第13章化学平衡の基本概念

Calculation of a Missing Equilibrium Concentration未知の平衡濃度の計算

When the equilibrium constant and all but one equilibrium concentration are provided, the other equilibrium concentration(s) may be calculated. A computation of this sort is illustrated in the next example exercise.

英語のヒント

平衡定数と、一つを除くすべての平衡濃度が与えられれば、残りの平衡濃度を計算できる。次の例題で、この種類の計算を示す。

Example 13.8例題 13.8

Calculation of a Missing Equilibrium Concentration未知の平衡濃度の計算

Nitrogen oxides are air pollutants produced by the reaction of nitrogen and oxygen at high temperatures. At 2000 °C, the value of the K_c for the reaction,

N_{2} (g) + O_{2} (g) ⇌ 2 NO (g),

is 4.1

\times

10⁻⁴. Calculate the equilibrium concentration of NO(g) in air at 1 atm pressure and 2000 °C. The equilibrium concentrations of N₂ and O₂ at this pressure and temperature are 0.036 M and 0.0089 M, respectively.

窒素酸化物は、窒素と酸素が高温で反応して生じる大気汚染物質である。2000 °Cでの反応

N_{2} (g) + O_{2} (g) ⇌ 2 NO (g),

のK_cは、4.1

\times

10⁻⁴である。圧力1 atm、2000 °Cの空気中でのNO(g)の平衡濃度を計算しなさい。この圧力と温度でのN₂とO₂の平衡濃度は、それぞれ0.036 Mと0.0089 Mである。

Solution解法

Substitute the provided quantities into the equilibrium constant expression and solve for [NO]:

与えられた値を平衡定数の式に代入し、[NO]について解く。

K_{c} = \frac{{[NO]}^{2}}{[N_{2}] [O_{2}]}

{[NO]}^{2} = K_{c} [N_{2}] [O_{2}]

[NO] = \sqrt{K_{c} [N_{2}] [O_{2}]}

= \sqrt{(4.1 \times 10^{−4}) (0.036) (0.0089)}

= \sqrt{1.31 \times 10^{−7}}

= 3.6 \times 10^{−4}

Thus [NO] is 3.6

\times

10⁻⁴ mol/L at equilibrium under these conditions.

したがって、この条件の平衡では[NO]は3.6

\times

10⁻⁴ mol/Lとなる。

To confirm this result, it may be used along with the provided equilibrium concentrations to calculate a value for K:

結果を確かめるため、この値と与えられた平衡濃度を使ってKを計算してみる。

K_{c} = \frac{{[NO]}^{2}}{[N_{2}] [O_{2}]}

= \frac{{(3.6 \times 10^{−4})}^{2}}{(0.036) (0.0089)}

= 4.0 \times 10^{−4}

This result is consistent with the provided value for K within nominal uncertainty, differing by just 1 in the least significant digit’s place.

英語のヒント

この結果は、通常の不確かさの範囲内で、与えられたKと一致している。違うのは、最下位の有効数字が1だけである。

Check Your Learning理解を確かめよう

The equilibrium constant K_c for the reaction of nitrogen and hydrogen to produce ammonia at a certain temperature is 6.00

\times

10⁻². Calculate the equilibrium concentration of ammonia if the equilibrium concentrations of nitrogen and hydrogen are 4.26 M and 2.09 M, respectively.

ある温度で、窒素と水素が反応してアンモニアを生じる反応の平衡定数K_cは6.00

\times

10⁻²である。窒素と水素の平衡濃度がそれぞれ4.26 Mと2.09 Mのとき、アンモニアの平衡濃度を計算しなさい。

Calculation of Equilibrium Concentrations from Initial Concentrations初濃度から平衡濃度を計算する

Perhaps the most challenging type of equilibrium calculation can be one in which equilibrium concentrations are derived from initial concentrations and an equilibrium constant. For these calculations, a four-step approach is typically useful:

平衡計算の中でもおそらく最も難しいのは、初濃度と平衡定数から平衡濃度を求める種類の計算である。この計算には、通常、次の四段階の方法が役立つ。

Identify the direction in which the reaction will proceed to reach equilibrium.
平衡に達するまで反応がどちらの方向へ進むかを判断する。
Develop an ICE table.
ICE表を作る。
Calculate the concentration changes and, subsequently, the equilibrium concentrations.
濃度変化を計算し、続いて平衡濃度を求める。
Confirm the calculated equilibrium concentrations.
計算した平衡濃度を確かめる。

The last two example exercises of this chapter demonstrate the application of this strategy.

本章の最後の二つの例題で、この方法の適用を示す。

Example 13.9例題 13.9

Calculation of Equilibrium Concentrations平衡濃度の計算

Under certain conditions, the equilibrium constant K_c for the decomposition of PCl₅(g) into PCl₃(g) and Cl₂(g) is 0.0211. What are the equilibrium concentrations of PCl₅, PCl₃, and Cl₂ in a mixture that initially contained only PCl₅ at a concentration of 1.00 M?

ある条件で、PCl₅(g)がPCl₃(g)とCl₂(g)に分解する反応の平衡定数K_cは0.0211である。初めにPCl₅だけを濃度1.00 Mで含んでいた混合物において、PCl₅、PCl₃、Cl₂の平衡濃度はいくらか。

Solution解法

Use the stepwise process described earlier.

先に述べた段階的な手順を使う。

Determine the direction the reaction proceeds.
反応が進む方向を判断する。

The balanced equation for the decomposition of PCl₅ is
PCl₅の分解を表す、係数を整えた反応式は次のとおりである。

${PCl}_{5} (g) ⇌ {PCl}_{3} (g) + {Cl}_{2} (g)$

Because only the reactant is present initially Q_c = 0 and the reaction will proceed to the right.
初めに存在するのは反応物だけなので、Q_c＝0であり、反応は右へ進む。
Develop an ICE table.
ICE表を作る。

OpenStax, Rice University; Chemistry 2e. · CC BY 4.0 · Source出典
Solve for the change and the equilibrium concentrations.
変化量と平衡濃度を求める。

Substituting the equilibrium concentrations into the equilibrium constant equation gives
平衡濃度を平衡定数の式に代入すると、次の式が得られる。

$K_{c} = \frac{[{PCl}_{3}] [{Cl}_{2}]}{[{PCl}_{5}]} = 0.0211$

$= \frac{(x) (x)}{(1.00 - x)}$

$0.0211 = \frac{(x) (x)}{(1.00 - x)}$

$0.0211 (1.00 - x) = x^{2}$

$x^{2} + 0.0211 x - 0.0211 = 0$

Appendix B shows an equation of the form ax² + bx + c = 0 can be rearranged to solve for x:
英語のヒント
付録Bに示すように、ax²＋bx＋c＝0の形の式は、変形してxについて解くことができる。

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

In this case, a = 1, b = 0.0211, and c = −0.0211. Substituting the appropriate values for a, b, and c yields:
この場合、a＝1、b＝0.0211、c＝−0.0211である。a、b、cにこれらの値を代入すると、次のようになる。

$x = \frac{- 0.0211 \pm \sqrt{{(0.0211)}^{2} - 4 (1) (−0.0211)}}{2 (1)}$

$= \frac{- 0.0211 \pm \sqrt{(4.45 \times 10^{−4}) + (8.44 \times 10^{−2})}}{2}$

$= \frac{- 0.0211 \pm 0.291}{2}$

The two roots of the quadratic are, therefore,
したがって、この二次方程式の二つの解は、

$x = \frac{- 0.0211 + 0.291}{2} = 0.135$

and
および

$x = \frac{- 0.0211 - 0.291}{2} = −0.156$

For this scenario, only the positive root is physically meaningful (concentrations are either zero or positive), and so x = 0.135 M.
英語のヒント
この場合、物理的に意味があるのは正の解だけである。濃度は0または正でなければならないため、x＝0.135 Mとなる。

The equilibrium concentrations are
平衡濃度は次のとおりである。

$[{PCl}_{5}] = 1.00 - 0.135 = 0.87 M$

$[{PCl}_{3}] = x = 0.135 M$

$[{Cl}_{2}] = x = 0.135 M$
Confirm the calculated equilibrium concentrations.
計算した平衡濃度を確かめる。

Substitution into the expression for K_c (to check the calculation) gives
計算を確認するため、K_cの式に代入すると、次のようになる。

$K_{c} = \frac{[{PCl}_{3}] [{Cl}_{2}]}{[{PCl}_{5}]} = \frac{(0.135) (0.135)}{0.87} = 0.021$

The equilibrium constant calculated from the equilibrium concentrations is equal to the value of K_c given in the problem (when rounded to the proper number of significant figures).
英語のヒント
平衡濃度から計算した平衡定数は、適切な有効数字に丸めると、問題で与えられたK_cと等しくなる。

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Acetic acid, CH₃CO₂H, reacts with ethanol, C₂H₅OH, to form water and ethyl acetate, CH₃CO₂C₂H₅.

酢酸CH₃CO₂HはエタノールC₂H₅OHと反応し、水と酢酸エチルCH₃CO₂C₂H₅を生成する。

{CH}_{3} {CO}_{2} H + C_{2} H_{5} OH ⇌ {CH}_{3} {CO}_{2} C_{2} H_{5} + H_{2} O

The equilibrium constant for this reaction with dioxane as a solvent is 4.0. What are the equilibrium concentrations for a mixture that is initially 0.15 M in CH₃CO₂H, 0.15 M in C₂H₅OH, 0.40 M in CH₃CO₂C₂H₅, and 0.40 M in H₂O?

ジオキサンを溶媒にしたとき、この反応の平衡定数は4.0である。初濃度がCH₃CO₂Hは0.15 M、C₂H₅OHは0.15 M、CH₃CO₂C₂H₅は0.40 M、H₂Oは0.40 Mの混合物では、平衡濃度はいくらか。

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A 1.00-L flask is filled with 1.00 mole of H₂ and 2.00 moles of I₂. The value of the equilibrium constant for the reaction of hydrogen and iodine reacting to form hydrogen iodide is 50.5 under the given conditions. What are the equilibrium concentrations of H₂, I₂, and HI in moles/L?

1.00 Lのフラスコに、H₂を1.00 mol、I₂を2.00 mol入れる。水素とヨウ素が反応してヨウ化水素を生じる反応の平衡定数は、この条件では50.5である。H₂、I₂、HIの平衡濃度をmol/Lで求めなさい。

H_{2} (g) + I_{2} (g) ⇌ 2 HI (g)

Example 13.10例題 13.10

Calculation of Equilibrium Concentrations Using an Algebra-Simplifying Assumption代数計算を簡単にする仮定を用いた平衡濃度の計算

What are the concentrations at equilibrium of a 0.15 M solution of HCN?

HCNの0.15 M溶液では、平衡での各濃度はいくらか。

HCN (a q) ⇌ H^{+} (a q) + {CN}^{−} (a q) K_{c} = 4.9 \times 10^{−10}

Solution解法

Using “x” to represent the concentration of each product at equilibrium gives this ICE table.

平衡における各生成物の濃度をxで表すと、次のICE表が得られる。

主に2列4行からなる表。第1列の見出しは空欄で、その下に「初期圧力（M）」「変化量（M）」「平衡（M）」が並ぶ。第2列の見出しは「HCN(aq) ⇌ H⁺(aq)＋CN₋(aq)」で、その下が3行3列に分かれる。第1列は順に0.15、−x、0.15−x。第2列は0、＋x、x。第3列も0、＋x、xである。

OpenStax, Rice University; Chemistry 2e. · CC BY 4.0 · Source出典

Substitute the equilibrium concentration terms into the K_c expression

平衡濃度を表す項をK_cの式に代入する。

K_{c} = \frac{(x) (x)}{0.15 - x}

rearrange to the quadratic form and solve for x

二次方程式の形に整理し、xについて解く。

x^{2} + 4.9 \times 10^{−10} x - 7.35 \times 10^{−11} = 0

x = 8.56 \times 10^{−6} M (3 sig. figs.) = 8.6 \times 10^{−6} M (2 sig. figs.)

x = 8.56 \times 10^{−6} M (有効数字3桁) = 8.6 \times 10^{−6} M (有効数字2桁)

Thus [H⁺] = [CN^–] = x = 8.6

\times

10^–6 M and [HCN] = 0.15 – x = 0.15 M.

したがって、[H⁺]＝[CN^–]＝x＝8.6

\times

10^–6 M、[HCN]＝0.15−x＝0.15 Mである。

Note in this case that the change in concentration is significantly less than the initial concentration (a consequence of the small K), and so the initial concentration experiences a negligible change:

英語のヒント

この場合、Kが小さいため、濃度の変化量は初濃度よりはるかに小さいことに注意しよう。したがって、初濃度からの変化は無視できる。

if x ≪ 0.15 M, then (0.15 - x) \approx 0.15

if x ≪ 0.15 M, したがって (0.15 - x) \approx 0.15

This approximation allows for a more expedient mathematical approach to the calculation that avoids the need to solve for the roots of a quadratic equation:

英語のヒント

この近似を使うと、二次方程式の解を求めずに、より手早く計算できる。

K_{c} = \frac{(x) (x)}{0.15 - x} \approx \frac{x^{2}}{0.15}

4.9 \times 10^{−10} = \frac{x^{2}}{0.15}

x^{2} = (0.15) (4.9 \times 10^{−10}) = 7.4 \times 10^{−11}

x = \sqrt{7.4 \times 10^{−11}} = 8.6 \times 10^{−6} M

The value of x calculated is, indeed, much less than the initial concentration

実際、計算したxは初濃度よりはるかに小さい。

8.6 \times 10^{−6} ≪ 0.15

and so the approximation was justified. If this simplified approach were to yield a value for x that did not justify the approximation, the calculation would need to be repeated without making the approximation.

英語のヒント

したがって、この近似は妥当だった。もし簡略化した方法で得たxが近似を正当化できない値なら、近似を使わずに計算をやり直す必要がある。

Check Your Learning理解を確かめよう

What are the equilibrium concentrations in a 0.25 M NH₃ solution?

NH₃の0.25 M溶液では、平衡濃度はいくらか。

{NH}_{3} (a q) + H_{2} O (l) ⇌ {NH}_{4}^{+} (a q) + {OH}^{−} (a q) K_{c} = 1.8 \times 10^{−5}