第3章関数Functions

Finding Input and Output Values of a Function関数の入力値と出力値を求める

When we know an input value and want to determine the corresponding output value for a function, we evaluate the function. Evaluating will always produce one result because each input value of a function corresponds to exactly one output value.

入力値が分かっていて、それに対応する関数の出力値を求めたいとき、関数の値を求めるという。関数の各入力値はちょうど一つの出力値に対応するので、値を求めれば結果はつねに一つになる。

When we know an output value and want to determine the input values that would produce that output value, we set the output equal to the function’s formula and solve for the input. Solving can produce more than one solution because different input values can produce the same output value.

出力値が分かっていて、その出力値を生む入力値を求めたいときは、出力を関数の式と等しいとおいて入力について解く。違う入力値が同じ出力値を生むこともあるので、解が二つ以上になることもある。

Evaluation of Functions in Algebraic Forms式の形の関数の値を求める

When we have a function in formula form, it is usually a simple matter to evaluate the function. For example, the function $f (x) = 5 - 3 x^{2}$ can be evaluated by squaring the input value, multiplying by 3, and then subtracting the product from 5.

関数が式の形で与えられていれば、その値を求めるのはたいてい簡単である。たとえば関数 $f (x) = 5 - 3 x^{2}$ の値は、入力値を二乗し、3を掛け、その積を5から引けば求まる。

How To 手順

Given the formula for a function, evaluate.

関数の式が与えられたとき、その値を求める。

1. Substitute the input variable in the formula with the value provided.2. Calculate the result.

1. 式の中の入力の変数を、与えられた値に置き換える。2. 結果を計算する。

Example 6例6

Evaluating Functions at Specific Values決まった値での関数の値を求める

Evaluate $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ at:

次について $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ の値を求めよ。

ⓐ $2$ ⓑ $a$ ⓒ $a + h$ ⓓNow evaluate $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

ⓓ次に $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ の値を求める。

Solution 解答

Replace the $x$ in the function with each specified value.

関数の中の $x$ を、指定された各値に置き換える。

ⓐBecause the input value is a number, 2, we can use simple algebra to simplify. $\begin{array}{l} f (2) = 2^{2} + 3 (2) - 4 \\ = 4 + 6 - 4 \\ = 6 \end{array}$ ⓑIn this case, the input value is a letter so we cannot simplify the answer any further. $f (a) = a^{2} + 3 a - 4$ ⓒWith an input value of $a + h,$ we must use the distributive property. $\begin{array}{l} f (a + h) = {(a + h)}^{2} + 3 (a + h) - 4 \\ = a^{2} + 2 a h + h^{2} + 3 a + 3 h - 4 \end{array}$ ⓓIn this case, we apply the input values to the function more than once, and then perform algebraic operations on the result. We already found that $f (a + h) = a^{2} + 2 a h + h^{2} + 3 a + 3 h - 4$ and we know that $f (a) = a^{2} + 3 a - 4$ Now we combine the results and simplify. $\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = \frac{(a^{2} + 2 a h + h^{2} + 3 a + 3 h - 4) - (a^{2} + 3 a - 4)}{h} \end{array} \\ \begin{array}{l} = \frac{2 a h + h^{2} + 3 h}{h} \\ = \frac{h (2 a + h + 3)}{h} & \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} Factor out h . \\ = 2 a + h + 3 & \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} Simplify . \end{array} \end{array}$

ⓐ入力値が数2なので、簡単な代数で整理できる。 $\begin{array}{l} f (2) = 2^{2} + 3 (2) - 4 \\ = 4 + 6 - 4 \\ = 6 \end{array}$ ⓑこの場合、入力値は文字なので、答えをこれ以上簡単にはできない。 $f (a) = a^{2} + 3 a - 4$ ⓒ入力値が $a + h$ のときは、分配法則を使わなければならない。 $\begin{array}{l} f (a + h) = {(a + h)}^{2} + 3 (a + h) - 4 \\ = a^{2} + 2 a h + h^{2} + 3 a + 3 h - 4 \end{array}$ ⓓこの場合、入力値を関数に二度当て、その結果に代数の計算を行う。すでに $f (a + h) = a^{2} + 2 a h + h^{2} + 3 a + 3 h - 4$ が分かっており、 $f (a) = a^{2} + 3 a - 4$ も分かっている。ここで結果を合わせて簡単にする。 $\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = \frac{(a^{2} + 2 a h + h^{2} + 3 a + 3 h - 4) - (a^{2} + 3 a - 4)}{h} \end{array} \\ \begin{array}{l} = \frac{2 a h + h^{2} + 3 h}{h} \\ = \frac{h (2 a + h + 3)}{h} & \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} くくり出す： h . \\ = 2 a + h + 3 & \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} 整理する \end{array} \end{array}$

Example 7例7

Evaluating Functions関数の値を求める

Given the function $h (p) = p^{2} + 2 p,$ evaluate $h (4) .$

関数 $h (p) = p^{2} + 2 p$ が与えられたとき、 $h (4)$ の値を求めよ。

Solution 解答

To evaluate $h (4),$ we substitute the value 4 for the input variable $p$ in the given function.

$h (4)$ の値を求めるには、与えられた関数の入力の変数 $p$ に値4を代入する。

\begin{array}{l} h (p) = p^{2} + 2 p \\ h (4) = {(4)}^{2} + 2 (4) \\ = 16 + 8 \\ = 24 \end{array}

Therefore, for an input of 4, we have an output of 24.

よって入力が4のとき、出力は24である。

Try It #4やってみよう4

Given the function $g (m) = \sqrt{m - 4},$ evaluate $g (5) .$

関数 $g (m) = \sqrt{m - 4}$ が与えられたとき、 $g (5)$ の値を求めよ。

Example 8例8

Solving Functions関数の方程式を解く

Given the function $h (p) = p^{2} + 2 p,$ solve for $h (p) = 3.$

関数 $h (p) = p^{2} + 2 p$ が与えられたとき、 $h (p) = 3.$ について解け。

Solution 解答

\begin{array}{l} h (p) = 3 \\ p^{2} + 2 p = 3 & Substitute the original function h (p) = p^{2} + 2 p . \\ p^{2} + 2 p - 3 = 0 & Subtract 3 from each side . \\ (p + 3)(p - 1) = 0 & Factor . \end{array}

If $(p + 3) (p - 1) = 0,$ either $(p + 3) = 0$ or $(p - 1) = 0$ (or both of them equal 0). We will set each factor equal to 0 and solve for $p$ in each case.

$(p + 3) (p - 1) = 0$ なら、 $(p + 3) = 0$ または $(p - 1) = 0$ である(両方が0のこともある)。各因数を0とおいて、それぞれの場合について $p$ を解く。

\begin{array}{l} (p + 3) = 0, & p = - 3 \\ (p - 1) = 0, & p = 1 \end{array}

This gives us two solutions. The output $h (p) = 3$ when the input is either $p = 1$ or $p = - 3.$ We can also verify by graphing as in Figure 3. The graph verifies that $h (1) = h (- 3) = 3$ and $h (4) = 24.$

これで解が二つ得られる。入力が $p = 1$ または $p = - 3.$ のとき、出力は $h (p) = 3$ になる。図3のようにグラフでも確かめられる。グラフは $h (1) = h (- 3) = 3$ と $h (4) = 24.$ を裏づけている。

Graph of a parabola with labeled points (-3, 3), (1, 3), and (4, 24).

Try It #5やってみよう5

Given the function $g (m) = \sqrt{m - 4},$ solve $g (m) = 2.$

関数 $g (m) = \sqrt{m - 4}$ が与えられたとき、 $g (m) = 2.$ を解け。

Evaluating Functions Expressed in Formulas式で表された関数の値を求める

Some functions are defined by mathematical rules or procedures expressed in equation form. If it is possible to express the function output with a formula involving the input quantity, then we can define a function in algebraic form. For example, the equation $2 n + 6 p = 12$ expresses a functional relationship between $n$ and $p .$ We can rewrite it to decide if $p$ is a function of $n .$

方程式の形で表された数学の規則や手続きによって定まる関数もある。関数の出力を、入力の量を含む式で表せるなら、その関数を代数の形で定められる。たとえば方程式 $2 n + 6 p = 12$ は $n$ と $p$ のあいだの関数としての関係を表している。 $p$ が $n$ の関数かどうかを決めるために、これを書き直せる。

How To 手順

Given a function in equation form, write its algebraic formula.

方程式の形の関数が与えられたとき、その代数の式を書く。

1. Solve the equation to isolate the output variable on one side of the equal sign, with the other side as an expression that involves only the input variable.2. Use all the usual algebraic methods for solving equations, such as adding or subtracting the same quantity to or from both sides, or multiplying or dividing both sides of the equation by the same quantity.

1. 方程式を解いて、等号の片側に出力の変数だけを残し、もう一方を入力の変数だけを含む式にする。2. 両辺に同じ量を足し引きする、両辺に同じ量を掛けたり割ったりするなど、方程式を解くいつもの代数の方法をすべて使う。

Example 9例9

Finding the Algebraic Form of a Function関数の代数の形を求める

Express the relationship $2 n + 6 p = 12$ as a function $p = f (n),$ if possible.

関係 $2 n + 6 p = 12$ を、できるなら関数 $p = f (n)$ として表せ。

Solution 解答

To express the relationship in this form, we need to be able to write the relationship where $p$ is a function of $n,$ which means writing it as $p = [expression involving n] .$

この形で関係を表すには、 $p$ が $n$ の関数となるように、つまり $p = [expression involving n]$ の形で書けなければならない。

\begin{array}{l} 2 n + 6 p = 12 \\ 6 p = 12 - 2 n & \begin{matrix}  \end{matrix} Subtract 2 n from both sides . \\ p = \frac{12 - 2 n}{6} & \begin{matrix}  \end{matrix} Divide both sides by 6 and simplify . \\ p = \frac{12}{6} - \frac{2 n}{6} \\ p = 2 - \frac{1}{3} n \end{array}

Therefore, $p$ as a function of $n$ is written as

よって $n$ の関数としての $p$ は、次のように書ける。

p = f (n) = 2 - \frac{1}{3} n

Analysis 考察

It is important to note that not every relationship expressed by an equation can also be expressed as a function with a formula.

方程式で表されるどの関係も、式を持つ関数として表せるとは限らないことに注意したい。

Example 10例10

Expressing the Equation of a Circle as a Function円の方程式を関数として表す

Does the equation $x^{2} + y^{2} = 1$ represent a function with $x$ as input and $y$ as output? If so, express the relationship as a function $y = f (x) .$

方程式 $x^{2} + y^{2} = 1$ は、 $x$ を入力、 $y$ を出力とする関数を表しているか。表しているなら、その関係を関数 $y = f (x)$ として表せ。

Solution 解答

First we subtract $x^{2}$ from both sides.

まず両辺から $x^{2}$ を引く。

y^{2} = 1 - x^{2}

We now try to solve for $y$ in this equation.

ここでこの方程式を $y$ について解こうとする。

\begin{array}{l} y = \pm \sqrt{1 - x^{2}} \\ = + \sqrt{1 - x^{2}} and - \sqrt{1 - x^{2}} \end{array}

We get two outputs corresponding to the same input, so this relationship cannot be represented as a single function $y = f (x) .$

同じ入力に対応する出力が二つ出てくるので、この関係は一つの関数 $y = f (x)$ としては表せない。

Try It #6やってみよう6

If $x - 8 y^{3} = 0,$ express $y$ as a function of $x .$

$x - 8 y^{3} = 0$ のとき、 $y$ を $x$ の関数として表せ。

Q&A 疑問と答え

Are there relationships expressed by an equation that do represent a function but which still cannot be represented by an algebraic formula?

方程式で表される関係のうち、関数ではあるのに代数の式では表せないものはあるか。

Yes, this can happen. For example, given the equation $x = y + 2^{y},$ if we want to express $y$ as a function of $x,$ there is no simple algebraic formula involving only $x$ that equals $y .$ However, each $x$ does determine a unique value for $y,$ and there are mathematical procedures by which $y$ can be found to any desired accuracy. In this case, we say that the equation gives an implicit (implied) rule for $y$ as a function of $x,$ even though the formula cannot be written explicitly.

ある。たとえば方程式 $x = y + 2^{y}$ が与えられ、 $y$ を $x$ の関数として表したいとしても、 $x$ だけを含む単純な代数の式で $y$ に等しくなるものは無い。しかし $x$ を一つ決めれば $y$ の値はただ一つに定まり、 $y$ を望むだけの精度で求める数学の手続きもある。この場合、式をあらわに書けなくても、その方程式は $x$ の関数としての $y$ を陰に(暗に)定める規則を与えているという。

Evaluating a Function Given in Tabular Form表の形で与えられた関数の値を求める

As we saw above, we can represent functions in tables. Conversely, we can use information in tables to write functions, and we can evaluate functions using the tables. For example, how well do our pets recall the fond memories we share with them? There is an urban legend that a goldfish has a memory of 3 seconds, but this is just a myth. Goldfish can remember up to 3 months, while the beta fish has a memory of up to 5 months. And while a puppy’s memory span is no longer than 30 seconds, the adult dog can remember for 5 minutes. This is meager compared to a cat, whose memory span lasts for 16 hours.

上で見たように、関数は表で表せる。逆に、表の情報から関数を書くこともできるし、表を使って関数の値を求めることもできる。たとえば、私たちのペットは一緒に過ごした思い出をどれくらい覚えているだろうか。金魚の記憶は3秒だという都市伝説があるが、これはただの作り話である。金魚は3か月まで覚えていられるし、ベタは5か月まで覚えている。子犬の記憶は30秒しか続かないが、成犬は5分覚えていられる。記憶が16時間続く猫に比べれば、これは乏しい。

The function that relates the type of pet to the duration of its memory span is more easily visualized with the use of a table. See Table 10.2

ペットの種類と記憶の持続時間を結びつける関数は、表を使うと見やすい。表10を見よ。

http://www.kgbanswers.com/how-long-is-a-dogs-memory-span/4221590

. Accessed 3/24/2014.

閲覧日：2014年3月24日。

Petペット	Memory span in hours記憶の持続時間(時)
Puppy子犬	0.008
Adult dog成犬	0.083
Cat猫	16
Goldfish金魚	2160
Beta fishベタ	3600

At times, evaluating a function in table form may be more useful than using equations.Here let us call the function $P .$ The domain of the function is the type of pet and the range is a real number representing the number of hours the pet’s memory span lasts. We can evaluate the function $P$ at the input value of “goldfish.” We would write $P (goldfish) = 2160.$ Notice that, to evaluate the function in table form, we identify the input value and the corresponding output value from the pertinent row of the table. The tabular form for function $P$ seems ideally suited to this function, more so than writing it in paragraph or function form.

表の形の関数の値を求める方が、方程式を使うより役に立つこともある。ここではこの関数を $P$ と呼ぼう。この関数の定義域はペットの種類、値域はそのペットの記憶が続く時間数を表す実数である。関数 $P$ の「金魚」という入力値での値を求められる。 $P (goldfish) = 2160.$ と書く。表の形の関数の値を求めるには、表の該当する行から入力値と、対応する出力値を読み取ることに注意せよ。関数 $P$ には、段落で書くより関数の式で書くより、表の形がいちばん向いているようである。

How To 手順

Given a function represented by a table, identify specific output and input values.

表で表された関数が与えられたとき、決まった出力値と入力値を求める。

1. Find the given input in the row (or column) of input values.2. Identify the corresponding output value paired with that input value.3. Find the given output values in the row (or column) of output values, noting every time that output value appears.4. Identify the input value(s) corresponding to the given output value.

1. 入力値の行(または列)の中から、与えられた入力を見つける。2. その入力値と組になっている出力値を見つける。3. 出力値の行(または列)の中から、与えられた出力値を見つける。その出力値が現れるところをすべて拾う。4. 与えられた出力値に対応する入力値を見つける。

Example 11例11

Evaluating and Solving a Tabular Function表の関数の値を求め、方程式を解く

Using Table 11,
ⓐ Evaluate $g (3) .$
ⓑ Solve $g (n) = 6.$

表11を使って、ⓐ $g (3)$ の値を求めよ。ⓑ $g (n) = 6.$ を解け。

$n$	1	2	3	4	5
$g (n)$	8	6	7	6	8

Solution 解答

ⓐEvaluating $g (3)$ means determining the output value of the function $g$ for the input value of $n = 3.$ The table output value corresponding to $n = 3$ is 7, so $g (3) = 7.$
ⓑSolving $g (n) = 6$ means identifying the input values, $n,$ that produce an output value of 6. The table below shows two solutions: $2$ and $4.$

ⓐ $g (3)$ の値を求めるとは、入力値 $n = 3.$ に対する関数 $g$ の出力値を決めることである。 $n = 3$ に対応する表の出力値は7なので $g (3) = 7.$ である。ⓑ $g (n) = 6$ を解くとは、出力値6を生む入力値 $n$ を見つけることである。下の表は二つの解 $2$ と $4.$ を示している。

$n$	1	2	3	4	5
$g (n)$	8	6	7	6	8

When we input 2 into the function $g,$ our output is 6. When we input 4 into the function $g,$ our output is also 6.

関数 $g$ に2を入れると出力は6になる。関数 $g$ に4を入れても出力は6になる。

Try It #7やってみよう7

Using the table from Evaluating and Solving a Tabular Function above, evaluate $g (1) .$

上の「表の関数の値を求め、方程式を解く」の表を使って、 $g (1)$ の値を求めよ。

Finding Function Values from a Graphグラフから関数の値を求める

Evaluating a function using a graph also requires finding the corresponding output value for a given input value, only in this case, we find the output value by looking at the graph. Solving a function equation using a graph requires finding all instances of the given output value on the graph and observing the corresponding input value(s).

グラフを使って関数の値を求めるときも、与えられた入力値に対応する出力値を見つけることに変わりはない。ただしこの場合、出力値はグラフを見て求める。グラフを使って関数の方程式を解くには、グラフ上で与えられた出力値になるところをすべて見つけ、対応する入力値を読み取る。

Example 12例12

Reading Function Values from a Graphグラフから関数の値を読み取る

Given the graph in Figure 4,

図4のグラフが与えられている。

ⓐEvaluate $f (2) .$
ⓑSolve $f (x) = 4.$

ⓐ $f (2)$ の値を求めよ。ⓑ $f (x) = 4.$ を解け。

Graph of a positive parabola centered at (1, 0).

Solution 解答

ⓐTo evaluate $f (2),$ locate the point on the curve where $x = 2,$ then read the y-coordinate of that point. The point has coordinates $(2, 1),$ so $f (2) = 1.$ See Figure 5.

ⓐ $f (2)$ の値を求めるには、曲線上で $x = 2$ となる点を見つけ、その点の y座標を読む。その点の座標は $(2, 1)$ なので $f (2) = 1.$ である。図5を見よ。

Graph of a positive parabola centered at (1, 0) with the labeled point (2, 1) where f(2) =1.

ⓑTo solve $f (x) = 4,$ we find the output value $4$ on the vertical axis. Moving horizontally along the line $y = 4,$ we locate two points of the curve with output value $4:$ $(−1, 4)$ and $(3, 4) .$ These points represent the two solutions to $f (x) = 4:$ $−1$ or $3.$ This means $f (−1) = 4$ and $f (3) = 4,$ or when the input is $−1$ or $3,$ the output is $4 .$ See Figure 6.

ⓑ $f (x) = 4,$ を解くには、縦の軸で出力値 $4$ を見つける。直線 $y = 4$ に沿って横に動くと、出力値が $4:$ である曲線上の二点 $(−1, 4)$ と $(3, 4)$ が見つかる。この二点が $f (x) = 4:$ の二つの解、すなわち $−1$ と $3.$ を表す。つまり $f (−1) = 4$ と $f (3) = 4$ であり、入力が $−1$ または $3,$ のとき出力は $4$ になる。図6を見よ。

Graph of an upward-facing parabola with a vertex at (0,1) and labeled points at (-1, 4) and (3,4). A line at y = 4 intersects the parabola at the labeled points.

Try It #8やってみよう8

Using Figure 4, solve $f (x) = 1.$

図4を使って $f (x) = 1.$ を解け。