第3章関数Functions

As we have seen in some examples above, we can represent a function using a graph. Graphs display a great many input-output pairs in a small space. The visual information they provide often makes relationships easier to understand. By convention, graphs are typically constructed with the input values along the horizontal axis and the output values along the vertical axis.

上のいくつかの例で見たとおり、関数はグラフで表せる。グラフは、入力と出力の組をたくさん狭い場所に示す。目で見て分かる情報は、関係の理解を助けることが多い。習わしとして、グラフはふつう入力値を横の軸に、出力値を縦の軸にとって描く。

The most common graphs name the input value $x$ and the output value $y,$ and we say $y$ is a function of $x,$ or $y=f\left(x\right)$ when the function is named $f.$ The graph of the function is the set of all points $(x,y)$ in the plane that satisfies the equation $y=f\left(x\right).$ If the function is defined for only a few input values, then the graph of the function is only a few points, where the x-coordinate of each point is an input value and the y-coordinate of each point is the corresponding output value. For example, the black dots on the graph in Figure 7 tell us that $f\left(0\right)=2$ and $f\left(6\right)=1.$ However, the set of all points $(x,y)$ satisfying $y=f\left(x\right)$ is a curve. The curve shown includes $(0,2)$ and $(6,1)$ because the curve passes through those points.

もっともよくあるグラフでは、入力値を $x$、出力値を $y$ と名づけ、$y$ は $x$ の関数であるという。関数の名前が $f$ なら $y=f\left(x\right)$ と書く。関数のグラフとは、方程式 $y=f\left(x\right)$ を満たす平面上の点 $(x,y)$ すべての集合である。関数がわずかな入力値についてしか定まっていなければ、そのグラフはわずかな点だけになる。各点の x座標が入力値、y座標が対応する出力値である。たとえば図7のグラフの黒い点は、$f\left(0\right)=2$ と $f\left(6\right)=1.$ を教えてくれる。しかし $y=f\left(x\right)$ を満たす点 $(x,y)$ すべての集合は曲線になる。示した曲線は $(0,2)$ と $(6,1)$ を含む。曲線がその点を通っているからである。

The vertical line test can be used to determine whether a graph represents a function. If we can draw any vertical line that intersects a graph more than once, then the graph does not define a function because a function has only one output value for each input value. See Figure 8.

グラフが関数を表しているかどうかは、縦線の判定法で決められる。グラフと二回以上交わる縦線が一本でも引けるなら、そのグラフは関数を定めていない。関数は各入力値に対して出力値を一つしか持たないからである。図8を見よ。