第5章連続確率変数

5.3 The Exponential Distribution5.3　指数分布

The exponential distribution is often concerned with the amount of time until some specific event occurs. For example, the amount of time (beginning now) until an earthquake occurs has an exponential distribution. Other examples include the length, in minutes, of long distance business telephone calls, and the amount of time, in months, a car battery lasts. It can be shown, too, that the value of the change that you have in your pocket or purse approximately follows an exponential distribution.

英語のヒント

指数分布は、特定の事象が起こるまでの時間を扱うことが多い。たとえば、今から地震が起こるまでの時間は指数分布に従う。ほかにも、業務上の長距離電話の通話時間（分）、自動車用バッテリーの寿命（月）などがある。ポケットや財布に入っている小銭の金額も、ほぼ指数分布に従うことを示せる。

Values for an exponential random variable occur in the following way. There are fewer large values and more small values. For example, the amount of money customers spend in one trip to the supermarket follows an exponential distribution. There are more people who spend small amounts of money and fewer people who spend large amounts of money.

指数確率変数の値は、大きい値が少なく、小さい値が多いという形で現れる。たとえば、スーパーマーケットで客が1回の買い物に使う金額は指数分布に従う。少額を使う人は多く、多額を使う人は少ない。

Exponential distributions are commonly used in calculations of product reliability, or the length of time a product lasts.

指数分布は、製品の信頼性、すなわち製品がどれほど長く使えるかの計算によく用いられる。

Example 5.7例題 5.7

Let X = amount of time (in minutes) a postal clerk spends with their customer. The time is known to have an exponential distribution with the average amount of time equal to four minutes.

X = 郵便局員が客1人に対応する時間（分）とする。この時間は、平均4分の指数分布に従うと分かっている。

X is a continuous random variable since time is measured. It is given that μ = 4 minutes. To do any calculations, you must know m, the decay parameter.

英語のヒント

時間は測定するので、Xは連続確率変数である。μ = 4分と与えられている。計算するには、減衰母数mを知る必要がある。

m = \frac{1}{μ}

. Therefore,

m = \frac{1}{4} = 0.25.

m = \frac{1}{μ}

。したがって、

m = \frac{1}{4} = 0.25

The standard deviation, σ, is the same as the mean. μ = σ

標準偏差σは平均と同じである。μ = σ。

The distribution notation is X ~ Exp(m). Therefore, X ~ Exp(0.25).

分布の表記はX ~ Exp(m)である。したがって、X ~ Exp(0.25)となる。

The probability density function is f(x) = me^-mx. The number e = 2.71828182846... It is a number that is used often in mathematics. Scientific calculators have the key "e^x." If you enter one for x, the calculator will display the value e.

確率密度関数はf(x) = me^-mxである。数e = 2.71828182846…は、数学でよく使われる。関数電卓には「e^x」キーがある。xに1を入力すると、eの値が表示される。

The curve is:

曲線は次の式で表される。

f(x) = 0.25e^–0.25x where x is at least zero and m = 0.25.

f(x) = 0.25e^–0.25x。ここでxは0以上、m = 0.25である。

For example, f(5) = 0.25e^(-0.25)(5) = 0.072. The value 0.072 is the height of the curve when x = 5. In Example 5.8 below, you will learn how to find probabilities using the decay parameter.

たとえば、f(5) = 0.25e^(-0.25)(5) = 0.072となる。0.072はx = 5での曲線の高さである。後の例5.8で、減衰母数を使って確率を求める方法を学ぶ。

The graph is as follows:

グラフは次のようになる。

指数分布のグラフ。μ = 4と示されたx軸は0〜20で2刻み、m = 0.25と示されたy軸は0.05〜0.25で0.05刻み。曲線は点(0, 0.25)から始まり、点(20, 0)へ向かって下がる。x軸は連続確率変数を表す。 — Figure 5.39図 5.39

Notice the graph is a declining curve. When x = 0,

グラフが減少する曲線であることに注意しよう。x = 0のとき、

f(x) = 0.25e^(−0.25)(0) = (0.25)(1) = 0.25 = m. The maximum value on the y-axis is m.

f(x) = 0.25e^(−0.25)(0) = (0.25)(1) = 0.25 = mとなる。y軸上の最大値はmである。

Example 5.8例題 5.8

a. Using the information in Example 5.7, find the probability that a clerk spends four to five minutes with a randomly selected customer.

a. 例5.7の情報を使い、局員が無作為に選んだ客に4〜5分対応する確率を求めよ。

Solution解き方

a. Find P(4 < x < 5).
The cumulative distribution function (CDF) gives the area to the left.
P(x < x) = 1 – e^–mx
P(x < 5) = 1 – e^(−0.25)(5) = 0.7135 and P(x < 4) = 1 – e^(–0.25)(4) = 0.6321

a. P(4 < x < 5)を求める。累積分布関数（CDF）は左側の面積を与える。P(x < x) = 1 − e^–mx。P(x < 5) = 1 − e^(−0.25)(5) = 0.7135、P(x < 4) = 1 − e^(–0.25)(4) = 0.6321である。

指数分布のグラフ。曲線は点(0, 0.25)から始まり、(∞, 0)へ向かって下がる。4と5から曲線へ縦線が伸びる。4と5の間の面積が確率を表す。 — Figure 5.40図 5.40

The probability that a postal clerk spends four to five minutes with a randomly selected customer is P(4 < x < 5) = P(x < 5) – P(x < 4) = 0.7135 − 0.6321 = 0.0814.

郵便局員が無作為に選んだ客に4〜5分対応する確率は、P(4 < x < 5) = P(x < 5) − P(x < 4) = 0.7135 − 0.6321 = 0.0814である。

Using the Calculator電卓の操作

b. Half of all customers are finished within how long? (Find the 50^th percentile)

b. 客全体の半分は何分以内で対応が終わるか（第50パーセンタイルを求めよ）。

Solution解き方

b. Find the 50^th percentile.

b. 第50パーセンタイルを求める。

指数分布のグラフ。曲線は点(0, 0.25)から始まり、(∞, 0)へ向かって下がる。kから曲線へ縦線が伸び、0からkまでの確率の面積は0.50である。 — Figure 5.41図 5.41

P(x < k) = 0.50, k = 2.8 minutes (calculator or computer)

P(x < k) = 0.50、k = 2.8分（電卓またはコンピューターによる）。

Half of all customers are finished within 2.8 minutes.

客全体の半分は、2.8分以内で対応が終わる。

You can also do the calculation as follows:

次のように計算することもできる。

P(x < k) = 0.50 and P(x < k) = 1 –e^–0.25k

P(x < k) = 0.50、かつP(x < k) = 1 − e^–0.25k

Therefore, 0.50 = 1 − e^−0.25k and e^−0.25k = 1 − 0.50 = 0.5

したがって、0.50 = 1 − e^−0.25k、e^−0.25k = 1 − 0.50 = 0.5となる。

Take natural logs: ln(e^–0.25k) = ln(0.50). So, –0.25k = ln(0.50)

英語のヒント

自然対数を取る。ln(e^–0.25k) = ln(0.50)。したがって、−0.25k = ln(0.50)である。

Solve for k:

k = \frac{l n (0.50)}{- 0.25} = 2.8

minutes. The calculator simplifies the calculation for percentile k. See the following two notes.

kについて解くと、

k = \frac{l n (0.50)}{- 0.25} = 2.8

分となる。電卓を使えば、パーセンタイルkの計算が簡単になる。次の二つの注を参照せよ。

Using the Calculator電卓の操作

c. Which is larger, the mean or the median?

c. 平均と中央値では、どちらが大きいか。

Solution解き方

c. From part b, the median or 50^th percentile is 2.8 minutes. The theoretical mean is four minutes. The mean is larger.

c. bより、中央値、すなわち第50パーセンタイルは2.8分である。理論上の平均は4分なので、平均のほうが大きい。

Collaborative Exercise共同演習

Have each class member count the change they have in their pocket or purse. Your instructor will record the amounts in dollars and cents. Construct a histogram of the data taken by the class. Use five intervals. Draw a smooth curve through the bars. The graph should look approximately exponential. Then calculate the mean.

クラス全員に、ポケットや財布の小銭を数えてもらう。教員がドルとセントで金額を記録する。クラスで集めたデータのヒストグラムを、5区間で作成せよ。棒を通る滑らかな曲線を描く。グラフはおおよそ指数分布に見えるはずである。次に平均を計算せよ。

Let X = the amount of money a student in your class has in their pocket or purse.

X = クラスの学生がポケットや財布に入れている金額とする。

The distribution for X is approximately exponential with mean, μ = _______ and m = _______. The standard deviation, σ = ________.

Xの分布はほぼ指数分布で、平均μ = _______、m = _______、標準偏差σ = ________である。

Draw the appropriate exponential graph. You should label the x– and y–axes, the decay rate, and the mean. Shade the area that represents the probability that one student has less than $.40 in their pocket or purse. (Shade P(x < 0.40)).

対応する指数分布のグラフを描け。x軸とy軸、減衰率、平均を記入する。ある学生のポケットや財布に入っている金額が0.40ドル未満である確率を表す領域を着色せよ（P(x < 0.40)を着色する）。

Example 5.9例題 5.9

On the average, a certain computer part lasts ten years. The length of time the computer part lasts is exponentially distributed.

あるコンピューター部品の寿命は平均10年である。寿命は指数分布に従う。

a. What is the probability that a computer part lasts more than 7 years?

a. コンピューター部品が7年より長く使える確率はいくらか。

Solution解き方

a. Let x = the amount of time (in years) a computer part lasts.
μ = 10 so

m = \frac{1}{μ} = \frac{1}{10} = 0.1

Find P(x > 7). Draw the graph.
P(x > 7) = 1 – P(x < 7).
Since P(X < x) = 1 –e^–mx then P(X > x) = 1 –(1 –e^–mx) = e^-mx
P(x > 7) = e^(–0.1)(7) = 0.4966. The probability that a computer part lasts more than seven years is 0.4966.

a. x = コンピューター部品の寿命（年）とする。μ = 10なので、

m = \frac{1}{μ} = \frac{1}{10} = 0.1

である。P(x > 7)を求める。グラフを描く。P(x > 7) = 1 − P(x < 7)。P(X < x) = 1 − e^–mxなので、P(X > x) = 1 − (1 − e^–mx) = e^-mxとなる。P(x > 7) = e^(–0.1)(7) = 0.4966。部品が7年より長く使える確率は0.4966である。

Using the Calculator電卓の操作

指数分布のグラフ。曲線は点(0, 0.1)から始まり、(∞, 0)へ向かって下がる。1から曲線へ縦線が伸び、1から曲線の終端までの面積が確率を表す。x軸はコンピューター部品の寿命を表す。 — Figure 5.42図 5.42

b. On the average, how long would five computer parts last if they are used one after another?

b. コンピューター部品5個を順番に使うと、平均して何年使えるか。

Solution解き方

b. On the average, one computer part lasts ten years. Therefore, five computer parts, if they are used one right after the other would last, on the average, (5)(10) = 50 years.

b. 部品1個の寿命は平均10年である。したがって、5個を一つずつ続けて使うと、平均(5)(10) = 50年使える。

c. Eighty percent of computer parts last at most how long?

c. コンピューター部品の80%は、寿命が何年以下か。

Solution解き方

c. Find the 80^th percentile. Draw the graph. Let k = the 80^th percentile.

c. 第80パーセンタイルを求める。グラフを描く。k = 第80パーセンタイルとする。

指数分布のグラフ。曲線は点(0, 0.1)から始まり、(∞, 0)へ向かって下がる。第80パーセンタイルkから曲線へ縦線が伸び、0からkまでの確率の面積は0.80である。 — Figure 5.43図 5.43

Solve for k:

k = \frac{l n (1 - 0.80)}{- 0.1} = 16.1

years

kについて解くと、

k = \frac{l n (1 - 0.80)}{- 0.1} = 16.1

年となる。

Eighty percent of the computer parts last at most 16.1 years.

コンピューター部品の80%は、寿命が16.1年以下である。

Using the Calculator電卓の操作

d. What is the probability that a computer part lasts between nine and 11 years?

d. コンピューター部品の寿命が9年と11年の間である確率はいくらか。

Solution解き方

d. Find P(9 < x < 11). Draw the graph.

d. P(9 < x < 11)を求める。グラフを描く。

指数分布のグラフ。曲線は点(0, 0.1)から始まり、(∞, 0)へ向かって下がる。9と11から曲線へ縦線が伸び、その間の面積が確率を表す。 — Figure 5.44図 5.44

P(9 < x < 11) = P(x < 11) – P(x < 9) = (1 – e^(–0.1)(11)) – (1 – e^(–0.1)(9)) = 0.6671 – 0.5934 = 0.0737. The probability that a computer part lasts between nine and 11 years is 0.0737.

P(9 < x < 11) = P(x < 11) − P(x < 9) = (1 − e^(–0.1)(11)) − (1 − e^(–0.1)(9)) = 0.6671 − 0.5934 = 0.0737。コンピューター部品の寿命が9年と11年の間である確率は0.0737である。

Using the Calculator電卓の操作

Example 5.10例題 5.10

Suppose that the length of a phone call, in minutes, is an exponential random variable with decay parameter

\frac{1}{12}

. If another person arrives at a public telephone just before you, find the probability that you will have to wait more than five minutes. Let X = the length of a phone call, in minutes.

通話時間（分）が、減衰母数

\frac{1}{12}

の指数確率変数であるとする。公衆電話に別の人が自分の直前に着いた場合、5分を超えて待つ必要がある確率を求めよ。X = 通話時間（分）とする。

What is m, μ, and σ? The probability that you must wait more than five minutes is _______ .

m、μ、σはいくらか。5分を超えて待つ必要がある確率は_______である。

Solution解き方

m = $\frac{1}{12}$
μ = 12
σ = 12

P(x > 5) = 0.6592

Example 5.11例題 5.11

The time spent waiting between events is often modeled using the exponential distribution. For example, suppose that an average of 30 customers per hour arrive at a store and the time between arrivals is exponentially distributed.

事象と事象の間の待ち時間は、指数分布でモデル化されることが多い。たとえば、ある店に1時間平均30人の客が到着し、その到着間隔が指数分布に従うとする。

On average, how many minutes elapse between two successive arrivals?
英語のヒント
連続する二人の到着の間には、平均何分経過するか。
When the store first opens, how long on average does it take for three customers to arrive?
開店してから客が3人到着するまで、平均何分かかるか。
After a customer arrives, find the probability that it takes less than one minute for the next customer to arrive.
客が1人到着した後、次の客の到着まで1分未満しかかからない確率を求めよ。
After a customer arrives, find the probability that it takes more than five minutes for the next customer to arrive.
客が1人到着した後、次の客の到着まで5分を超えてかかる確率を求めよ。
Seventy percent of the customers arrive within how many minutes of the previous customer?
客の70%は、前の客から何分以内に到着するか。
Is an exponential distribution reasonable for this situation?
この状況に指数分布を使うのは妥当か。

Solution解き方

Since we expect 30 customers to arrive per hour (60 minutes), we expect on average one customer to arrive every two minutes on average.
1時間（60分）に30人が到着すると予想されるので、平均して2分ごとに1人が到着すると予想される。
Since one customer arrives every two minutes on average, it will take six minutes on average for three customers to arrive.
平均して2分ごとに1人到着するので、3人が到着するまで平均6分かかる。
Let X = the time between arrivals, in minutes. By part a, μ = 2, so m = $\frac{1}{2}$ = 0.5.
Therefore, X ∼ Exp(0.5).
The cumulative distribution function is P(X < x) = 1 – e^(-0.5)(x).
Therefore P(X < 1) = 1 – e^(–0.5)(1) ≈ 0.3935.
X = 到着間隔（分）とする。aよりμ = 2なので、m = $\frac{1}{2}$ = 0.5である。したがって、X ∼ Exp(0.5)。累積分布関数はP(X < x) = 1 − e^(-0.5)(x)である。よってP(X < 1) = 1 − e^(–0.5)(1) ≈ 0.3935となる。

Using the Calculator電卓の操作

1 - e^(–0.5) ≈ 0.3935

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 5.45図 5.45
P(X > 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – (1 – e^(-0.50)(5)) = e^–2.5 ≈ 0.0821.

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 5.46図 5.46

Using the Calculator電卓の操作

1 – (1 – e^((-0.50)(5))) or e^( – 5*0.5)
1 – (1 – e^((-0.50)(5)))またはe^( – 5*0.5)
We want to solve 0.70 = P(X < x) for x.
Substituting in the cumulative distribution function gives 0.70 = 1 – e^–0.5x, so that e^–0.5x = 0.30. Converting this to logarithmic form gives –0.5x = ln(0.30), or $x = \frac{l n (0.30)}{- 0.5} \approx 2.41$ minutes.
Thus, seventy percent of customers arrive within 2.41 minutes of the previous customer.
You are finding the 70^th percentile k so you can use the formula k = $\frac{l n (1 - A r e a_T o_T h e_L e f t_O f_k)}{(- m)}$
k = $\frac{l n (1 - 0.70)}{(- 0.5)} \approx 2.41$ minutes
0.70 = P(X < x)をxについて解きたい。累積分布関数を代入すると0.70 = 1 − e^–0.5xなので、e^–0.5x = 0.30となる。対数の形に直すと−0.5x = ln(0.30)、すなわち $x = \frac{l n (0.30)}{- 0.5} \approx 2.41$ 分である。したがって、客の70%は前の客から2.41分以内に到着する。第70パーセンタイルkを求めているので、公式k = $\frac{l n (1 - kより左側の面積)}{(- m)}$ を使える。k = $\frac{l n (1 - 0.70)}{(- 0.5)} \approx 2.41$ 分となる。

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 5.47図 5.47
This model assumes that a single customer arrives at a time, which may not be reasonable since people might shop in groups, leading to several customers arriving at the same time. It also assumes that the flow of customers does not change throughout the day, which is not valid if some times of the day are busier than others.
英語のヒント
このモデルは客が1人ずつ到着すると仮定するが、複数人で買い物に来て同時に到着することもあるので、妥当でないかもしれない。また、1日を通じて客の流れが変わらないと仮定しているが、ほかの時間帯より混雑する時間帯があるなら、この仮定は成り立たない。

Try Itやってみよう

Suppose that on a certain stretch of highway, cars pass at an average rate of five cars per minute. Assume that the duration of time between successive cars follows the exponential distribution.

英語のヒント

ある高速道路の区間を、1分平均5台の車が通過するとする。連続する車の間の時間は、指数分布に従うと仮定する。

On average, how many seconds elapse between two successive cars?
連続する2台の車の間には、平均何秒経過するか。
After a car passes by, how long on average will it take for another seven cars to pass by?
1台が通過した後、さらに7台が通過するまで平均どれだけかかるか。
Find the probability that after a car passes by, the next car will pass within the next 20 seconds.
1台が通過した後、次の車が20秒以内に通過する確率を求めよ。
Find the probability that after a car passes by, the next car will not pass for at least another 15 seconds.
1台が通過した後、次の車が少なくともあと15秒間は通過しない確率を求めよ。

第5章連続確率変数

5.3 The Exponential Distribution5.3 指数分布

5.3 The Exponential Distribution5.3　指数分布