プリンピキア

第3章関数Functions

3.5 関数の変形

Graphing Functions Using Reflections about the Axes軸に関する対称移動を使って関数のグラフを描く

Another transformation that can be applied to a function is a reflection over the x- or y-axis. A vertical reflection reflects a graph vertically across the x-axis, while a horizontal reflection reflects a graph horizontally across the y-axis. The reflections are shown in Figure 12.

関数に当てられるもう一つの変形が、x軸または y軸に関する対称移動である。縦の対称移動はグラフを x軸に関して縦に折り返し、横の対称移動はグラフを y軸に関して横に折り返す。図12にこの対称移動を示す。

Graph of the vertical and horizontal reflection of a function.
Figure 12 Vertical and horizontal reflections of a function.図12 関数の縦と横の対称移動。

Notice that the vertical reflection produces a new graph that is a mirror image of the base or original graph about the x-axis. The horizontal reflection produces a new graph that is a mirror image of the base or original graph about the y-axis.

縦の対称移動は、もとのグラフを x軸に関して鏡に映した新しいグラフを生むことに注意せよ。横の対称移動は、もとのグラフを y軸に関して鏡に映した新しいグラフを生む。

Reflections 対称移動

Given a function f(x), a new function g(x)=−f(x) is a vertical reflection of the function f(x), sometimes called a reflection about (or over, or through) the x-axis.

関数 f(x), が与えられたとき、新しい関数 g(x)=−f(x) は関数 f(x) の縦の対称移動である。x軸に関する対称移動ともいう。

Given a function f(x), a new function g(x)=f(−x) is a horizontal reflection of the function f(x), sometimes called a reflection about the y-axis.

関数 f(x) が与えられたとき、新しい関数 g(x)=f(−x) は関数 f(x) の横の対称移動である。y軸に関する対称移動ともいう。

How To 手順

Given a function, reflect the graph both vertically and horizontally.

関数が与えられたとき、そのグラフを縦にも横にも折り返す。

1. Multiply all outputs by –1 for a vertical reflection. The new graph is a reflection of the original graph about the x-axis.2. Multiply all inputs by –1 for a horizontal reflection. The new graph is a reflection of the original graph about the y-axis.

1. 縦の対称移動では、すべての出力に –1 を掛ける。新しいグラフは、もとのグラフを x軸に関して折り返したものである。2. 横の対称移動では、すべての入力に –1 を掛ける。新しいグラフは、もとのグラフを y軸に関して折り返したものである。

Example 9例9

Reflecting a Graph Horizontally and Verticallyグラフを横と縦に折り返す

Reflect the graph of s(t)=t (a) vertically and (b) horizontally.

s(t)=t のグラフを (a) 縦に、(b) 横に折り返せ。

Solution 解答

ⓐReflecting the graph vertically means that each output value will be reflected over the horizontal t-axis as shown in Figure 13. Figure 13 Vertical reflection of the square root function Because each output value is the opposite of the original output value, we can write V(t)=−s(t)or V(t)=−tNotice that this is an outside change, or vertical shift, that affects the output s(t) values, so the negative sign belongs outside of the function.ⓑReflecting horizontally means that each input value will be reflected over the vertical axis as shown in Figure 14. Figure 14 Horizontal reflection of the square root function Because each input value is the opposite of the original input value, we can write H(t)=s(−t)or H(t)=−tNotice that this is an inside change or horizontal change that affects the input values, so the negative sign is on the inside of the function. Note that these transformations can affect the domain and range of the functions. While the original square root function has domain [0,∞) and range [0,∞), the vertical reflection gives the V(t) function the range ( −∞,0 ] and the horizontal reflection gives the H(t) function the domain ( −∞,0 ].

ⓐグラフを縦に折り返すとは、図13のように各出力値を横の t軸に関して折り返すことである。図13 平方根の関数の縦の対称移動。各出力値がもとの出力値の反数になるので V(t)=−s(t)またはV(t)=−t と書ける。これは外側の変更、すなわち出力 s(t) の値に効く変更なので、負の符号は関数の外側に付くことに注意せよ。ⓑ横に折り返すとは、図14のように各入力値を縦の軸に関して折り返すことである。図14 平方根の関数の横の対称移動。各入力値がもとの入力値の反数になるので H(t)=s(−t)またはH(t)=−t と書ける。これは内側の変更、すなわち入力値に効く変更なので、負の符号は関数の内側に付くことに注意せよ。これらの変形は関数の定義域と値域に効くことがある。もとの平方根の関数の定義域は [0,∞)、値域は [0,∞) だが、縦の対称移動によって V(t) の関数の値域は ( −∞,0 ] になり、横の対称移動によって H(t) の関数の定義域は ( −∞,0 ] になる。

Try It #5やってみよう5

Reflect the graph of f(x)=|x−1| (a) vertically and (b) horizontally.

f(x)=|x−1| のグラフを (a) 縦に、(b) 横に折り返せ。

Example 10例10

Reflecting a Tabular Function Horizontally and Vertically表で表された関数を横と縦に折り返す

A function f(x) is given as Table 6. Create a table for the functions below.

表6に関数 f(x) が与えられている。次の関数の表を作れ。

ⓐg(x)=−f(x)ⓑh(x)=f(−x)

x 2468
f(x) 13711

Solution 解答

ⓐFor g(x), the negative sign outside the function indicates a vertical reflection, so the x-values stay the same and each output value will be the opposite of the original output value. See Table 7. x 2 4 6 8 g(x) –1 –3 –7 –11 Table 7ⓑFor h(x), the negative sign inside the function indicates a horizontal reflection, so each input value will be the opposite of the original input value and the h(x) values stay the same as the f(x) values. See Table 8. x −2 −4 −6 −8 h(x) 1 3 7 11 Table 8

ⓐg(x) では、関数の外側の負の符号が縦の対称移動を示すので、x の値は変わらず、各出力値がもとの出力値の反数になる。表7を見よ。x 2 4 6 8 g(x) –1 –3 –7 –11 表7ⓑh(x) では、関数の内側の負の符号が横の対称移動を示すので、各入力値がもとの入力値の反数になり、h(x) の値は f(x) の値と同じままである。表8を見よ。x −2 −4 −6 −8 h(x) 1 3 7 11 表8

Try It #6やってみよう6

A function f(x) is given as Table 9. Create a table for the functions below.

表9に関数 f(x) が与えられている。次の関数の表を作れ。

ⓐg(x)=−f(x)ⓑh(x)=f(−x)

x −2024
f(x) 5101520

Example 11例11

Applying a Learning Model Equation学習のモデルの式を当てる

A common model for learning has an equation similar to k(t)=−2 −t +1, where k is the percentage of mastery that can be achieved after t practice sessions. This is a transformation of the function f(t)=2 t shown in Figure 15. Sketch a graph of k(t).

学習のよくあるモデルは k(t)=−2 −t +1 に似た式を持つ。ここで k は t 回練習した後に達しうる習熟の割合である。これは図15に示した関数 f(t)=2 t の変形である。k(t) のグラフの概形を描け。

A Cartesian coordinate graph shows an exponential function, f(t), with the t-axis labeled horizontally from -5 to 5 and the f(t)-axis labeled vertically from -5 to 5. The curve generally increases, passing through (0,1).

Solution 解答

This equation combines three transformations into one equation.

この式は三つの変形を一つの式にまとめている。

• A horizontal reflection: f(−t)=2 −t• A vertical reflection: −f(−t)=−2 −t• A vertical shift: −f(−t)+1=−2 −t +1

・横の対称移動: f(−t)=2 −t・縦の対称移動: −f(−t)=−2 −t・縦の平行移動: −f(−t)+1=−2 −t +1

We can sketch a graph by applying these transformations one at a time to the original function. Let us follow two points through each of the three transformations. We will choose the points (0, 1) and (1, 2).

もとの関数にこれらの変形を一つずつ当てていけば、グラフの概形を描ける。三つの変形を通して二つの点を追ってみよう。点 (0, 1) と (1, 2) を選ぶ。

1. First, we apply a horizontal reflection: (0, 1) (–1, 2).2. Then, we apply a vertical reflection: (0, -1) (-1, –2)3. Finally, we apply a vertical shift: (0, 0) (-1, -1)).

1. まず横の対称移動を当てる。(0, 1) → (–1, 2)2. 次に縦の対称移動を当てる。(0, -1) → (-1, –2)3. 最後に縦の平行移動を当てる。(0, 0) → (-1, -1)

This means that the original points, (0,1) and (1,2) become (0,0) and (-1,-1) after we apply the transformations.

つまり、もとの点 (0,1) と (1,2) は、変形を当てた後 (0,0) と (-1,-1) になる。

In Figure 16, the first graph results from a horizontal reflection. The second results from a vertical reflection. The third results from a vertical shift up 1 unit.

図16では、一つ目のグラフが横の対称移動の結果、二つ目が縦の対称移動の結果、三つ目が上へ1の縦の平行移動の結果である。

Graphs of all the transformations.

Analysis 考察

As a model for learning, this function would be limited to a domain of t≥0, with corresponding range [0,1).

学習のモデルとしては、この関数は定義域が t≥0 に限られ、対応する値域は [0,1) になる。

Try It #7やってみよう7

Given the toolkit function f(x)=x 2 , graph g(x)=−f(x) and h(x)=f(−x). Take note of any surprising behavior for these functions.

道具となる関数 f(x)=x 2 が与えられたとき、g(x)=−f(x) と h(x)=f(−x) のグラフを描け。これらの関数の意外なふるまいに注意せよ。