第3章関数Functions

Decomposing a Composite Function into its Component Functions合成関数をもとの関数に分解する

In some cases, it is necessary to decompose a complicated function. In other words, we can write it as a composition of two simpler functions. There may be more than one way to decompose a composite function, so we may choose the decomposition that appears to be most expedient.

込み入った関数を分解しなければならないことがある。つまり、より単純な二つの関数の合成として書くのである。合成関数の分け方は一通りとは限らないので、いちばん都合のよさそうな分け方を選べばよい。

Example 10例10

Decomposing a Function関数を分解する

Write $f (x) = \sqrt{5 - x^{2}}$ as the composition of two functions.

$f (x) = \sqrt{5 - x^{2}}$ を二つの関数の合成として書け。

Solution 解答

We are looking for two functions, $g$ and $h,$ so $f (x) = g (h (x)) .$ To do this, we look for a function inside a function in the formula for $f (x) .$ As one possibility, we might notice that the expression $5 - x^{2}$ is the inside of the square root. We could then decompose the function as

$f (x) = g (h (x))$ となるような二つの関数 $g$ と $h$ を探す。そのために、 $f (x)$ の式の中に関数の中の関数を探す。一つのやり方として、式 $5 - x^{2}$ が平方根の内側になっていることに気づくかもしれない。そうすればこの関数を次のように分解できる。

h (x) = 5 - x^{2} and g (x) = \sqrt{x}

We can check our answer by recomposing the functions.

関数をもう一度合成すれば、答えを確かめられる。

g (h (x)) = g (5 - x^{2}) = \sqrt{5 - x^{2}}

Try It #7やってみよう7

Write $f (x) = \frac{4}{3 - \sqrt{4 + x^{2}}}$ as the composition of two functions.

$f (x) = \frac{4}{3 - \sqrt{4 + x^{2}}}$ を二つの関数の合成として書け。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with composite functions.

合成関数についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Composite Functions• Composite Function Notation Application• Composite Functions Using Graphs• Decompose Functions• Composite Function Values

・合成関数・合成関数の表記の応用・グラフを使った合成関数・関数を分解する・合成関数の値

Verbal言葉で答える問題

1. How does one find the domain of the quotient of two functions, $\frac{f}{g} ?$

1. 二つの関数の商 $\frac{f}{g} ?$ の定義域は、どうやって求めるか。

2. What is the composition of two functions, $f \circ g ?$

2. 二つの関数の合成 $f \circ g ?$ とは何か。

3. If the order is reversed when composing two functions, can the result ever be the same as the answer in the original order of the composition? If yes, give an example. If no, explain why not.

3. 二つの関数を合成する順序を逆にしたとき、結果がもとの順のときと同じになることはありうるか。あるなら例を挙げよ。無いならその理由を説明せよ。

4. How do you find the domain for the composition of two functions, $f \circ g ?$

4. 二つの関数の合成 $f \circ g ?$ の定義域は、どうやって求めるか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, determine the domain for each function in interval notation.

次の各問について、各関数の定義域を区間の書き方で求めよ。

5. Given $f (x) = x^{2} + 2 x$ and $g (x) = 6 - x^{2},$ find $f + g, f - g, f g,$ and $\frac{f}{g} .$

5. $f (x) = x^{2} + 2 x$ と $g (x) = 6 - x^{2}$ が与えられたとき、 $f + g, f - g, f g$ と $\frac{f}{g}$ を求めよ。

6. Given $f (x) = - 3 x^{2} + x$ and $g (x) = 5,$ find $f + g, f - g, f g,$ and $\frac{f}{g} .$

6. $f (x) = - 3 x^{2} + x$ と $g (x) = 5$ が与えられたとき、 $f + g, f - g, f g$ と $\frac{f}{g}$ を求めよ。

7. Given $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$ and $g (x) = \frac{1}{2 x},$ find $f + g, f - g, f g,$ and $\frac{f}{g} .$

7. $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$ と $g (x) = \frac{1}{2 x}$ が与えられたとき、 $f + g, f - g, f g$ と $\frac{f}{g}$ を求めよ。

8. Given $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ and $g (x) = \frac{1}{6 - x},$ find $f + g, f - g, f g,$ and $\frac{f}{g} .$

8. $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ と $g (x) = \frac{1}{6 - x}$ が与えられたとき、 $f + g, f - g, f g$ と $\frac{f}{g}$ を求めよ。

9. Given $f (x) = 3 x^{2}$ and $g (x) = \sqrt{x - 5},$ find $f + g, f - g, f g,$ and $\frac{f}{g} .$

9. $f (x) = 3 x^{2}$ と $g (x) = \sqrt{x - 5}$ が与えられたとき、 $f + g, f - g, f g$ と $\frac{f}{g}$ を求めよ。

10. Given $f (x) = \sqrt{x}$ and $g (x) = | x - 3 |,$ find $\frac{g}{f} .$

10. $f (x) = \sqrt{x}$ と $g (x) = | x - 3 |$ が与えられたとき、 $\frac{g}{f}$ を求めよ。

11. For the following exercise, find the indicated function given $f (x) = 2 x^{2} + 1$ and $g (x) = 3 x - 5 .$

11. 次の問について、 $f (x) = 2 x^{2} + 1$ と $g (x) = 3 x - 5$ が与えられたとして、示された関数を求めよ。

ⓐ $f (g (2))$ ⓑ $f (g (x))$ ⓒ $g (f (x))$ ⓓ $(g \circ g) (x)$ ⓔ $(f \circ f) (- 2)$

For the following exercises, use each pair of functions to find $f (g (x))$ and $g (f (x)) .$ Simplify your answers.

次の各問について、それぞれの関数の組を使って $f (g (x))$ と $g (f (x))$ を求めよ。答えを簡単にせよ。

12. $f (x) = x^{2} + 1, g (x) = \sqrt{x + 2}$

13. $f (x) = \sqrt{x} + 2, g (x) = x^{2} + 3$

14. $f (x) = | x |, g (x) = 5 x + 1$

15. $f (x) = \sqrt[3]{x}, g (x) = \frac{x + 1}{x^{3}}$

16. $f (x) = \frac{1}{x - 6}, g (x) = \frac{7}{x} + 6$

17. $f (x) = \frac{1}{x - 4}, g (x) = \frac{2}{x} + 4$

For the following exercises, use each set of functions to find $f (g (h (x))) .$ Simplify your answers.

次の各問について、それぞれの関数の組を使って $f (g (h (x)))$ を求めよ。答えを簡単にせよ。

18. $f (x) = x^{4} + 6,$ $g (x) = x - 6,$ and $h (x) = \sqrt{x}$

18. $f (x) = x^{4} + 6$ 、 $g (x) = x - 6$ 、 $h (x) = \sqrt{x}$

19. $f (x) = x^{2} + 1,$ $g (x) = \frac{1}{x},$ and $h (x) = x + 3$

19. $f (x) = x^{2} + 1$ 、 $g (x) = \frac{1}{x}$ 、 $h (x) = x + 3$

20. Given $f (x) = \frac{1}{x}$ and $g (x) = x - 3,$ find the following:

20. $f (x) = \frac{1}{x}$ と $g (x) = x - 3$ が与えられたとき、次を求めよ。

ⓐ $(f \circ g) (x)$ ⓑthe domain of $(f \circ g) (x)$ in interval notationⓒ $(g \circ f) (x)$ ⓓthe domain of $(g \circ f) (x)$ ⓔ $(\frac{f}{g}) (x)$

ⓑ $(f \circ g) (x)$ の定義域を区間の書き方でⓓ $(g \circ f) (x)$ の定義域

21. Given $f (x) = \sqrt{2 - 4 x}$ and $g (x) = - \frac{3}{x},$ find the following:

21. $f (x) = \sqrt{2 - 4 x}$ と $g (x) = - \frac{3}{x}$ が与えられたとき、次を求めよ。

ⓐ $(g \circ f) (x)$ ⓑthe domain of $(g \circ f) (x)$ in interval notation

ⓑ $(g \circ f) (x)$ の定義域を区間の書き方で

22. Given the functions $f (x) = \frac{1 - x}{x} and g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}},$ find the following:

22. 関数 $f (x) = \frac{1 - x}{x} および g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ が与えられたとき、次を求めよ。

ⓐ $(g \circ f) (x)$ ⓑ $(g \circ f) (2)$

23. Given functions $p (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ and $m (x) = x^{2} - 4,$ state the domain of each of the following functions using interval notation:

23. 関数 $p (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ と $m (x) = x^{2} - 4$ が与えられたとき、次の各関数の定義域を区間の書き方で述べよ。

ⓐ $\frac{p (x)}{m (x)}$ ⓑ $p (m (x))$ ⓒ $m (p (x))$

24. Given functions $q (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ and $h (x) = x^{2} - 9,$ state the domain of each of the following functions using interval notation.

24. 関数 $q (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ と $h (x) = x^{2} - 9$ が与えられたとき、次の各関数の定義域を区間の書き方で述べよ。

ⓐ $\frac{q (x)}{h (x)}$ ⓑ $q (h (x))$ ⓒ $h (q (x))$

25. For $f (x) = \frac{1}{x}$ and $g (x) = \sqrt{x - 1},$ write the domain of $(f \circ g) (x)$ in interval notation.

25. $f (x) = \frac{1}{x}$ と $g (x) = \sqrt{x - 1}$ について、 $(f \circ g) (x)$ の定義域を区間の書き方で書け。

For the following exercises, find functions $f (x)$ and $g (x)$ so the given function can be expressed as $h (x) = f (g (x)) .$

次の各問について、与えられた関数を $h (x) = f (g (x))$ と表せるような関数 $f (x)$ と $g (x)$ を求めよ。

26. $h (x) = {(x + 2)}^{2}$

27. $h (x) = {(x - 5)}^{3}$

28. $h (x) = \frac{3}{x - 5}$

29. $h (x) = \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

30. $h (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$

31. $h (x) = \sqrt[3]{\frac{1}{2 x - 3}}$

32. $h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} - 4)}^{- 3}}$

33. $h (x) = \sqrt[4]{\frac{3 x - 2}{x + 5}}$

34. $h (x) = {(\frac{8 + x^{3}}{8 - x^{3}})}^{4}$

35. $h (x) = \sqrt{2 x + 6}$

36. $h (x) = {(5 x - 1)}^{3}$

37. $h (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

38. $h (x) = | x^{2} + 7 |$

39. $h (x) = \frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$

40. $h (x) = {(\frac{1}{2 x - 3})}^{2}$

41. $h (x) = \sqrt{\frac{2 x - 1}{3 x + 4}}$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, use the graphs of $f,$ shown in Figure 4, and $g,$ shown in Figure 5, to evaluate the expressions.

次の各問では、図4に示した $f$ と図5に示した $g$ のグラフを使って式の値を求めよ。

42. $f (g (3))$

43. $f (g (1))$

44. $g (f (1))$

45. $g (f (0))$

46. $f (f (5))$

47. $f (f (4))$

48. $g (g (2))$

49. $g (g (0))$

For the following exercises, use graphs of $f (x),$ shown in Figure 6, $g (x),$ shown in Figure 7, and $h (x),$ shown in Figure 8, to evaluate the expressions.

次の各問では、図6に示した $f (x)$ 、図7に示した $g (x)$ 、図8に示した $h (x)$ のグラフを使って式の値を求めよ。

A graph of the function f(x) showing a parabola opening upwards, with its vertex located at the origin (0, 0). The parabola passes through points such as (-2, 4) and (2, 4).

50. $g (f (1))$

51. $g (f (2))$

52. $f (g (4))$

53. $f (g (1))$

54. $f (h (2))$

55. $h (f (2))$

56. $f (g (h (4)))$

57. $f (g (f (- 2)))$

Numeric数値の問題

For the following exercises, use the function values for $f and g$ shown in Table 3 to evaluate each expression.

次の各問では、表3に示した $f および g$ の関数の値を使って各式の値を求めよ。

$x$	$f (x)$	$g (x)$
0	7	9
1	6	5
2	5	6
3	8	2
4	4	1
5	0	8
6	2	7
7	1	3
8	9	4
9	3	0

58. $f (g (8))$

59. $f (g (5))$

60. $g (f (5))$

61. $g (f (3))$

62. $f (f (4))$

63. $f (f (1))$

64. $g (g (2))$

65. $g (g (6))$

For the following exercises, use the function values for $f and g$ shown in Table 4 to evaluate the expressions.

次の各問では、表4に示した $f および g$ の関数の値を使って式の値を求めよ。

$x$	$f (x)$	$g (x)$
$−3$	11	$−8$
$−2$	9	$−3$
$−1$	7	0
0	5	1
1	3	0
2	1	$−3$
3	$−1$	$−8$

66. $(f \circ g) (1)$

67. $(f \circ g) (2)$

68. $(g \circ f) (2)$

69. $(g \circ f) (3)$

70. $(g \circ g) (1)$

71. $(f \circ f) (3)$

For the following exercises, use each pair of functions to find $f (g (0))$ and $g (f (0)) .$

次の各問について、それぞれの関数の組を使って $f (g (0))$ と $g (f (0))$ を求めよ。

72. $f (x) = 4 x + 8, g (x) = 7 - x^{2}$

73. $f (x) = 5 x + 7, g (x) = 4 - 2 x^{2}$

74. $f (x) = \sqrt{x + 4}, g (x) = 12 - x^{3}$

75. $f (x) = \frac{1}{x + 2}, g (x) = 4 x + 3$

For the following exercises, use the functions $f (x) = 2 x^{2} + 1$ and $g (x) = 3 x + 5$ to evaluate or find the composite function as indicated.

次の各問では、関数 $f (x) = 2 x^{2} + 1$ と $g (x) = 3 x + 5$ を使って、指示された合成関数の値を求めるか、その合成関数を求めよ。

76. $f (g (2))$

77. $f (g (x))$

78. $g (f (- 3))$

79. $(g \circ g) (x)$

Extensions発展問題

For the following exercises, use $f (x) = x^{3} + 1$ and $g (x) = \sqrt[3]{x - 1} .$

次の各問では $f (x) = x^{3} + 1$ と $g (x) = \sqrt[3]{x - 1}$ を使え。

80. Find $(f \circ g) (x)$ and $(g \circ f) (x) .$ Compare the two answers.

80. $(f \circ g) (x)$ と $(g \circ f) (x)$ を求めよ。二つの答えを比べよ。

81. Find $(f \circ g) (2)$ and $(g \circ f) (2) .$

81. $(f \circ g) (2)$ と $(g \circ f) (2)$ を求めよ。

82. What is the domain of $(g \circ f) (x) ?$

82. $(g \circ f) (x) ?$ の定義域は何か。

83. What is the domain of $(f \circ g) (x) ?$

83. $(f \circ g) (x) ?$ の定義域は何か。

84. Let $f (x) = \frac{1}{x} .$

84. $f (x) = \frac{1}{x}$ とする。

ⓐFind $(f \circ f) (x) .$ ⓑIs $(f \circ f) (x)$ for any function $f$ the same result as the answer to part (a) for any function? Explain.

ⓐ $(f \circ f) (x)$ を求めよ。ⓑどんな関数 $f$ についても $(f \circ f) (x)$ は、(a)の答えと同じ結果になるか。説明せよ。

For the following exercises, let $F (x) = {(x + 1)}^{5},$ $f (x) = x^{5},$ and $g (x) = x + 1.$

次の各問では $F (x) = {(x + 1)}^{5}$ 、 $f (x) = x^{5}$ 、 $g (x) = x + 1.$ とせよ。

85. True or False: $(g \circ f) (x) = F (x) .$

85. 正しいか誤りか。 $(g \circ f) (x) = F (x)$

86. True or False: $(f \circ g) (x) = F (x) .$

86. 正しいか誤りか。 $(f \circ g) (x) = F (x)$

For the following exercises, find the composition when $f (x) = x^{2} + 2$ for all $x \geq 0$ and $g (x) = \sqrt{x - 2} .$

次の各問について、すべての $x \geq 0$ について $f (x) = x^{2} + 2$ であり $g (x) = \sqrt{x - 2}$ であるときの合成を求めよ。

87. $(f \circ g) (6); (g \circ f) (6)$

88. $(g \circ f) (a); (f \circ g) (a)$

89. $(f \circ g) (11); (g \circ f) (11)$

Real-World Applications応用問題

90. The function $D (p)$ gives the number of items that will be demanded when the price is $p .$ The production cost $C (x)$ is the cost of producing $x$ items. To determine the cost of production when the price is $6, you would do which of the following?

90. 関数 $D (p)$ は、値段が $p$ のときに求められる品数を与える。生産費 $C (x)$ は $x$ 個を作る費用である。値段が6ドルのときの生産費を求めるには、次のうちどれをすればよいか。

91. The function $A (d)$ gives the pain level on a scale of 0 to 10 experienced by a patient with $d$ milligrams of a pain-reducing drug in her system. The milligrams of the drug in the patient’s system after $t$ minutes is modeled by $m (t) .$ Which of the following would you do in order to determine when the patient will be at a pain level of 4?

91. 関数 $A (d)$ は、鎮痛剤 $d$ ミリグラムが体内にある患者が感じる痛みの度合いを、0から10の目盛りで与える。 $t$ 分後に患者の体内にある薬のミリグラム数は $m (t)$ で表される。患者の痛みの度合いが4になる時刻を求めるには、次のうちどれをすればよいか。

92. A store offers customers a 30% discount on the price $x$ of selected items. Then, the store takes off an additional 15% at the cash register. Write a price function $P (x)$ that computes the final price of the item in terms of the original price $x .$ (Hint: Use function composition to find your answer.)

92. ある店は、選んだ品物の値段 $x$ から30%を割り引く。さらに会計時にもう15%引く。もとの値段 $x$ を使って最終の値段を計算する関数 $P (x)$ を書け。(手がかり: 関数の合成を使って答えを求めよ。)

93. A rain drop hitting a lake makes a circular ripple. If the radius, in inches, grows as a function of time in minutes according to $r (t) = 25 \sqrt{t + 2},$ find the area of the ripple as a function of time. Find the area of the ripple at $t = 2.$

93. 湖に落ちた雨粒が円い波紋を作る。半径(インチ)が時間(分)の関数として $r (t) = 25 \sqrt{t + 2}$ に従って広がるとき、波紋の面積を時間の関数として求めよ。 $t = 2.$ での波紋の面積を求めよ。

94. A forest fire leaves behind an area of grass burned in an expanding circular pattern. If the radius of the circle of burning grass is increasing with time according to the formula $r (t) = 2 t + 1,$ express the area burned as a function of time, $t$ (minutes).

94. 森林火災の跡には、円く広がる形で焼けた草地が残る。焼けている草の円の半径が時間とともに公式 $r (t) = 2 t + 1$ に従って増えるとき、焼けた面積を時間 $t$ (分)の関数として表せ。

95. Use the function you found in the previous exercise to find the total area burned after 5 minutes.

95. 前問で求めた関数を使って、5分後に焼けた面積の合計を求めよ。

96. The radius $r,$ in inches, of a spherical balloon is related to the volume, $V,$ by $r (V) = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}} .$ Air is pumped into the balloon, so the volume after $t$ seconds is given by $V (t) = 10 + 20 t .$

96. 球形の風船の半径 $r$ (インチ)は、体積 $V$ と $r (V) = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}}$ で結びつく。風船に空気を送り込むので、 $t$ 秒後の体積は $V (t) = 10 + 20 t$ で与えられる。

ⓐFind the composite function $r (V (t)) .$ ⓑFind the exact time when the radius reaches 10 inches.

ⓐ合成関数 $r (V (t))$ を求めよ。ⓑ半径が10インチに達する正確な時刻を求めよ。

97. The number of bacteria in a refrigerated food product is given by $N (T) = 23 T^{2} - 56 T + 1,$ $3 < T < 33,$ where $T$ is the temperature of the food. When the food is removed from the refrigerator, the temperature is given by $T (t) = 5 t + 1.5,$ where $t$ is the time in hours.

97. 冷蔵した食品の中の細菌の数は $N (T) = 23 T^{2} - 56 T + 1$ $3 < T < 33$ で与えられる。ここで $T$ は食品の温度である。冷蔵庫から出すと、温度は $T (t) = 5 t + 1.5$ で与えられる。ここで $t$ は時間(時)である。

ⓐFind the composite function $N (T (t)) .$ ⓑFind the time (round to two decimal places) when the bacteria count reaches 6752.

ⓐ合成関数 $N (T (t))$ を求めよ。ⓑ細菌の数が6752に達する時刻を求めよ(小数第二位まで四捨五入せよ)。