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付録

Essential Mathematics基礎となる数学

Exponential Arithmetic指数表示した数の計算

Exponential notation is used to express very large and very small numbers as a product of two numbers. The first number of the product, the digit term, is usually a number not less than 1 and not equal to or greater than 10. The second number of the product, the exponential term, is written as 10 with an exponent. Some examples of exponential notation are:
英語のヒント
非常に大きな数や非常に小さな数を、2つの数の積として表すために、指数表示を用いる。積の第1の数、すなわち係数は、通常1以上10未満の数である。第2の数である指数の項は、10に指数を付けて表す。指数表示の例を次に示す。
1000=1×103 100=1×102 10=1×101 1=1×100 0.1=1×10−1 0.001=1×10−3 2386=2.386×1000=2.386×103 0.123=1.23×0.1=1.23×10−1
The power (exponent) of 10 is equal to the number of places the decimal is shifted to give the digit number. The exponential method is particularly useful notation for very large and very small numbers. For example, 1,230,000,000 = 1.23 × 109, and 0.00000000036 = 3.6 × 10−10.
英語のヒント
10のべき（指数）は、係数となる数を得るために小数点を移動する桁数に等しい。指数表示は、非常に大きな数や非常に小さな数を表すのに特に便利である。たとえば、1,230,000,000 = 1.23 × 109、0.00000000036 = 3.6 × 10−10となる。

Addition of Exponentials指数表示した数の加法

Convert all numbers to the same power of 10, add the digit terms of the numbers, and if appropriate, convert the digit term back to a number between 1 and 10 by adjusting the exponential term.
英語のヒント
すべての数を10の同じべきで表し、係数どうしを足す。必要に応じ、指数の項を調整して、係数が1と10の間の数になるように戻す。
Example B.1例題 B.1
Adding Exponentials指数表示した数の足し算
Add 5.00 × 10−5 and 3.00 × 10−3.
5.00 × 10−5と3.00 × 10−3を足せ。
Solution解答
3.00×10−3=300×10−5(5.00×10−5)+(300×10−5)=305×10−5=3.05×10−3

Subtraction of Exponentials指数表示した数の減法

Convert all numbers to the same power of 10, take the difference of the digit terms, and if appropriate, convert the digit term back to a number between 1 and 10 by adjusting the exponential term.
すべての数を10の同じべきで表し、係数どうしの差を取る。必要に応じ、指数の項を調整して、係数が1と10の間の数になるように戻す。
Example B.2例題 B.2
Subtracting Exponentials指数表示した数の引き算
Subtract 4.0 × 10−7 from 5.0 × 10−6.
英語のヒント
5.0 × 10−6から4.0 × 10−7を引け。
Solution解答
4.0×10−7=0.40×10−6(5.0×10−6)−(0.40×10−6)=4.6×10−6

Multiplication of Exponentials指数表示した数の乗法

Multiply the digit terms in the usual way and add the exponents of the exponential terms.
係数どうしは通常の方法で掛け、指数の項の指数どうしは足す。
Example B.3例題 B.3
Multiplying Exponentials指数表示した数の掛け算
Multiply 4.2 × 10−8 by 2.0 × 103.
4.2 × 10−8に2.0 × 103を掛けよ。
Solution解答
(4.2×10−8)×(2.0×103)=(4.2×2.0)×10(−8)+(+3)=8.4×10−5

Division of Exponentials指数表示した数の除法

Divide the digit term of the numerator by the digit term of the denominator and subtract the exponents of the exponential terms.
英語のヒント
分子の係数を分母の係数で割り、指数の項の指数どうしは引き算する。
Example B.4例題 B.4
Dividing Exponentials指数表示した数の割り算
Divide 3.6 × 10–5 by 6.0 × 10−4.
3.6 × 10–5を6.0 × 10−4で割れ。
Solution解答
3.6×10−56.0×10−4=(3.66.0)×10(−5)−(−4)=0.60×10−1=6.0×10−2

Squaring of Exponentials指数表示した数の2乗

Square the digit term in the usual way and multiply the exponent of the exponential term by 2.
係数は通常の方法で2乗し、指数の項の指数には2を掛ける。
Example B.5例題 B.5
Squaring Exponentials指数表示した数を2乗する
Square the number 4.0 × 10−6.
4.0 × 10−6を2乗せよ。
Solution解答
(4.0×10−6)2=4×4×102×(−6)=16×10−12=1.6×10−11

Cubing of Exponentials指数表示した数の3乗

Cube the digit term in the usual way and multiply the exponent of the exponential term by 3.
係数は通常の方法で3乗し、指数の項の指数には3を掛ける。
Example B.6例題 B.6
Cubing Exponentials指数表示した数を3乗する
Cube the number 2 × 104.
2 × 104を3乗せよ。
Solution解答
(2×104)3=2×2×2×103×4=8×1012

Taking Square Roots of Exponentials指数表示した数の平方根を取る

If necessary, decrease or increase the exponential term so that the power of 10 is evenly divisible by 2. Extract the square root of the digit term and divide the exponential term by 2.
英語のヒント
必要に応じて指数の項を増減し、10のべきが2で割り切れるようにする。係数の平方根を取り、指数の項を2で割る。
Example B.7例題 B.7
Finding the Square Root of Exponentials指数表示した数の平方根を求める
Find the square root of 1.6 × 10−7.
1.6 × 10−7の平方根を求めよ。
Solution解答
1.6×10−7=16×10−816×10−8=16×10−8=16×10−82=4.0×10−4

Significant Figures有効数字

A beekeeper reports that he has 525,341 bees. The last three figures of the number are obviously inaccurate, for during the time the keeper was counting the bees, some of them died and others hatched; this makes it quite difficult to determine the exact number of bees. It would have been more reasonable if the beekeeper had reported the number 525,000. In other words, the last three figures are not significant, except to set the position of the decimal point. Their exact values have no useful meaning in this situation. When reporting quantities, use only as many significant figures as the accuracy of the measurement warrants.
英語のヒント
ある養蜂家が、飼っているハチは525,341匹だと報告した。しかし、この数の最後の3桁は明らかに不正確である。ハチを数えている間にも、一部は死に、別のハチがかえったからである。そのため、正確な数を決めるのは非常に難しい。525,000匹と報告していたほうが、もっと妥当だっただろう。言い換えれば、最後の3桁は、小数点の位置を定めることを除いて、有効ではない。この状況では、その正確な値には有用な意味がない。量を報告するときには、測定の正確さによって裏付けられる桁数だけを有効数字として使う。
The importance of significant figures lies in their application to fundamental computation. In addition and subtraction, the sum or difference should contain as many digits to the right of the decimal as that in the least certain of the numbers used in the computation (indicated by underscoring in the following example).
英語のヒント
有効数字が重要なのは、基本的な計算に適用するためである。足し算と引き算では、和または差の小数点以下の桁数を、計算に用いた数のうち最も不確かな数の小数点以下の桁数と同じにする（次の例では、その桁に下線を付けてある）。
Example B.8例題 B.8

Addition and Subtraction with Significant Figures有効数字を考慮した加法と減法

Add 4.383 g and 0.0023 g.
4.383 gと0.0023 gを足せ。

Solution解答

4.383_g0.0023_g4.385_g
In multiplication and division, the product or quotient should contain no more digits than that in the factor containing the least number of significant figures.
英語のヒント
掛け算と割り算では、積または商の桁数を、因数のうち有効数字の数が最も少ないものの桁数以下にする。
Example B.9例題 B.9

Multiplication and Division with Significant Figures有効数字を考慮した乗法と除法

Multiply 0.6238 by 6.6.
0.6238に6.6を掛けよ。

Solution解答

0.6238_×6.6_=4.1_
When rounding numbers, increase the retained digit by 1 if it is followed by a number larger than 5 (“round up”). Do not change the retained digit if the digits that follow are less than 5 (“round down”). If the retained digit is followed by 5, round up if the retained digit is odd, or round down if it is even (after rounding, the retained digit will thus always be even).
英語のヒント
数を丸めるとき、残す桁の後ろが5より大きい数なら、残す桁を1増やす（切り上げ）。後ろの数字が5より小さければ、残す桁は変えない（切り捨て）。残す桁の後ろが5なら、残す桁が奇数のときは切り上げ、偶数のときは切り捨てる。したがって、丸めた後のその桁は必ず偶数になる。