第3章関数Functions

A relation is a set of ordered pairs. The set of the first components of each ordered pair is called the domain and the set of the second components of each ordered pair is called the range. Consider the following set of ordered pairs. The first numbers in each pair are the first five natural numbers. The second number in each pair is twice that of the first.

関係とは、順序対の集合である。それぞれの順序対の第1成分を集めた集合を定義域、第2成分を集めた集合を値域という。次の順序対の集合を見てみよう。第1成分には最初の5つの自然数が並び、第2成分はそれぞれ第1成分の2倍になっている。

The domain is $\{1,2,3,4,5\}.$ The range is $\{2,4,6,8,10\}.$

定義域は $\{1,2,3,4,5\}$ である。値域は $\{2,4,6,8,10\}$ である。

Note that each value in the domain is also known as an input value, or independent variable, and is often labeled with the lowercase letter $x.$ Each value in the range is also known as an output value, or dependent variable, and is often labeled lowercase letter $y.$

定義域の各値は入力値、すなわち独立変数ともいい、しばしば小文字の $x$ で表すことに注意せよ。値域の各値は出力値、すなわち従属変数ともいい、しばしば小文字の $y$ で表す。

A function $f$ is a relation that assigns a single value in the range to each value in the domain. In other words, no x-values are repeated. For our example that relates the first five natural numbers to numbers double their values, this relation is a function because each element in the domain, $\{1,2,3,4,5\},$ is paired with exactly one element in the range, $\{2,4,6,8,10\}.$

関数 $f$ とは、定義域の各値に値域のただ一つの値を割り当てる関係である。言い換えると、同じ x の値が二度現れない。最初の五つの自然数を、その2倍の数に対応させた先ほどの例では、定義域の各要素 $\{1,2,3,4,5\}$ が値域のちょうど一つの要素 $\{2,4,6,8,10\}$ と組になるので、この関係は関数である。

Now let’s consider the set of ordered pairs that relates the terms “even” and “odd” to the first five natural numbers. It would appear as

今度は、「偶数」と「奇数」という語を最初の五つの自然数に対応させた順序対の集合を考えよう。次のようになる。

Notice that each element in the domain, $\{\text{even,}\text{odd}\}$ is not paired with exactly one element in the range, $\{1,2,3,4,5\}.$ For example, the term “odd” corresponds to three values from the range, $\{1,3,5\}$ and the term “even” corresponds to two values from the range, $\{2,4\}.$ This violates the definition of a function, so this relation is not a function.

定義域の各要素 $\{\text{even,}\text{奇数}\}$ が、値域 $\{1,2,3,4,5\}$ のちょうど一つの要素と組になっていないことに注意せよ。たとえば「奇数」という語は値域の三つの値 $\{1,3,5\}$ に対応し、「偶数」という語は二つの値 $\{2,4\}$ に対応する。これは関数の定義に反するので、この関係は関数ではない。

Figure 1 compares relations that are functions and not functions.

図1では、関数である関係と関数でない関係を並べて比べている。

Once we determine that a relationship is a function, we need to display and define the functional relationships so that we can understand and use them, and sometimes also so that we can program them into computers. There are various ways of representing functions. A standard function notation is one representation that facilitates working with functions.

ある関係が関数だと分かったら、それを理解して使えるように、また計算機に組み込めるように、関数としての関係を示し定める必要がある。関数の表し方はいろいろある。決まった関数の表記は、関数を扱いやすくする表し方の一つである。

To represent “height is a function of age,” we start by identifying the descriptive variables $h$ for height and $a$ for age. The letters $f,g,$ and $h$ are often used to represent functions just as we use $x,y,$ and $z$ to represent numbers and $A,B,$ and $C$ to represent sets.

「身長は年齢の関数である」を表すには、まず身長を $h$、年齢を $a$ という、中身を思わせる変数で表す。数を $x,y$ や $z$ で、集合を $A,B$ や $C$ で表すのと同じように、関数を表すのにはしばしば $f,g$ や $h$ を使う。

Remember, we can use any letter to name the function; the notation $h\left(a\right)$ shows us that $h$ depends on $a.$ The value $a$ must be put into the function $h$ to get a result. The parentheses indicate that age is input into the function; they do not indicate multiplication.

関数の名前にはどの文字を使ってもよいことを覚えておこう。書き方 $h\left(a\right)$ は、$h$ が $a$ に依ることを示している。結果を得るには、値 $a$ を関数 $h$ に入れなければならない。括弧は年齢がその関数に入力されることを示すのであって、掛け算を示すのではない。

We can also give an algebraic expression as the input to a function. For example $f\left(a+b\right)$ means “first add a and b, and the result is the input for the function f.” The operations must be performed in this order to obtain the correct result.

関数の入力として代数式を与えることもできる。たとえば $f\left(a+b\right)$ は「まず a と b を足し、その結果が関数 f への入力になる」という意味である。正しい結果を得るには、この順に計算しなければならない。

A common method of representing functions is in the form of a table. The table rows or columns display the corresponding input and output values. In some cases, these values represent all we know about the relationship; other times, the table provides a few select examples from a more complete relationship.

関数を表すよくある方法が表である。表の行または列に、対応する入力値と出力値を並べる。その値がその関係について分かっていることのすべてである場合もあれば、より完全な関係の中からいくつか選んだ例を示している場合もある。

Table 3 lists the input number of each month (January = 1, February = 2, and so on) and the output value of the number of days in that month. This information represents all we know about the months and days for a given year (that is not a leap year). Note that, in this table, we define a days-in-a-month function $f$ where $D=f\left(m\right)$ identifies months by an integer rather than by name.

表3に、各月の番号(1月 = 1、2月 = 2、以下同様)と、その月の日数という出力値を並べる。この情報が、ある年(閏年でない年)の月と日数について分かっていることのすべてである。この表では、月を名前ではなく整数で表す $D=f\left(m\right)$ を使って、月の日数の関数 $f$ を定めていることに注意せよ。

Table 4 defines a function $Q=g\left(n\right).$ Remember, this notation tells us that $g$ is the name of the function that takes the input $n$ and gives the output $Q\text{.}$

表4は関数 $Q=g\left(n\right)$ を定めている。この書き方は、$g$ が入力 $n$ を受け取って出力 $Q$ を与える関数の名前であることを表していたのを思い出そう。

Table 5 displays the age of children in years and their corresponding heights. This table displays just some of the data available for the heights and ages of children. We can see right away that this table does not represent a function because the same input value, 5 years, has two different output values, 40 in. and 42 in.

表5に、子どもの年齢と、それに対応する身長を示す。この表は、子どもの身長と年齢について得られる資料の一部だけを示している。同じ入力値である5歳に、40インチと42インチという二つの違う出力値があるので、この表が関数を表していないことはすぐに分かる。