are all real numbers less than or equal to $7,$ or $(- \infty, 7] .$

ここで7より大きい数をすべて定義域から除く。答えは $7$ 以下のすべての実数、すなわち $(- \infty, 7]$ である。

Try It #4やってみよう4

Find the domain of the function $f (x) = \sqrt{5 + 2 x} .$

関数 $f (x) = \sqrt{5 + 2 x}$ の定義域を求めよ。

Q&A 疑問と答え

Can there be functions in which the domain and range do not intersect at all?

定義域と値域がまったく重ならない関数はありうるか。

Yes. For example, the function $f (x) = - \frac{1}{\sqrt{x}}$ has the set of all positive real numbers as its domain but the set of all negative real numbers as its range. As a more extreme example, a function’s inputs and outputs can be completely different categories (for example, names of weekdays as inputs and numbers as outputs, as on an attendance chart), in such cases the domain and range have no elements in common.

ありうる。たとえば関数 $f (x) = - \frac{1}{\sqrt{x}}$ は、定義域が正の実数全体、値域が負の実数全体である。もっと極端な例では、関数の入力と出力がまったく違う種類のもの(たとえば出席表のように、曜日の名前を入力、数を出力とするもの)であることもある。そうした場合、定義域と値域に共通する要素は一つも無い。

Using Notations to Specify Domain and Range定義域と値域を書き表す

In the previous examples, we used inequalities and lists to describe the domain of functions. We can also use inequalities, or other statements that might define sets of values or data, to describe the behavior of the variable in set-builder notation. For example, ${x | 10 \leq x < 30}$ describes the behavior of $x$ in set-builder notation. The braces ${}$ are read as “the set of,” and the vertical bar | is read as “such that,” so we would read ${x | 10 \leq x < 30}$ as “the set of x-values such that 10 is less than or equal to $x,$ and $x$ is less than 30.”

これまでの例では、関数の定義域を述べるのに不等式と列挙を使った。集合の内包的な書き方では、不等式や、値や資料の集合を定めるほかの言明を使って、変数のふるまいを述べることもできる。たとえば ${x | 10 \leq x < 30}$ は、集合の内包的な書き方で $x$ のふるまいを述べている。波括弧 ${}$ は「〜の集合」と読み、縦線 | は「〜であるような」と読む。よって ${x | 10 \leq x < 30}$ は「10が $x$ 以下であり、かつ $x$ が30より小さいような x の値の集合」と読む。

Figure 5 compares inequality notation, set-builder notation, and interval notation.

図5に、不等式の書き方・集合の内包的な書き方・区間の書き方を並べて比べる。

Summary of notations for inequalities, set-builder, and intervals.

To combine two intervals using inequality notation or set-builder notation, we use the word “or.” As we saw in earlier examples, we use the union symbol, $\cup,$ to combine two unconnected intervals. For example, the union of the sets ${2, 3, 5}$ and ${4, 6}$ is the set ${2, 3, 4, 5, 6} .$ It is the set of all elements that belong to one or the other (or both) of the original two sets. For sets with a finite number of elements like these, the elements do not have to be listed in ascending order of numerical value. If the original two sets have some elements in common, those elements should be listed only once in the union set. For sets of real numbers on intervals, another example of a union is

不等式の書き方や集合の内包的な書き方で二つの区間を合わせるには、「または」を使う。先の例で見たとおり、つながっていない二つの区間を合わせるには和の記号 $\cup$ を使う。たとえば集合 ${2, 3, 5}$ と ${4, 6}$ の和は集合 ${2, 3, 4, 5, 6}$ である。これは、もとの二つの集合のどちらか(または両方)に属する要素すべての集合である。このように要素の数が有限の集合では、要素を数の小さい順に並べる必要はない。もとの二つの集合に共通する要素があれば、和の集合ではそれを一度だけ書く。区間としての実数の集合について、和のもう一つの例は次のとおりである。

{x | | x | \geq 3} = (- \infty, - 3] \cup [3, \infty)

Set-Builder Notation and Interval Notation 集合の条件による表記と区間の表記

Set-builder notation is a method of specifying a set of elements that satisfy a certain condition. It takes the form ${x | statement about x}$ which is read as, “the set of all $x$ such that the statement about $x$ is true.” For example,

集合の内包的な書き方とは、ある条件を満たす要素の集合を指定する方法である。 ${x | statement about x}$ の形をとり、「 $x$ についての言明が真であるような $x$ すべての集合」と読む。たとえば、

{x | 4 < x \leq 12}

Interval notation is a way of describing sets that include all real numbers between a lower limit that may or may not be included and an upper limit that may or may not be included. The endpoint values are listed between brackets or parentheses. A square bracket indicates inclusion in the set, and a parenthesis indicates exclusion from the set. For example,

区間の書き方とは、含むかもしれないし含まないかもしれない下限と、含むかもしれないし含まないかもしれない上限とのあいだの実数すべてからなる集合を述べる方法である。端点の値を角括弧または丸括弧のあいだに書く。角括弧は集合に含むことを、丸括弧は含まないことを示す。たとえば、

(4, 12]

How To 手順

Given a line graph, describe the set of values using interval notation.

数直線の図が与えられたとき、値の集合を区間の書き方で述べる。

1. Identify the intervals to be included in the set by determining where the heavy line overlays the real line.2. At the left end of each interval, use [ with each end value to be included in the set (solid dot) or ( for each excluded end value (open dot).3. At the right end of each interval, use ] with each end value to be included in the set (filled dot) or ) for each excluded end value (open dot).4. Use the union symbol $\cup$ to combine all intervals into one set.

1. 太い線が実数直線に重なっているところを見て、集合に含めるべき区間を見分ける。2. 各区間の左端では、集合に含む端の値(黒丸)には [ を、含まない端の値(白丸)には ( を使う。3. 各区間の右端では、集合に含む端の値(黒丸)には ] を、含まない端の値(白丸)には ) を使う。4. 和の記号 $\cup$ を使って、すべての区間を一つの集合にまとめる。

Example 5例5

Describing Sets on the Real-Number Line実数直線上の集合を述べる

Describe the intervals of values shown in Figure 6 using inequality notation, set-builder notation, and interval notation.

図6に示した値の区間を、不等式の書き方・集合の内包的な書き方・区間の書き方で述べよ。

Solution 解答

To describe the values, $x,$ included in the intervals shown, we would say, “ $x$ is a real number greater than or equal to 1 and less than or equal to 3, or a real number greater than 5.”

示した区間に含まれる値 $x$ を述べるには、「 $x$ は1以上3以下の実数、または5より大きい実数である」という。

Inequality不等式	$1 \leq x \leq 3 or x > 5$
Set-builder notation集合の内包的な書き方	${x \| 1 \leq x \leq 3 or x > 5}$
Interval notation区間の書き方	$[1, 3] \cup (5, \infty)$

Remember that, when writing or reading interval notation, using a square bracket means the boundary is included in the set. Using a parenthesis means the boundary is not included in the set.

区間の書き方を書くときも読むときも、角括弧はその境が集合に含まれることを意味することを覚えておこう。丸括弧はその境が集合に含まれないことを意味する。

Try It #5やってみよう5

Given Figure 7, specify the graphed set in

図7が与えられたとき、描かれた集合を次のそれぞれで表せ。

ⓐwordsⓑset-builder notationⓒinterval notation

ⓐ言葉ⓑ集合の内包的な書き方ⓒ区間の書き方

Finding Domain and Range from Graphsグラフから定義域と値域を求める

Another way to identify the domain and range of functions is by using graphs. Because the domain refers to the set of possible input values, the domain of a graph consists of all the input values shown on the x-axis. The range is the set of possible output values, which are shown on the y-axis. Keep in mind that if the graph continues beyond the portion of the graph we can see, the domain and range may be greater than the visible values. See Figure 8.

関数の定義域と値域を見分けるもう一つの方法が、グラフを使うことである。定義域はありうる入力値の集合なので、グラフの定義域は x軸に示されるすべての入力値からなる。値域はありうる出力値の集合で、y軸に示される。グラフが見えている部分の外へ続いているなら、定義域と値域は見えている値より広いかもしれないことを覚えておこう。図8を見よ。

Graph of a polynomial that shows the x-axis is the domain and the y-axis is the range

We can observe that the graph extends horizontally from $−5$ to the right without bound, so the domain is $[−5, \infty) .$ The vertical extent of the graph is all range values $5$ and below, so the range is $(−∞, 5] .$ Note that the domain and range are always written from smaller to larger values, or from left to right for domain, and from the bottom of the graph to the top of the graph for range.

このグラフは $−5$ から右へ限りなく横に伸びているので、定義域は $[−5, \infty)$ である。グラフの縦の広がりは $5$ 以下の値すべてなので、値域は $(−∞, 5]$ である。定義域も値域も、つねに小さい値から大きい値へ、定義域なら左から右へ、値域ならグラフの下から上へ書くことに注意せよ。

Example 6例6

Finding Domain and Range from a Graphグラフから定義域と値域を求める

Find the domain and range of the function $f$ whose graph is shown in Figure 9.

図9にグラフを示した関数 $f$ の定義域と値域を求めよ。

Solution 解答

We can observe that the horizontal extent of the graph is –3 to 1, so the domain of $f$ is $(- 3, 1] .$

グラフの横の広がりは –3 から 1 なので、 $f$ の定義域は $(- 3, 1]$ である。

The vertical extent of the graph is 0 to –4, so the range is $[- 4, 0] .$ See Figure 10.

グラフの縦の広がりは 0 から –4 なので、値域は $[- 4, 0]$ である。図10を見よ。

Graph of the previous function shows the domain and range.

Example 7例7

Finding Domain and Range from a Graph of Oil Production石油生産のグラフから定義域と値域を求める

Find the domain and range of the function $f$ whose graph is shown in Figure 11.

図11にグラフを示した関数 $f$ の定義域と値域を求めよ。

Graph of the Alaska Crude Oil Production where the y-axis is thousand barrels per day and the -axis is the years. — Figure 11 (credit: modification of work by the U.S. Energy Information Administration)4図11 (出典: 合衆国エネルギー情報局の資料を改変)

Solution 解答

The input quantity along the horizontal axis is “years,” which we represent with the variable $t$ for time. The output quantity is “thousands of barrels of oil per day,” which we represent with the variable $b$ for barrels. The graph may continue to the left and right beyond what is viewed, but based on the portion of the graph that is visible, we can determine the domain as $1973 \leq t \leq 2008$ and the range as approximately $180 \leq b \leq 2010.$

横の軸の入力の量は「年」で、時を表す変数 $t$ で表す。出力の量は「1日あたり千バレルの石油」で、バレルを表す変数 $b$ で表す。グラフは見えている範囲の左右へ続いているかもしれないが、見えている部分をもとにすれば、定義域は $1973 \leq t \leq 2008$ 、値域はおよそ $180 \leq b \leq 2010.$ と決められる。

In interval notation, the domain is [1973, 2008], and the range is about [180, 2010]. For the domain and the range, we approximate the smallest and largest values since they do not fall exactly on the grid lines.

区間の書き方では、定義域は [1973, 2008]、値域はおよそ [180, 2010] である。定義域も値域も、最小の値と最大の値が格子線にぴったり乗っていないので、近い値をとった。

Try It #6やってみよう6

Given Figure 12, identify the domain and range using interval notation.

図12が与えられたとき、定義域と値域を区間の書き方で答えよ。

Graph of World Population Increase where the y-axis represents millions of people and the x-axis represents the year.

Q&A 疑問と答え

Can a function’s domain and range be the same?

関数の定義域と値域が同じになることはあるか。

Yes. For example, the domain and range of the cube root function are both the set of all real numbers.

ある。たとえば三乗根の関数は、定義域も値域も実数全体である。

Finding Domains and Ranges of the Toolkit Functions道具となる関数の定義域と値域を求める

We will now return to our set of toolkit functions to determine the domain and range of each.

ここで道具となる関数の一組に戻り、それぞれの定義域と値域を決めよう。

Constant function f(x)=c. — Figure 13 For the **constant function** $f (x) = c,$ the domain consists of all real numbers; there are no restrictions on the input. The only output value is the constant $c,$ so the range is the set ${c}$ that contains this single element. In interval notation, this is written as $[c, c],$ the interval that both begins and ends with $c .$ 図13 定数関数 $f (x) = c$ では、定義域は実数全体である。入力に制限は無い。出力値は定数 $c$ だけなので、値域はこの一つの要素だけを含む集合 ${c}$ である。区間の書き方では $[c, c]$ と書く。始まりも終わりも $c$ である区間である。

Identity function f(x)=x. — Figure 14 For the **identity function** $f (x) = x,$ there is no restriction on $x .$ Both the domain and range are the set of all real numbers.図14 恒等関数 $f (x) = x$ では、 $x$ に制限は無い。定義域も値域も実数全体である。

Absolute function f(x)=|x|. — Figure 15 For the **absolute value function** $f (x) = | x |,$ there is no restriction on $x .$ However, because absolute value is defined as a distance from 0, the output can only be greater than or equal to 0.図15 絶対値関数 $f (x) = | x |$ では、 $x$ に制限は無い。ただし絶対値は0からの距離として定まるので、出力は0以上にしかならない。

Quadratic function f(x)=x^2. — Figure 16 For the **quadratic function** $f (x) = x^{2},$ the domain is all real numbers since the horizontal extent of the graph is the whole real number line. Because the graph does not include any negative values for the range, the range is only nonnegative real numbers.図16 二次関数 $f (x) = x^{2}$ では、グラフの横の広がりが実数直線全体なので、定義域は実数全体である。グラフの値域には負の値が一つも入らないので、値域は非負の実数だけである。

Cubic function f(x)-x^3. — Figure 17 For the **cubic function** $f (x) = x^{3},$ the domain is all real numbers because the horizontal extent of the graph is the whole real number line. The same applies to the vertical extent of the graph, so the domain and range include all real numbers.図17 三次関数 $f (x) = x^{3}$ では、グラフの横の広がりが実数直線全体なので、定義域は実数全体である。グラフの縦の広がりについても同じなので、定義域も値域も実数全体である。

Reciprocal function f(x)=1/x. — Figure 18 For the **reciprocal function** $f (x) = \frac{1}{x},$ we cannot divide by 0, so we must exclude 0 from the domain. Further, 1 divided by any value can never be 0, so the range also will not include 0. In set-builder notation, we could also write ${x | x \neq 0},$ the set of all real numbers that are not zero.図18 逆数の関数 $f (x) = \frac{1}{x}$ では、0で割れないので0を定義域から除かなければならない。さらに、1をどんな値で割っても0にはならないので、値域にも0は入らない。集合の内包的な書き方では ${x | x \neq 0}$ 、すなわち0でない実数全体の集合とも書ける。

Reciprocal squared function f(x)=1/x^2 — Figure 19 For the **reciprocal squared function** $f (x) = \frac{1}{x^{2}},$ we cannot divide by $0,$ so we must exclude $0$ from the domain. There is also no $x$ that can give an output of 0, so 0 is excluded from the range as well. Note that the output of this function is always positive due to the square in the denominator, so the range includes only positive numbers.図19 逆数の二乗の関数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ では、 $0$ で割れないので $0$ を定義域から除かなければならない。出力が0になる $x$ も無いので、0は値域からも除かれる。分母が二乗されているためこの関数の出力はつねに正であり、よって値域には正の数だけが入ることに注意せよ。

Square root function f(x)=sqrt(x). — Figure 20 For the **square root function** $f (x) = \sqrt[]{x},$ we cannot take the square root of a negative real number, so the domain must be 0 or greater. The range also excludes negative numbers because the square root of a positive number $x$ is defined to be positive, even though the square of the negative number $- \sqrt{x}$ also gives us $x .$ 図20 平方根の関数 $f (x) = \sqrt[]{x}$ では、負の実数の平方根はとれないので、定義域は0以上でなければならない。値域からも負の数は除かれる。負の数 $- \sqrt{x}$ を二乗しても $x$ になるが、正の数 $x$ の平方根は正と定められているからである。

Cube root function f(x)=x^(1/3). — Figure 21 For the **cube root function** $f (x) = \sqrt[3]{x},$ the domain and range include all real numbers. Note that there is no problem taking a cube root, or any odd-integer root, of a negative number, and the resulting output is negative (it is an odd function).図21 三乗根の関数 $f (x) = \sqrt[3]{x}$ では、定義域も値域も実数全体である。負の数の三乗根、あるいは奇数乗根をとることに問題は無く、その結果は負になることに注意せよ(奇関数である)。

How To 手順

Given the formula for a function, determine the domain and range.

関数の式が与えられたとき、定義域と値域を決める。

1. Exclude from the domain any input values that result in division by zero.2. Exclude from the domain any input values that have nonreal (or undefined) number outputs.3. Use the valid input values to determine the range of the output values.4. Look at the function graph and table values to confirm the actual function behavior.

1. 0で割ることになる入力値を定義域から除く。2. 出力が実数でない(または定義されない)ことになる入力値を定義域から除く。3. 使える入力値を使って、出力値の値域を決める。4. 関数のグラフと表の値を見て、実際のふるまいを確かめる。

Example 8例8

Finding the Domain and Range Using Toolkit Functions道具となる関数を使って定義域と値域を求める

Find the domain and range of $f (x) = 2 x^{3} - x .$

$f (x) = 2 x^{3} - x$ の定義域と値域を求めよ。

Solution 解答

There are no restrictions on the domain, as any real number may be cubed and then subtracted from the result.

どんな実数も三乗して、その結果から引けるので、定義域に制限は無い。

The domain is $(- \infty, \infty)$ and the range is also $(- \infty, \infty) .$

定義域は $(- \infty, \infty)$ で、値域も $(- \infty, \infty)$ である。

Example 9例9

Finding the Domain and Range定義域と値域を求める

Find the domain and range of $f (x) = \frac{2}{x + 1} .$

$f (x) = \frac{2}{x + 1}$ の定義域と値域を求めよ。

Solution 解答

We cannot evaluate the function at $−1$ because division by zero is undefined. The domain is $(- \infty, −1) \cup (−1, \infty) .$ Because the function is never zero, we exclude 0 from the range. The range is $(- \infty, 0) \cup (0, \infty) .$

0で割ることは定義されないので、 $−1$ ではこの関数の値を求められない。定義域は $(- \infty, −1) \cup (−1, \infty)$ である。この関数は0になることが無いので、0を値域から除く。値域は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ である。

Example 10例10

Finding the Domain and Range定義域と値域を求める

Find the domain and range of $f (x) = 2 \sqrt{x + 4} .$

$f (x) = 2 \sqrt{x + 4}$ の定義域と値域を求めよ。

Solution 解答

We cannot take the square root of a negative number, so the value inside the radical must be nonnegative.

負の数の平方根はとれないので、根号の中の値は非負でなければならない。

x + 4 \geq 0 when x \geq - 4

The domain of $f (x)$ is $[- 4, \infty) .$

$f (x)$ の定義域は $[- 4, \infty)$ である。

We then find the range. We know that $f (- 4) = 0,$ and the function value increases as $x$ increases without any upper limit. We conclude that the range of $f$ is $[0, \infty) .$

次に値域を求める。 $f (- 4) = 0$ であり、 $x$ が増えるにつれて関数の値も上限なく増えることが分かる。よって $f$ の値域は $[0, \infty)$ である。

Analysis 考察

Figure 22 represents the function $f .$

図22は関数 $f$ を表している。

Graph of a square root function at (-4, 0).

Try It #7やってみよう7

Find the domain and range of $f (x) = - \sqrt{2 - x} .$

$f (x) = - \sqrt{2 - x}$ の定義域と値域を求めよ。

Graphing Piecewise-Defined Functions区分けして定めた関数のグラフを描く

Sometimes, we come across a function that requires more than one formula in order to obtain the given output. For example, in the toolkit functions, we introduced the absolute value function $f (x) = | x | .$ With a domain of all real numbers and a range of values greater than or equal to 0, absolute value can be defined as the magnitude, or modulus, of a real number value regardless of sign. It is the distance from 0 on the number line. All of these definitions require the output to be greater than or equal to 0.

与えられた出力を得るのに、式が二つ以上必要な関数に出くわすことがある。たとえば道具となる関数のところで絶対値関数 $f (x) = | x |$ を導いた。定義域が実数全体、値域が0以上の値であるこの関数は、符号によらない実数の大きさ、すなわち絶対値として定められる。数直線上での0からの距離である。これらの定め方はどれも、出力が0以上であることを要求する。

If we input 0, or a positive value, the output is the same as the input.

0または正の値を入れると、出力は入力と同じになる。

f (x) = x if x \geq 0

If we input a negative value, the output is the opposite of the input.

負の値を入れると、出力は入力の反数になる。

f (x) = - x if x < 0

Because this requires two different processes or pieces, the absolute value function is an example of a piecewise function. A piecewise function is a function in which more than one formula is used to define the output over different pieces of the domain.

これには二つの違う手続き、すなわち二つの区分けが要るので、絶対値関数は区分けして定めた関数の一例である。区分けして定めた関数とは、定義域を区分けし、区分けごとに違う式で出力を定める関数である。

We use piecewise functions to describe situations in which a rule or relationship changes as the input value crosses certain “boundaries.” For example, we often encounter situations in business for which the cost per piece of a certain item is discounted once the number ordered exceeds a certain value. Tax brackets are another real-world example of piecewise functions. For example, consider a simple tax system in which incomes up to $10,000 are taxed at 10%, and any additional income is taxed at 20%. The tax on a total income $S$ would be $0.1 S$ if $S \leq $ 10, 000$ and $$ 1000 + 0.2 (S - $ 10, 000)$ if $S > $ 10, 000.$

入力値がある「境」を越えると規則や関係が変わる場面を述べるのに、区分けして定めた関数を使う。たとえば商売では、注文数がある数を超えると1個あたりの値段が割り引かれる場面によく出くわす。累進課税の税率区分も、現実にある区分けして定めた関数の例である。たとえば、所得10,000ドルまでは10%、それを超える分は20%課税される単純な税制を考えよう。総所得 $S$ にかかる税は、 $S \leq $ 10, 000$ なら $0.1 S$ 、 $S > $ 10, 000.$ なら $$ 1000 + 0.2 (S - $ 10, 000)$ となる。

Piecewise Function 区分的に定義された関数

A piecewise function is a function in which more than one formula is used to define the output. Each formula has its own domain, and the domain of the function is the union of all these smaller domains. We notate this idea like this:

区分けして定めた関数とは、出力を定めるのに二つ以上の式を使う関数である。各式にはそれぞれの定義域があり、関数全体の定義域はこれら小さな定義域すべての和である。この考えを次のように書き表す。

f (x) = {\begin{cases} formula 1     if x is in domain 1 \\ formula 2     if x is in domain 2 \\ formula 3     if x is in domain 3 \end{cases}

In piecewise notation, the absolute value function is

区分けの書き方では、絶対値関数は次のようになる。

| x | = {\begin{cases} x if x \geq 0 \\ - x if x < 0 \end{cases}

How To 手順

Given a piecewise function, write the formula and identify the domain for each interval.

区分けして定めた関数が与えられたとき、式を書き、各区間の定義域を答える。

1. Identify the intervals for which different rules apply.2. Determine formulas that describe how to calculate an output from an input in each interval.3. Use braces and if-statements to write the function.

1. 違う規則が当てはまる区間を見分ける。2. 各区間で、入力から出力をどう計算するかを表す式を決める。3. 波括弧と「〜のとき」の文を使って関数を書く。

Example 11例11

Writing a Piecewise Function区分けして定めた関数を書く

A museum charges $5 per person for a guided tour with a group of 1 to 9 people or a fixed $50 fee for a group of 10 or more people. Write a function relating the number of people, $n,$ to the cost, $C .$ Since one cannot have fractions of a person, this is really a discrete function. However, for this exercise we will treat it as a continuous function.

ある博物館は、1人から9人までの団体には案内付きの見学を1人5ドルで、10人以上の団体には一律50ドルで提供している。人数 $n$ と費用 $C$ を結ぶ関数を書け。人数に端数は無いので、これは本来とびとびの関数である。ただしこの問題では連続な関数として扱う。

Solution 解答

Two different formulas will be needed. For n-values under 10, $C = 5 n .$ For values of $n$ that are 10 or greater, $C = 50.$

式が二つ必要になる。n が10未満のとき $C = 5 n$ である。 $n$ が10以上のとき $C = 50.$ である。

C (n) = {\begin{matrix} 5 n & if & 0 < n < 10 \\ 50 & if & n \geq 10 \end{matrix}

Analysis 考察

The function is represented in Figure 23. The graph is a diagonal line from $n = 0$ to $n = 10$ and a constant after that. In this example, the two formulas agree at the meeting point where $n = 10,$ but not all piecewise functions have this property.

この関数を図23に表す。グラフは $n = 0$ から $n = 10$ までが斜めの直線で、その後は一定である。この例では二つの式が境の $n = 10$ で一致するが、区分けして定めた関数がすべてそうなるわけではない。

Example 12例12

Working with a Piecewise Function区分けして定めた関数を扱う

A cell phone company uses the function below to determine the cost, $C,$ in dollars for $g$ gigabytes of data transfer.

ある携帯電話会社は、 $g$ ギガバイトのデータ通信にかかる費用 $C$ (ドル)を決めるのに次の関数を使っている。

C (g) = {\begin{matrix} 25 & if & 0 < g < 2 \\ 25 + 10 (g - 2) & if & g \geq 2 \end{matrix}

Find the cost of using 1.5 gigabytes of data and the cost of using 4 gigabytes of data.

1.5ギガバイト使ったときの費用と、4ギガバイト使ったときの費用を求めよ。

Solution 解答

To find the cost of using 1.5 gigabytes of data, $C (1.5),$ we first look to see which part of the domain our input falls in. Because 1.5 is less than 2, we use the first formula.

1.5ギガバイト使ったときの費用 $C (1.5)$ を求めるには、まず入力が定義域のどの部分に入るかを見る。1.5は2より小さいので、一つ目の式を使う。

C (1.5) = $ 25

To find the cost of using 4 gigabytes of data, $C (4),$ we see that our input of 4 is greater than 2, so we use the second formula.

4ギガバイト使ったときの費用 $C (4)$ を求めるには、入力の4が2より大きいので、二つ目の式を使う。

C (4) = 25 + 10 (4 - 2) = $ 45

Analysis 考察

The function is represented in Figure 24. We can see where the function changes from a constant to a shifted and stretched identity at $g = 2.$ We plot the graphs for the different formulas on a common set of axes, making sure each formula is applied on its proper domain.

この関数を図24に表す。 $g = 2.$ のところで、関数が定数から、平行移動して引き伸ばした恒等関数に変わるのが見てとれる。式ごとのグラフを共通の座標軸に描く。各式をそれぞれの定義域の上でだけ使うよう気をつけること。

How To 手順

Given a piecewise function, sketch a graph.

区分けして定めた関数が与えられたとき、そのグラフの概形を描く。

1. Indicate on the x-axis the boundaries defined by the intervals on each piece of the domain.2. For each piece of the domain, graph on that interval using the corresponding equation pertaining to that piece. Do not graph two functions over one interval because it would violate the criteria of a function.

1. 定義域の各区分けが定める境を x軸に印す。2. 定義域の各区分けについて、その区分けに対応する方程式を使ってその区間でグラフを描く。一つの区間に二つの関数を描いてはいけない。関数の条件に反するからである。

Example 13例13

Graphing a Piecewise Function区分けして定めた関数のグラフを描く

Sketch a graph of the function.

この関数のグラフの概形を描け。

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & if & x \leq 1 \\ 3 & if & 1 < x \leq 2 \\ x & if & x > 2 \end{matrix}

Solution 解答

Each of the component functions is from our library of toolkit functions, so we know their shapes. We can imagine graphing each function and then limiting the graph to the indicated domain. At the endpoints of the domain, we draw open circles to indicate where the endpoint is not included because of a less-than or greater-than inequality; we draw a closed circle where the endpoint is included because of a less-than-or-equal-to or greater-than-or-equal-to inequality.

部品となる関数はどれも道具となる関数の一覧にあるので、その形は分かっている。それぞれの関数のグラフを描いたうえで、指定された定義域に切り詰めると考えればよい。定義域の端では、「より小さい」「より大きい」の不等号のために端点を含まないところに白丸を描き、「以下」「以上」の不等号のために端点を含むところに黒丸を描く。

Figure 25 shows the three components of the piecewise function graphed on separate coordinate systems.

図25に、この区分けして定めた関数の三つの部品を別々の座標系に描いたものを示す。

Graph of each part of the piece-wise function f(x) — Figure 25 (a) $f (x) = x^{2} if x \leq 1;$ (b) $f (x) = 3 if 1< x \leq 2;$ (c) $f (x) = x if x > 2$

Now that we have sketched each piece individually, we combine them in the same coordinate plane. See Figure 26.

各区分けを別々に描いたので、これらを同じ座標平面にまとめる。図26を見よ。

Analysis 考察

Note that the graph does pass the vertical line test even at $x = 1$ and $x = 2$ because the points $(1, 3)$ and $(2, 2)$ are not part of the graph of the function, though $(1, 1)$ and $(2, 3)$ are.

$x = 1$ と $x = 2$ でも、このグラフが縦線の判定法を通ることに注意せよ。点 $(1, 3)$ と $(2, 2)$ はこの関数のグラフに含まれないが、 $(1, 1)$ と $(2, 3)$ は含まれるからである。

Try It #8やってみよう8

Graph the following piecewise function.

次の区分けして定めた関数のグラフを描け。

f (x) = {\begin{matrix} x^{3} & if & x < - 1 \\ - 2 & if & - 1 < x < 4 \\ \sqrt{x} & if & x > 4 \end{matrix}

Q&A 疑問と答え

Can more than one formula from a piecewise function be applied to a value in the domain?

区分けして定めた関数で、定義域の一つの値に二つ以上の式が当てはまることはあるか。

No. Each value corresponds to one equation in a piecewise formula.

無い。区分けの式では、各値が一つの方程式に対応する。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with domain and range.

定義域と値域についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Domain and Range of Square Root Functions• Determining Domain and Range• Find Domain and Range Given the Graph• Find Domain and Range Given a Table• Find Domain and Range Given Points on a Coordinate Plane

・平方根の関数の定義域と値域・定義域と値域を決める・グラフから定義域と値域を求める・表から定義域と値域を求める・座標平面上の点から定義域と値域を求める

Verbal言葉で答える問題

1. Why does the domain differ for different functions?

1. 関数によって定義域が違うのはなぜか。

2. How do we determine the domain of a function defined by an equation?

2. 方程式で定まる関数の定義域は、どうやって決めるか。

3. Explain why the domain of $f (x) = \sqrt[3]{x}$ is different from the domain of $f (x) = \sqrt[]{x} .$

3. $f (x) = \sqrt[3]{x}$ の定義域が $f (x) = \sqrt[]{x}$ の定義域と違う理由を説明せよ。

4. When describing sets of numbers using interval notation, when do you use a parenthesis and when do you use a bracket?

4. 区間の書き方で数の集合を述べるとき、丸括弧を使うのはどんなときで、角括弧を使うのはどんなときか。

5. How do you graph a piecewise function?

5. 区分けして定めた関数のグラフはどう描くか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, find the domain of each function using interval notation.

次の各問について、各関数の定義域を区間の書き方で求めよ。

6. $f (x) = - 2 x (x - 1) (x - 2)$

7. $f (x) = 5 - 2 x^{2}$

8. $f (x) = 3 \sqrt{x - 2}$

9. $f (x) = 3 - \sqrt{6 - 2 x}$

10. $f (x) = \sqrt{4 - 3 x}$

11. $f (x) = \sqrt[]{x^{2} + 4}$

12. $f (x) = \sqrt[3]{1 - 2 x}$

13. $f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

14. $f (x) = \frac{9}{x - 6}$

15. $f (x) = \frac{3 x + 1}{4 x + 2}$

16. $f (x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 4}$

17. $f (x) = \frac{x - 3}{x^{2} + 9 x - 22}$

18. $f (x) = \frac{1}{x^{2} - x - 6}$

19. $f (x) = \frac{2 x^{3} - 250}{x^{2} - 2 x - 15}$

20. $f (x) = \frac{5}{\sqrt{x - 3}}$

21. $f (x) = \frac{2 x + 1}{\sqrt{5 - x}}$

22. $f (x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x - 6}}$

23. $f (x) = \frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{x - 4}}$

24. $f (x) = \frac{x}{x}$

25. $f (x) = \frac{x^{2} - 9 x}{x^{2} - 81}$

26. Find the domain of the function $f (x) = \sqrt{2 x^{3} - 50 x}$ by:

26. 関数 $f (x) = \sqrt{2 x^{3} - 50 x}$ の定義域を、次のそれぞれの方法で求めよ。

ⓐusing algebra.ⓑgraphing the function in the radicand and determining intervals on the x-axis for which the radicand is nonnegative.

ⓐ代数を使う。ⓑ根号の中身の関数のグラフを描き、根号の中身が非負になる x軸上の区間を決める。

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, write the domain and range of each function using interval notation.

次の各問について、各関数の定義域と値域を区間の書き方で書け。

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

Graph of a function from (-infinity, 2].

34.

Graph of a function from [-4, infinity).

35.

Graph of a function from [-6, -1/6]U[1/6, 6]/.

36.

Graph of a function from (-2.5, infinity).

37.

Graph of a function from [-3, infinity).

For the following exercises, sketch a graph of the piecewise function. Write the domain in interval notation.

次の各問について、区分けして定めた関数のグラフの概形を描け。定義域を区間の書き方で書け。

38. $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 & if & x < - 2 \\ - 2 x - 3 & if & x \geq - 2 \end{array}$

39. $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x - 1 & if & x < 1 \\ 1 + x & if & x \geq 1 \end{array}$

40. $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 if x < 0 \\ x - 1 if x > 0 \end{matrix}$

41. $f (x) = {\begin{matrix} 3 & if & x < 0 \\ \sqrt{x} & if & x \geq 0 \end{matrix}$

42. $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} if x < 0 \\ 1 - x if x > 0 \end{matrix}$

43. $f (x) = {\begin{array}{r} \begin{array}{r} x^{2} \\ x + 2 \end{array} \end{array} \begin{array}{l} if x < 0 \\ if x \geq 0 \end{array}$

44. $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 & if & x < 1 \\ x^{3} & if & x \geq 1 \end{matrix}$

45. $f (x) = {\begin{matrix} | x | \\ 1 \end{matrix} \begin{array}{l} if x < 2 \\ if x \geq 2 \end{array}$

Numeric数値の問題

For the following exercises, given each function $f,$ evaluate $f (−3), f (−2), f (−1),$ and $f (0) .$

次の各問について、与えられた各関数 $f$ について $f (−3), f (−2), f (−1)$ と $f (0)$ の値を求めよ。

46. $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 & if & x < - 2 \\ - 2 x - 3 & if & x \geq - 2 \end{array}$

47. $f (x) = {\begin{matrix} 1 & if x \leq - 3 \\ 0 & if x > - 3 \end{matrix}$

48. $f (x) = {\begin{matrix} - 2 x^{2} + 3 & if x \leq - 1 \\ 5 x - 7 & if x > - 1 \end{matrix}$

For the following exercises, given each function $f,$ evaluate $f (−1), f (0), f (2),$ and $f (4) .$

次の各問について、与えられた各関数 $f$ について $f (−1), f (0), f (2)$ と $f (4)$ の値を求めよ。

49. $f (x) = {\begin{array}{l} 7 x + 3 & if & x < 0 \\ 7 x + 6 & if & x \geq 0 \end{array}$

50. $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 2 & if & x < 2 \\ 4 + | x - 5 | & if & x \geq 2 \end{matrix}$

51. $f (x) = {\begin{matrix} 5 x & if & x < 0 \\ 3 & if & 0 \leq x \leq 3 \\ x^{2} & if & x > 3 \end{matrix}$

For the following exercises, write the domain for the piecewise function in interval notation.

次の各問について、区分けして定めた関数の定義域を区間の書き方で書け。

52. $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 if x < - 2 \\ - 2 x - 3 if x \geq - 2 \end{matrix}$

53. $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 2 if x < 1 \\ - x^{2} + 2 if x > 1 \end{matrix}$

54. $f (x) = {\begin{matrix} 2 x - 3 \\ - 3 x^{2} \end{matrix} \begin{matrix} if x < 0 \\ if x \geq 2 \end{matrix}$

Technology機器を使う問題

55. Graph $y = \frac{1}{x^{2}}$ on the viewing window $[−0.5, −0.1]$ and $[0.1, 0.5] .$ Determine the corresponding range for the viewing window. Show the graphs.

55. 表示窓 $[−0.5, −0.1]$ 、 $[0.1, 0.5]$ で $y = \frac{1}{x^{2}}$ のグラフを描け。その表示窓に対応する値域を求めよ。グラフを示せ。

56. Graph $y = \frac{1}{x}$ on the viewing window $[−0.5, −0.1]$ and $[0.1, 0.5] .$ Determine the corresponding range for the viewing window. Show the graphs.

56. 表示窓 $[−0.5, −0.1]$ 、 $[0.1, 0.5]$ で $y = \frac{1}{x}$ のグラフを描け。その表示窓に対応する値域を求めよ。グラフを示せ。

Extension発展問題

57. Suppose the range of a function $f$ is $[−5, 8] .$ What is the range of $| f (x) | ?$

57. 関数 $f$ の値域が $[−5, 8]$ だとする。 $| f (x) | ?$ の値域はどうなるか。

58. Create a function in which the range is all nonnegative real numbers.

58. 値域が非負の実数全体になる関数を作れ。

59. Create a function in which the domain is $x > 2.$

59. 定義域が $x > 2.$ になる関数を作れ。

Real-World Applications応用問題

60. The height $h$ of a projectile is a function of the time $t$ it is in the air. The height in feet for $t$ seconds is given by the function $h (t) = −16 t^{2} + 96 t .$ What is the domain of the function? What does the domain mean in the context of the problem?

60. 投げ上げた物の高さ $h$ は、空中にある時間 $t$ の関数である。 $t$ 秒での高さ(フィート)は関数 $h (t) = −16 t^{2} + 96 t$ で与えられる。この関数の定義域は何か。この問題の文脈では、その定義域は何を意味するか。

61. The cost in dollars of making $x$ items is given by the function $C (x) = 10 x + 500.$

61. $x$ 個を作る費用(ドル)は関数 $C (x) = 10 x + 500.$ で与えられる。

ⓐThe fixed cost is determined when zero items are produced. Find the fixed cost for this item.ⓑWhat is the cost of making 25 items?ⓒSuppose the maximum cost allowed is $1500. What are the domain and range of the cost function, $C (x) ?$