第3章関数Functions

Performing algebraic operations on functions combines them into a new function, but we can also create functions by composing functions. When we wanted to compute a heating cost from a day of the year, we created a new function that takes a day as input and yields a cost as output. The process of combining functions so that the output of one function becomes the input of another is known as a composition of functions. The resulting function is known as a composite function. We represent this combination by the following notation:

関数に代数の計算を行うと、それらを組み合わせた新しい関数ができる。しかし関数を合成することでも関数を作れる。一年のどの日かから暖房費を求めたいとき、日を入力として費用を出力する新しい関数を作った。一方の関数の出力がもう一方の関数の入力になるように関数を組み合わせることを、関数の合成という。できた関数を合成関数という。この組み合わせを次の書き方で表す。

We read the left-hand side as $“f$ composed with $g$ at $x,”$ and the right-hand side as $“f$ of $g$ of $x.”$ The two sides of the equation have the same mathematical meaning and are equal. The open circle symbol $\circ$ is called the composition operator. We use this operator mainly when we wish to emphasize the relationship between the functions themselves without referring to any particular input value. Composition is a binary operation that takes two functions and forms a new function, much as addition or multiplication takes two numbers and gives a new number. However, it is important not to confuse function composition with multiplication because, as we learned above, in most cases $f(g(x))\ne f(x)g(x).$

左辺は「$x,”$ における $“f$ 合成 $g$」、右辺は「$x.”$ の $g$ の $“f$」と読む。等式の両辺は数学として同じ意味であり、等しい。白丸の記号 $\circ$ を合成の演算子という。特定の入力値に触れずに、関数どうしの関係そのものを強調したいときにおもに使う。加法や乗法が二つの数から新しい数を作るのと同じように、合成は二つの関数から新しい関数を作る二項演算である。ただし、上で学んだとおり多くの場合 $f(g(x))\ne f(x)g(x)$ なので、関数の合成を乗法と混同しないことが大切である。

It is also important to understand the order of operations in evaluating a composite function. We follow the usual convention with parentheses by starting with the innermost parentheses first, and then working to the outside. In the equation above, the function $g$ takes the input $x$ first and yields an output $g\left(x\right).$ Then the function $f$ takes $g\left(x\right)$ as an input and yields an output $f\left(g\left(x\right)\right).$

合成関数の値を求めるときの計算の順序を理解しておくことも大切である。括弧のいつもの約束に従い、いちばん内側の括弧から始めて外へ進む。上の式では、関数 $g$ がまず入力 $x$ を受け取って出力 $g\left(x\right)$ を出す。次に関数 $f$ が $g\left(x\right)$ を入力として受け取り、出力 $f\left(g\left(x\right)\right)$ を出す。

In general, $f\circ g$ and $g\circ f$ are different functions. In other words, in many cases $f\left(g\left(x\right)\right)\ne g\left(f\left(x\right)\right)$ for all $x.$ We will also see that sometimes two functions can be composed only in one specific order.

一般に $f\circ g$ と $g\circ f$ は違う関数である。言い換えると、多くの場合、すべての $x$ について $f\left(g\left(x\right)\right)\ne g\left(f\left(x\right)\right)$ となる。二つの関数が特定の順にしか合成できないこともある。

For example, if $f\left(x\right)=x^2$ and $g\left(x\right)=x+2,$ then

たとえば $f\left(x\right)=x^2$ と $g\left(x\right)=x+2$ のとき、

but

しかし

These expressions are not equal for all values of $x,$ so the two functions are not equal. It is irrelevant that the expressions happen to be equal for the single input value $x=-\frac{1}{2}.$

この二つの式はすべての $x$ について等しいわけではないので、二つの関数は等しくない。たまたま一つの入力値 $x=-\frac{1}{2}$ で等しくなっても関係ない。

Note that the range of the inside function (the first function to be evaluated) needs to be within the domain of the outside function. Less formally, the composition has to make sense in terms of inputs and outputs.

内側の関数(先に値を求める方の関数)の値域が、外側の関数の定義域の中に入っていなければならないことに注意せよ。くだけていえば、入力と出力の意味で合成が筋の通ったものでなければならない。