第3章関数Functions

As we discussed previously, the domain of a composite function such as $f\circ g$ is dependent on the domain of $g$ and the domain of $f.$ It is important to know when we can apply a composite function and when we cannot, that is, to know the domain of a function such as $f\circ g.$ Let us assume we know the domains of the functions $f$ and $g$ separately. If we write the composite function for an input $x$ as $f\left(g\left(x\right)\right),$ we can see right away that $x$ must be a member of the domain of $g$ in order for the expression to be meaningful, because otherwise we cannot complete the inner function evaluation. However, we also see that $g\left(x\right)$ must be a member of the domain of $f,$ otherwise the second function evaluation in $f\left(g\left(x\right)\right)$ cannot be completed, and the expression is still undefined. Thus the domain of $f\circ g$ consists of only those inputs in the domain of $g$ that produce outputs from $g$ belonging to the domain of $f.$ Note that the domain of $f$ composed with $g$ is the set of all $x$ such that $x$ is in the domain of $g$ and $g\left(x\right)$ is in the domain of $f.$

先に述べたとおり、$f\circ g$ のような合成関数の定義域は、$g$ の定義域と $f$ の定義域に依る。合成関数をいつ使えていつ使えないか、つまり $f\circ g$ のような関数の定義域を知ることが大切である。関数 $f$ と $g$ それぞれの定義域は分かっているとしよう。入力 $x$ に対する合成関数を $f\left(g\left(x\right)\right)$ と書けば、この式が意味を持つには $x$ が $g$ の定義域に属さなければならないことがすぐに分かる。そうでなければ内側の関数の値を求められないからである。しかし $g\left(x\right)$ も $f$ の定義域に属さなければならない。そうでなければ $f\left(g\left(x\right)\right)$ の二つ目の値が求められず、式は定義されないままである。よって $f\circ g$ の定義域は、$g$ の定義域の中で、$g$ の出力が $f$ の定義域に属するような入力だけからなる。$g$ と合成した $f$ の定義域は、$x$ が $g$ の定義域にあり、かつ $g\left(x\right)$ が $f$ の定義域にあるような $x$ 全体の集合であることに注意せよ。