第3章関数Functions

Function composition is only one way to combine existing functions. Another way is to carry out the usual algebraic operations on functions, such as addition, subtraction, multiplication and division. We do this by performing the operations with the function outputs, defining the result as the output of our new function.

関数の合成は、すでにある関数を組み合わせる方法の一つにすぎない。もう一つの方法は、関数に加法・減法・乗法・除法といういつもの代数の計算を行うことである。関数の出力どうしに計算を行い、その結果を新しい関数の出力と定めればよい。

Suppose we need to add two columns of numbers that represent a husband and wife’s separate annual incomes over a period of years, with the result being their total household income. We want to do this for every year, adding only that year’s incomes and then collecting all the data in a new column. If $w(y)$ is the wife’s income and $h(y)$ is the husband’s income in year $y,$ and we want $T$ to represent the total income, then we can define a new function.

夫婦それぞれの年収を何年分か並べた二つの列を足して、世帯の総収入を出したいとしよう。毎年についてこれを行いたい。その年の収入だけを足し、その結果を新しい列にまとめていく。$y$ 年の妻の収入を $w(y)$、夫の収入を $h(y)$ とし、$T$ に総収入を表させたいなら、新しい関数を定められる。

If this holds true for every year, then we can focus on the relation between the functions without reference to a year and write

これがどの年でも成り立つなら、年に触れずに関数どうしの関係だけに目を向けて、次のように書ける。

Just as for this sum of two functions, we can define difference, product, and ratio functions for any pair of functions that have the same kinds of inputs (not necessarily numbers) and also the same kinds of outputs (which do have to be numbers so that the usual operations of algebra can apply to them, and which also must have the same units or no units when we add and subtract). In this way, we can think of adding, subtracting, multiplying, and dividing functions.

この二つの関数の和と同じように、入力の種類が同じ(数とは限らない)で、出力の種類も同じ(いつもの代数の計算ができるように数でなければならず、足し引きするなら単位も同じか単位無しでなければならない)関数の組なら、差・積・商の関数も定められる。こうして、関数を足し、引き、掛け、割ると考えられる。

For two functions $f\left(x\right)$ and $g\left(x\right)$ with real number outputs, we define new functions $f+g,f-g,fg,$ and $\frac{f}{g}$ by the relations

出力が実数である二つの関数 $f\left(x\right)$ と $g\left(x\right)$ について、新しい関数 $f+g,f-g,fg$ と $\frac{f}{g}$ を次の関係で定める。