第3章関数Functions

Identifying Basic Toolkit Functions基本の道具となる関数を見分ける

In this text, we will be exploring functions—the shapes of their graphs, their unique characteristics, their algebraic formulas, and how to solve problems with them. When learning to read, we start with the alphabet. When learning to do arithmetic, we start with numbers. When working with functions, it is similarly helpful to have a base set of building-block elements. We call these our “toolkit functions,” which form a set of basic named functions for which we know the graph, formula, and special properties. Some of these functions are programmed to individual buttons on many calculators. For these definitions we will use $x$ as the input variable and $y = f (x)$ as the output variable.

本書では関数を調べていく。グラフの形、固有の特徴、代数の式、そしてそれらを使って問題を解く方法である。読み方を学ぶときはアルファベットから始める。算術を学ぶときは数から始める。関数を扱うときも同じように、土台となる部品の一組があると助かる。これを「道具となる関数」と呼ぶ。グラフ・式・特別な性質が分かっている、名前の付いた基本の関数の一組である。このうちいくつかは、多くの電卓の個別のボタンに組み込まれている。これらを定めるにあたっては、 $x$ を入力の変数、 $y = f (x)$ を出力の変数として使う。

We will see these toolkit functions, combinations of toolkit functions, their graphs, and their transformations frequently throughout this book. It will be very helpful if we can recognize these toolkit functions and their features quickly by name, formula, graph, and basic table properties. The graphs and sample table values are included with each function shown in Table 13.

これらの道具となる関数、その組み合わせ、そのグラフ、その変形は、本書のあちこちで何度も出てくる。名前・式・グラフ・表の基本の性質から、これらの関数とその特徴をすぐに見分けられると、大いに助けになる。表13では、各関数にグラフと表の値の例を添えてある。

Toolkit Functions道具となる関数
Name名前	Function関数	Graphグラフ
Constant定数関数	$f (x) = c,$ where $c$ is a constant $f (x) = c$ ここで $c$ は定数
Identity恒等関数	$f (x) = x$
Absolute value絶対値	$f (x) = \| x \|$
Quadratic二次関数	$f (x) = x^{2}$
Cubic三次関数	$f (x) = x^{3}$
Reciprocal逆数	$f (x) = \frac{1}{x}$
Reciprocal squared逆数の二乗	$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$
Square root平方根	$f (x) = \sqrt{x}$
Cube root三乗根	$f (x) = \sqrt[3]{x}$

Media 教材

Access the following online resources for additional instruction and practice with functions.

関数についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Determine if a Relation is a Function• Vertical Line Test• Introduction to Functions• Vertical Line Test on Graph• One-to-one Functions• Graphs as One-to-one Functions

・ある関係が関数かどうかを判定する・縦線の判定法・関数のはじめに・グラフでの縦線の判定法・一対一の関数・一対一の関数としてのグラフ

Verbal言葉で答える問題

1. What is the difference between a relation and a function?

1. 関係と関数はどう違うか。

2. What is the difference between the input and the output of a function?

2. 関数の入力と出力はどう違うか。

3. Why does the vertical line test tell us whether the graph of a relation represents a function?

3. 縦線の判定法が、ある関係のグラフが関数を表しているかどうかを教えてくれるのはなぜか。

4. How can you determine if a relation is a one-to-one function?

4. ある関係が一対一の関数かどうかを、どうすれば判定できるか。

5. Why does the horizontal line test tell us whether the graph of a function is one-to-one?

5. 横線の判定法が、ある関数のグラフが一対一かどうかを教えてくれるのはなぜか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, determine whether the relation represents a function.

次の各問について、その関係が関数を表しているかどうかを判定せよ。

6. ${(a, b), (c, d), (a, c)}$

7. ${(a, b), (b, c), (c, c)}$

For the following exercises, determine whether the relation represents $y$ as a function of $x .$

次の各問について、その関係が $y$ を $x$ の関数として表しているかどうかを判定せよ。

8. $5 x + 2 y = 10$

9. $y = x^{2}$

10. $x = y^{2}$

11. $3 x^{2} + y = 14$

12. $2 x + y^{2} = 6$

13. $y = - 2 x^{2} + 40 x$

14. $y = \frac{1}{x}$

15. $x = \frac{3 y + 5}{7 y - 1}$

16. $x = \sqrt{1 - y^{2}}$

17. $y = \frac{3 x + 5}{7 x - 1}$

18. $x^{2} + y^{2} = 9$

19. $2 x y = 1$

20. $x = y^{3}$

21. $y = x^{3}$

22. $y = \sqrt{1 - x^{2}}$

23. $x = \pm \sqrt{1 - y}$

24. $y = \pm \sqrt{1 - x}$

25. $y^{2} = x^{2}$

26. $y^{3} = x^{2}$

For the following exercises, evaluate $f (−3), f (2), f (- a), - f (a), f (a + h) .$

次の各問について、 $f (−3), f (2), f (- a), - f (a), f (a + h)$ の値を求めよ。

27. $f (x) = 2 x - 5$

28. $f (x) = - 5 x^{2} + 2 x - 1$

29. $f (x) = \sqrt{2 - x} + 5$

30. $f (x) = \frac{6 x - 1}{5 x + 2}$

31. $f (x) = | x - 1 | - | x + 1 |$

32. Given the function $g (x) = 5 - x^{2},$ evaluate $\frac{g (x + h) - g (x)}{h}, h \neq 0.$

32. 関数 $g (x) = 5 - x^{2}$ が与えられたとき、 $\frac{g (x + h) - g (x)}{h}, h \neq 0.$ の値を求めよ。

33. Given the function $g (x) = x^{2} + 2 x,$ evaluate $\frac{g (x) - g (a)}{x - a}, x \neq a .$

33. 関数 $g (x) = x^{2} + 2 x$ が与えられたとき、 $\frac{g (x) - g (a)}{x - a}, x \neq a$ の値を求めよ。

34. Given the function $k (t) = 2 t - 1 :$

34. 関数 $k (t) = 2 t - 1 :$ が与えられている。

ⓐEvaluate $k (2) .$ ⓑSolve $k (t) = 7.$

ⓐ $k (2)$ の値を求めよ。ⓑ $k (t) = 7.$ を解け。

35. Given the function $f (x) = 8 - 3 x :$

35. 関数 $f (x) = 8 - 3 x :$ が与えられている。

ⓐEvaluate $f (- 2) .$ ⓑSolve $f (x) = - 1.$

ⓐ $f (- 2)$ の値を求めよ。ⓑ $f (x) = - 1.$ を解け。

36. Given the function $p (c) = c^{2} + c :$

36. 関数 $p (c) = c^{2} + c :$ が与えられている。

ⓐEvaluate $p (- 3) .$ ⓑSolve $p (c) = 2.$

ⓐ $p (- 3)$ の値を求めよ。ⓑ $p (c) = 2.$ を解け。

37. Given the function $f (x) = x^{2} - 3 x :$

37. 関数 $f (x) = x^{2} - 3 x :$ が与えられている。

ⓐEvaluate $f (5) .$ ⓑSolve $f (x) = 4.$

ⓐ $f (5)$ の値を求めよ。ⓑ $f (x) = 4.$ を解け。

38. Given the function $f (x) = \sqrt{x + 2} :$

38. 関数 $f (x) = \sqrt{x + 2} :$ が与えられている。

ⓐEvaluate $f (7) .$ ⓑSolve $f (x) = 4.$

ⓐ $f (7)$ の値を求めよ。ⓑ $f (x) = 4.$ を解け。

39. Consider the relationship $3 r + 2 t = 18.$

39. 関係 $3 r + 2 t = 18.$ を考えよ。

ⓐWrite the relationship as a function $r = f (t) .$ ⓑEvaluate $f (- 3) .$ ⓒSolve $f (t) = 2.$

ⓐこの関係を関数 $r = f (t)$ として書け。ⓑ $f (- 3)$ の値を求めよ。ⓒ $f (t) = 2.$ を解け。

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, use the vertical line test to determine which graphs show relations that are functions.

次の各問について、縦線の判定法を使って、関数である関係を示しているグラフを選べ。

40.

Graph of a cubic function f(x) with x-intercepts at approximately -2, 0, and 2.5, and local extrema around (-0.7, 2.8) and (1.3, -3).

41.

Graph of x equals y squared plus one, showing a sideways parabola opening to the right from the vertex (1,0).

42.

43.

A graph displays a piecewise linear function. It's a horizontal line at y=-1 for x less than -1, linearly increases from (-1,-1) to (1,1), then becomes a horizontal line at y=1 for x greater than 1.

44.

45.

46.

A graph with two horizontal line segments. The top segment starts with an open circle at (0, 2) and extends infinitely to the right. The bottom segment starts with an open circle at (2, -2) and extends infinitely to the left.

47.

A linear graph displaying a straight line with a negative slope, intersecting the x-axis at 2 and the y-axis at 2.

48.

A graph showing two straight lines, one red and one blue, intersecting at the origin (0,0) in a Cartesian coordinate system with a grid. The red line has a positive slope, and the blue line has a negative slope.

49.

A graph displaying a straight line with a positive slope passing through the origin in a Cartesian coordinate system.

50.

A blue circle is plotted in the second quadrant of a Cartesian coordinate system, centered at approximately (-2, 2) with a radius of 2 units. The x and y axes are labeled, and a grid is present.

51.

A graph on an x-y coordinate plane shows a sinusoidal wave centered on the x-axis. The wave passes through the origin (0,0) and oscillates, extending indefinitely with arrows on both ends.

52. Given the following graph,

52. 次のグラフが与えられている。

ⓐEvaluate $f (−1) .$ ⓑSolve for $f (x) = 3.$

ⓐ $f (−1)$ の値を求めよ。ⓑ $f (x) = 3.$ について解け。

A Cartesian coordinate system graph displays a blue curve, characteristic of a square root function. The curve begins at the point (-2, 0) and extends upward and to the right.

53. Given the following graph,

53. 次のグラフが与えられている。

ⓐEvaluate $f (0) .$ ⓑSolve for $f (x) = −3.$

ⓐ $f (0)$ の値を求めよ。ⓑ $f (x) = −3.$ について解け。

A graph of a W-shaped quartic function on a Cartesian coordinate plane. The curve shows two local minima and one local maximum, intersecting the x-axis at four points.

54. Given the following graph,

54. 次のグラフが与えられている。

ⓐEvaluate $f (4) .$ ⓑSolve for $f (x) = 1.$

ⓐ $f (4)$ の値を求めよ。ⓑ $f (x) = 1.$ について解け。

For the following exercises, determine if the given graph is a one-to-one function.

次の各問について、与えられたグラフが一対一の関数かどうかを判定せよ。

55.

56.

57.

58.

59.

Numeric数値の問題

For the following exercises, determine whether the relation represents a function.

次の各問について、その関係が関数を表しているかどうかを判定せよ。

60. ${(−1, −1), (−2, −2), (−3, −3)}$

61. ${(3, 4), (4, 5), (5, 6)}$

62. ${(2, 5), (7, 11), (15, 8), (7, 9)}$

For the following exercises, determine if the relation represented in table form represents $y$ as a function of $x .$

次の各問について、表の形で示された関係が $y$ を $x$ の関数として表しているかどうかを判定せよ。

63.

$x$	5	10	15
$y$	3	8	14

64.

$x$	5	10	15
$y$	3	8	8

65.

$x$	5	10	10
$y$	3	8	14

For the following exercises, use the function $f$ represented in the table below.

次の各問では、下の表で示された関数 $f$ を使え。

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$f (x)$	74	28	1	53	56	3	36	45	14	47

66. Evaluate $f (3) .$

66. $f (3)$ の値を求めよ。

67. Solve $f (x) = 1.$

67. $f (x) = 1.$ を解け。

For the following exercises, evaluate the function $f$ at the values $f (- 2), f (- 1), f (0), f (1),$ and $f (2) .$

次の各問について、 $f (- 2), f (- 1), f (0), f (1)$ と $f (2)$ における関数 $f$ の値を求めよ。

68. $f (x) = 4 - 2 x$

69. $f (x) = 8 - 3 x$

70. $f (x) = 8 x^{2} - 7 x + 3$

71. $f (x) = 3 + \sqrt{x + 3}$

72. $f (x) = \frac{x - 2}{x + 3}$

73. $f (x) = 3^{x}$

For the following exercises, evaluate the expressions, given functions $f, g,$ and $h :$

次の各問について、関数 $f, g$ と $h :$ が与えられたとして、式の値を求めよ。

$f (x) = 3 x - 2$
$g (x) = 5 - x^{2}$
$h (x) = - 2 x^{2} + 3 x - 1$

74. $3 f (1) - 4 g (- 2)$

75. $f (\frac{7}{3}) - h (- 2)$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, graph $y = x^{2}$ on the given domain. Determine the corresponding range. Show each graph.

次の各問について、与えられた定義域で $y = x^{2}$ のグラフを描け。対応する値域を求めよ。それぞれのグラフを示せ。

76. $[- 0.1, 0.1]$

77. $[- 10, 10]$

78. $[- 100, 100]$

For the following exercises, graph $y = x^{3}$ on the given domain. Determine the corresponding range. Show each graph.

次の各問について、与えられた定義域で $y = x^{3}$ のグラフを描け。対応する値域を求めよ。それぞれのグラフを示せ。

79. $[- 0.1, 0 .1]$

80. $[- 10, 10]$

81. $[- 100, 100]$

For the following exercises, graph $y = \sqrt{x}$ on the given domain. Determine the corresponding range. Show each graph.

次の各問について、与えられた定義域で $y = \sqrt{x}$ のグラフを描け。対応する値域を求めよ。それぞれのグラフを示せ。

82. $[0, 0 .01]$

83. $[0, 100]$

84. $[0, 10,000]$

For the following exercises, graph $y = \sqrt[3]{x}$ on the given domain. Determine the corresponding range. Show each graph.

次の各問について、与えられた定義域で $y = \sqrt[3]{x}$ のグラフを描け。対応する値域を求めよ。それぞれのグラフを示せ。

85. $[−0.001, 0.001]$

86. $[−1000, 1000]$

87. $[−1,000,000, 1,000,000]$

Real-World Applications応用問題

88. The amount of garbage, $G,$ produced by a city with population $p$ is given by $G = f (p) .$ $G$ is measured in tons per week, and $p$ is measured in thousands of people.

88. 人口 $p$ の都市が出すごみの量 $G$ は $G = f (p)$ で与えられる。 $G$ は週あたりのトン数、 $p$ は千人単位の人数である。

ⓐThe town of Tola has a population of 40,000 and produces 13 tons of garbage each week. Express this information in terms of the function $f .$ ⓑExplain the meaning of the statement $f (5) = 2.$

ⓐTola の町の人口は40,000人で、毎週13トンのごみを出す。この情報を関数 $f$ を使って表せ。ⓑ $f (5) = 2.$ という文の意味を説明せよ。

89. The number of cubic yards of dirt, $D,$ needed to cover a garden with area $a$ square feet is given by $D = g (a) .$

89. 面積 $a$ 平方フィートの庭を覆うのに必要な土の立方ヤード数 $D$ は $D = g (a)$ で与えられる。

ⓐA garden with area 5000 ft² requires 50 yd³ of dirt. Express this information in terms of the function $g .$ ⓑExplain the meaning of the statement $g (100) = 1.$

ⓐ面積5000平方フィートの庭には50立方ヤードの土が要る。この情報を関数 $g$ を使って表せ。ⓑ $g (100) = 1.$ という文の意味を説明せよ。

90. Let $f (t)$ be the number of ducks in a lake $t$ years after 1990. Explain the meaning of each statement:

90. $f (t)$ を、1990年から $t$ 年後の湖の鴨の数とする。次の各文の意味を説明せよ。

ⓐ $f (5) = 30$ ⓑ $f (10) = 40$

91. Let $h (t)$ be the height above ground, in feet, of a rocket $t$ seconds after launching. Explain the meaning of each statement:

91. $h (t)$ を、打ち上げから $t$ 秒後のロケットの地上からの高さ(フィート)とする。次の各文の意味を説明せよ。

ⓐ $h (1) = 200$ ⓑ $h (2) = 350$

92. Show that the function $f (x) = 3 {(x - 5)}^{2} + 7$ is underlinenotend underline one-to-one.

92. 関数 $f (x) = 3 {(x - 5)}^{2} + 7$ が一対一で「ない」ことを示せ。