第3章関数Functions

Determining Even and Odd Functions偶関数と奇関数を判定する

Some functions exhibit symmetry so that reflections result in the original graph. For example, horizontally reflecting the toolkit functions $f (x) = x^{2}$ or $f (x) = | x |$ will result in the original graph. We say that these types of graphs are symmetric about the y-axis. A function whose graph is symmetric about the y-axis is called an even function.

折り返してももとのグラフに戻るような対称性を持つ関数がある。たとえば道具となる関数 $f (x) = x^{2}$ や $f (x) = | x |$ を横に折り返すと、もとのグラフに戻る。こうしたグラフは y軸に関して対称であるという。グラフが y軸に関して対称な関数を偶関数という。

If the graphs of $f (x) = x^{3}$ or $f (x) = \frac{1}{x}$ were reflected over both axes, the result would be the original graph, as shown in Figure 17.

$f (x) = x^{3}$ や $f (x) = \frac{1}{x}$ のグラフを両方の軸に関して折り返すと、図17のようにもとのグラフに戻る。

Graph of x^3 and its reflections. — Figure 17 (a) The cubic toolkit function (b) Horizontal reflection of the cubic toolkit function (c) Horizontal and vertical reflections reproduce the original cubic function.図17 (a) 道具となる三次関数 (b) 道具となる三次関数の横の対称移動 (c) 横と縦の対称移動でもとの三次関数に戻る。

We say that these graphs are symmetric about the origin. A function with a graph that is symmetric about the origin is called an odd function.

こうしたグラフは原点に関して対称であるという。グラフが原点に関して対称な関数を奇関数という。

Note: A function can be neither even nor odd if it does not exhibit either symmetry. For example, $f (x) = 2^{x}$ is neither even nor odd. Also, the only function that is both even and odd is the constant function $f (x) = 0.$

注意: どちらの対称性も持たない関数は、偶関数でも奇関数でもない。たとえば $f (x) = 2^{x}$ は偶関数でも奇関数でもない。また偶関数でも奇関数でもある唯一の関数は、定数関数 $f (x) = 0.$ である。

Even and Odd Functions 偶関数と奇関数

A function is called an even function if for every input $x$

どの入力 $x$ についても次が成り立つとき、その関数を偶関数という。

f (x) = f (- x)

The graph of an even function is symmetric about the $y -$ axis.

偶関数のグラフは $y -$ 軸に関して対称である。

A function is called an odd function if for every input $x$

どの入力 $x$ についても次が成り立つとき、その関数を奇関数という。

f (x) = - f (- x)

The graph of an odd function is symmetric about the origin.

奇関数のグラフは原点に関して対称である。

How To 手順

Given the formula for a function, determine if the function is even, odd, or neither.

関数の式が与えられたとき、それが偶関数か奇関数かどちらでもないかを判定する。

1. Determine whether the function satisfies $f (x) = f (- x) .$ If it does, it is even.2. Determine whether the function satisfies $f (x) = - f (- x) .$ If it does, it is odd.3. If the function does not satisfy either rule, it is neither even nor odd.

1. その関数が $f (x) = f (- x)$ を満たすかを調べる。満たすなら偶関数である。2. その関数が $f (x) = - f (- x)$ を満たすかを調べる。満たすなら奇関数である。3. どちらの規則も満たさなければ、偶関数でも奇関数でもない。

Example 12例12

Determining whether a Function Is Even, Odd, or Neither関数が偶関数か奇関数かどちらでもないかを判定する

Is the function $f (x) = x^{3} + 2 x$ even, odd, or neither?

関数 $f (x) = x^{3} + 2 x$ は偶関数か、奇関数か、どちらでもないか。

Solution 解答

Without looking at a graph, we can determine whether the function is even or odd by finding formulas for the reflections and determining if they return us to the original function. Let’s begin with the rule for even functions.

グラフを見なくても、対称移動の式を求めてもとの関数に戻るかどうかを調べれば、偶関数か奇関数かを判定できる。偶関数の規則から始めよう。

f (- x) = {(- x)}^{3} + 2 (- x) = - x^{3} - 2 x

This does not return us to the original function, so this function is not even. We can now test the rule for odd functions.

これはもとの関数に戻らないので、この関数は偶関数ではない。次に奇関数の規則を試せる。

- f (- x) = - (- x^{3} - 2 x) = x^{3} + 2 x

Because $- f (- x) = f (x),$ this is an odd function.

$- f (- x) = f (x)$ なので、これは奇関数である。

Analysis 考察

Consider the graph of $f$ in Figure 18. Notice that the graph is symmetric about the origin. For every point $(x, y)$ on the graph, the corresponding point $(- x, - y)$ is also on the graph. For example, (1, 3) is on the graph of $f,$ and the corresponding point $(−1, −3)$ is also on the graph.

図18の $f$ のグラフを見よ。グラフが原点に関して対称であることに注意せよ。グラフ上のどの点 $(x, y)$ についても、対応する点 $(- x, - y)$ もグラフ上にある。たとえば (1, 3) は $f$ のグラフ上にあり、対応する点 $(−1, −3)$ もグラフ上にある。

Graph of f(x) with labeled points at (1, 3) and (-1, -3).

Try It #8やってみよう8

Is the function $f (s) = s^{4} + 3 s^{2} + 7$ even, odd, or neither?

関数 $f (s) = s^{4} + 3 s^{2} + 7$ は偶関数か、奇関数か、どちらでもないか。