第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

Key Equations重要な式

Law of Sines正弦定理	$\begin{array}{l} \frac{\sin α}{a} = \frac{\sin β}{b} = \frac{\sin γ}{c} \\ \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} \end{array}$
Area for oblique triangles一般の三角形の面積	$\begin{array}{r} Area = \frac{1}{2} b c \sin α \\ = \frac{1}{2} a c \sin β \\ = \frac{1}{2} a b \sin γ \end{array}$

Law of Cosines余弦定理	$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b c o s γ \end{array}$
Heron’s formulaヘロンの公式	$\begin{array}{l} Area = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} \\ where s = \frac{(a + b + c)}{2} \end{array}$

Conversion formulas換算の公式

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} \to x = r \cos θ \\ \sin θ = \frac{y}{r} \to y = r \sin θ \\ r^{2} = x^{2} + y^{2} \\ \tan θ = \frac{y}{x} \end{array}

Key Concepts重要な概念

• The Law of Sines can be used to solve oblique triangles, which are non-right triangles.• According to the Law of Sines, the ratio of the measurement of one of the angles to the length of its opposite side equals the other two ratios of angle measure to opposite side.• There are three possible cases: ASA, AAS, SSA. Depending on the information given, we can choose the appropriate equation to find the requested solution. See Example 1.• The ambiguous case arises when an oblique triangle can have different outcomes.• There are three possible cases that arise from SSA arrangement—a single solution, two possible solutions, and no solution. See Example 2 and Example 3.• The Law of Sines can be used to solve triangles with given criteria. See Example 4.• The general area formula for triangles translates to oblique triangles by first finding the appropriate height value. See Example 5.• There are many trigonometric applications. They can often be solved by first drawing a diagram of the given information and then using the appropriate equation. See Example 6.

・正弦定理は、直角三角形でない三角形すなわち一般の三角形の辺や角を求めるのに使える。・正弦定理によれば、三角形の一つの角の大きさとその向かい合う辺の長さとの比は、残り二つの角と向かい合う辺の比に等しい。・ありうる場合は三つある。ASA、AAS、SSAである。与えられた情報に応じて、求める解を得るのにふさわしい式を選べる。例1を見よ。・あいまいな場合は、斜三角形が別々の結果を持ちうるときに起こる。・SSAの配置から起こりうる場合は三つある。解が一つ、解が二つ、解が無い、である。例2と例3を見よ。・正弦定理は、与えられた条件の三角形を解くのに使える。例4を見よ。・三角形の一般の面積の公式は、まずふさわしい高さの値を求めることで斜三角形にも移る。例5を見よ。・三角法の応用は多い。多くの場合、まず与えられた情報の図を描き、そしてふさわしい式を使えば解ける。例6を見よ。

• The Law of Cosines defines the relationship among angle measurements and lengths of sides in oblique triangles.• The Generalized Pythagorean Theorem is the Law of Cosines for two cases of oblique triangles: SAS and SSS. Dropping an imaginary perpendicular splits the oblique triangle into two right triangles or forms one right triangle, which allows sides to be related and measurements to be calculated. See Example 1 and Example 2.• The Law of Cosines is useful for many types of applied problems. The first step in solving such problems is generally to draw a sketch of the problem presented. If the information given fits one of the three models (the three equations), then apply the Law of Cosines to find a solution. See Example 3 and Example 4.• Heron’s formula allows the calculation of area in oblique triangles. All three sides must be known to apply Heron’s formula. See Example 5 and See Example 6.

・余弦定理は、斜三角形における角の大きさと辺の長さの関係を定める。・一般化されたピタゴラスの定理は、斜三角形の二つの場合、SASとSSSについての余弦定理である。想像上の垂線を下ろすと、斜三角形は二つの直角三角形に分かれるか、一つの直角三角形ができ、それによって辺どうしが結び付き、大きさが計算できるようになる。例1と例2を見よ。・余弦定理は多くの種類の応用問題に役立つ。その種の問題を解く最初の一歩は、ふつう与えられた問題の概略図を描くことである。与えられた情報が三つの型(三つの式)のどれかに当てはまるなら、余弦定理を使って解を求める。例3と例4を見よ。・ヘロンの公式は、一般の三角形の面積の計算を可能にする。ヘロンの公式を使うには三辺すべてが分かっていなければならない。例5と例6を見よ。

• The polar grid is represented as a series of concentric circles radiating out from the pole, or origin.• To plot a point in the form $(r, θ), θ > 0,$ move in a counterclockwise direction from the polar axis by an angle of $θ,$ and then extend a directed line segment from the pole the length of $r$ in the direction of $θ .$ If $θ$ is negative, move in a clockwise direction, and extend a directed line segment the length of $r$ in the direction of $θ .$ See Example 1.• If $r$ is negative, extend the directed line segment in the opposite direction of $θ .$ See Example 2.• To convert from polar coordinates to rectangular coordinates, use the formulas $x = r \cos θ$ and $y = r \sin θ .$ See Example 3 and Example 4.• To convert from rectangular coordinates to polar coordinates, use one or more of the formulas: $\cos θ = \frac{x}{r}, \sin θ = \frac{y}{r}, \tan θ = \frac{y}{x},$ and $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ See Example 5.• Transforming equations between polar and rectangular forms means making the appropriate substitutions based on the available formulas, together with algebraic manipulations. See Example 6, Example 7, and Example 8.• Using the appropriate substitutions makes it possible to rewrite a polar equation as a rectangular equation, and then graph it in the rectangular plane. See Example 9, Example 10, and Example 11.

・極座標の格子は、極すなわち原点から放射状に広がる同心円の連なりとして表される。・ $(r, θ), θ > 0$ の形の点を打つには、極軸から反時計回りに角 $θ$ だけ動き、そして極から $θ$ の向きへ長さ $r$ の向きを持つ線分を伸ばす。 $θ$ が負なら時計回りに動き、 $θ$ の向きへ長さ $r$ の向きを持つ線分を伸ばす。例1を見よ。・ $r$ が負なら、 $θ$ と逆の向きへ、向きを持つ線分を伸ばす。例2を見よ。・極座標から直交座標へ換えるには、公式 $x = r \cos θ$ と $y = r \sin θ$ を使う。例3と例4を見よ。・直交座標から極座標へ換えるには、公式 $\cos θ = \frac{x}{r}, \sin θ = \frac{y}{r}, \tan θ = \frac{y}{x}$ と $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ の一つ以上を使う。例5を見よ。・極形式と直交形式のあいだで式を移すとは、使える公式に基づいてふさわしい代入を行い、あわせて代数の変形をすることである。例6、例7、例8を見よ。・ふさわしい代入を使えば、極方程式を直交座標での方程式に書き直し、それを直交平面にグラフとして描くことができる。例9、例10、例11を見よ。

• It is easier to graph polar equations if we can test the equations for symmetry with respect to the line $θ = \frac{π}{2},$ the polar axis, or the pole.• There are three symmetry tests that indicate whether the graph of a polar equation will exhibit symmetry. If an equation fails a symmetry test, the graph may or may not exhibit symmetry. See Example 1.• Polar equations may be graphed by making a table of values for $θ$ and $r .$ • The maximum value of a polar equation is found by substituting the value $θ$ that leads to the maximum value of the trigonometric expression.• The zeros of a polar equation are found by setting $r = 0$ and solving for $θ .$ See Example 2.• Some formulas that produce the graph of a circle in polar coordinates are given by $r = a \cos θ$ and $r = a \sin θ .$ See Example 3.• The formulas that produce the graphs of a cardioid are given by $r = a \pm b \cos θ$ and $r = a \pm b \sin θ,$ for $a > 0,$ $b > 0,$ and $\frac{a}{b} = 1.$ See Example 4.• The formulas that produce the graphs of a one-loop limaçon are given by $r = a \pm b \cos θ$ and $r = a \pm b \sin θ$ for $1 < \frac{a}{b} < 2.$ See Example 5.• The formulas that produce the graphs of an inner-loop limaçon are given by $r = a \pm b \cos θ$ and $r = a \pm b \sin θ$ for $a > 0,$ $b > 0,$ and $a < b .$ See Example 6.• The formulas that produce the graphs of a lemniscates are given by $r^{2} = a^{2} \cos 2 θ$ and $r^{2} = a^{2} \sin 2 θ,$ where $a \neq 0.$ See Example 7.• The formulas that produce the graphs of rose curves are given by $r = a \cos n θ$ and $r = a \sin n θ,$ where $a \neq 0;$ if $n$ is even, there are $2 n$ petals, and if $n$ is odd, there are $n$ petals. See Example 8 and Example 9.• The formula that produces the graph of an Archimedes’ spiral is given by $r = θ,$ $θ \geq 0.$ See Example 10.

・直線 $θ = \frac{π}{2}$ 、極軸、極についての対称性を式で調べられれば、極方程式のグラフは描きやすくなる。・極方程式のグラフが対称性を示すかどうかを知らせる対称性の判定が三つある。式が対称性の判定に落ちても、グラフが対称性を示すこともあれば示さないこともある。例1を見よ。・極方程式は、 $θ$ と $r$ の値の表を作ればグラフに描ける。・極方程式の最大値は、三角関数の式が最大値になる $θ$ の値を代入すれば求まる。・極方程式の零点は、 $r = 0$ とおいて $θ$ について解けば求まる。例2を見よ。・極座標で円のグラフを生む公式には $r = a \cos θ$ と $r = a \sin θ$ がある。例3を見よ。・心臓形のグラフを生む公式は、 $a > 0$ $b > 0$ $\frac{a}{b} = 1.$ について $r = a \pm b \cos θ$ と $r = a \pm b \sin θ$ で与えられる。例4を見よ。・一重の輪のリマソンのグラフを生む公式は、 $1 < \frac{a}{b} < 2.$ について $r = a \pm b \cos θ$ と $r = a \pm b \sin θ$ で与えられる。例5を見よ。・内側に輪を持つリマソンのグラフを生む公式は、 $a > 0$ $b > 0$ $a < b$ について $r = a \pm b \cos θ$ と $r = a \pm b \sin θ$ で与えられる。例6を見よ。・レムニスケートのグラフを生む公式は、 $a \neq 0.$ として $r^{2} = a^{2} \cos 2 θ$ と $r^{2} = a^{2} \sin 2 θ$ で与えられる。例7を見よ。・バラ曲線のグラフを生む公式は、 $a \neq 0;$ として $r = a \cos n θ$ と $r = a \sin n θ$ で与えられる。 $n$ が偶数なら花びらは $2 n$ 枚、 $n$ が奇数なら花びらは $n$ 枚である。例8と例9を見よ。・アルキメデスの渦巻きのグラフを生む公式は $r = θ$ $θ \geq 0.$ で与えられる。例10を見よ。

• Complex numbers in the form $a + b i$ are plotted in the complex plane similar to the way rectangular coordinates are plotted in the rectangular plane. Label the x-axis as the real axis and the y-axis as the imaginary axis. See Example 1.• The absolute value of a complex number is the same as its magnitude. It is the distance from the origin to the point: $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ See Example 2 and Example 3.• To write complex numbers in polar form, we use the formulas $x = r \cos θ, y = r \sin θ,$ and $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ Then, $z = r (\cos θ + i \sin θ) .$ See Example 4 and Example 5.• To convert from polar form to rectangular form, first evaluate the trigonometric functions. Then, multiply through by $r .$ See Example 6 and Example 7.• To find the product of two complex numbers, multiply the two moduli and add the two angles. Evaluate the trigonometric functions, and multiply using the distributive property. See Example 8.• To find the quotient of two complex numbers in polar form, find the quotient of the two moduli and the difference of the two angles. See Example 9.• To find the power of a complex number $z^{n},$ raise $r$ to the power $n,$ and multiply $θ$ by $n .$ See Example 10.• Finding the roots of a complex number is the same as raising a complex number to a power, but using a rational exponent. See Example 11.

・ $a + b i$ の形の複素数は、直交平面に直交座標を打つのと同じようにして複素平面に打つ。x軸を実軸、y軸を虚軸と名付ける。例1を見よ。・複素数の絶対値は、その大きさと同じである。原点からその点までの距離 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ である。例2と例3を見よ。・複素数を極形式で書くには、公式 $x = r \cos θ, y = r \sin θ$ と $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を使う。そして $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ である。例4と例5を見よ。・極形式から直交形式へ換えるには、まず三角関数の値を求める。そして全体に $r$ を掛ける。例6と例7を見よ。・二つの複素数の積を求めるには、二つの絶対値を掛け、二つの角を足す。三角関数の値を求め、分配法則を使って掛ける。例8を見よ。・極形式の二つの複素数の商を求めるには、二つの絶対値の商と、二つの角の差を求める。例9を見よ。・複素数 $z^{n}$ の累乗を求めるには、 $r$ を $n$ 乗し、 $θ$ に $n$ を掛ける。例10を見よ。・複素数の根を求めるのは、複素数を累乗するのと同じだが、有理数の指数を使う。例11を見よ。

• Parameterizing a curve involves translating a rectangular equation in two variables, $x$ and $y,$ into two equations in three variables, x, y, and t. Often, more information is obtained from a set of parametric equations. See Example 1, Example 2, and Example 3.• Sometimes equations are simpler to graph when written in rectangular form. By eliminating $t,$ an equation in $x$ and $y$ is the result.• To eliminate $t,$ solve one of the equations for $t,$ and substitute the expression into the second equation. See Example 4, Example 5, Example 6, and Example 7.• Finding the rectangular equation for a curve defined parametrically is basically the same as eliminating the parameter. Solve for $t$ in one of the equations, and substitute the expression into the second equation. See Example 8.• There are an infinite number of ways to choose a set of parametric equations for a curve defined as a rectangular equation.• Find an expression for $x$ such that the domain of the set of parametric equations remains the same as the original rectangular equation. See Example 9.

・曲線を媒介変数で表すとは、二変数 $x$ と $y$ の直交座標での方程式を、x、y、t の三変数の二つの式に移すことである。しばしば媒介変数表示の組からのほうが多くの情報が得られる。例1、例2、例3を見よ。・直交形式で書いたほうがグラフに描きやすい式もある。 $t$ を消すと、 $x$ と $y$ の式が結果として得られる。・ $t$ を消すには、一方の式を $t$ について解き、その式をもう一方の式に代入する。例4、例5、例6、例7を見よ。・媒介変数で定められた曲線の直交座標での方程式を求めるのは、基本的に媒介変数を消去するのと同じである。一方の式を $t$ について解き、その式をもう一方の式に代入する。例8を見よ。・直交座標での方程式として定められた曲線について、媒介変数表示の組の選び方は無限にある。・媒介変数表示の組の定義域が元の直交座標での方程式と同じままになるような $x$ の式を求める。例9を見よ。

• When there is a third variable, a third parameter on which $x$ and $y$ depend, parametric equations can be used.• To graph parametric equations by plotting points, make a table with three columns labeled $t, x (t),$ and $y (t) .$ Choose values for $t$ in increasing order. Plot the last two columns for $x$ and $y .$ See Example 1 and Example 2.• When graphing a parametric curve by plotting points, note the associated t-values and show arrows on the graph indicating the orientation of the curve. See Example 3 and Example 4.• Parametric equations allow the direction or the orientation of the curve to be shown on the graph. Equations that are not functions can be graphed and used in many applications involving motion. See Example 5.• Projectile motion depends on two parametric equations: $x = (v_{0} \cos θ) t$ and $y = - 16 t^{2} + (v_{0} \sin θ) t + h .$ Initial velocity is symbolized as $v_{0} . θ$ represents the initial angle of the object when thrown, and $h$ represents the height at which the object is propelled.

・第三の変数、すなわち $x$ と $y$ が依存する第三の媒介変数があるときは、媒介変数表示が使える。・点を打って媒介変数表示のグラフを描くには、 $t, x (t)$ と $y (t)$ の名を付けた三つの列の表を作る。 $t$ の値を小さいほうから順に選ぶ。 $x$ と $y$ の後ろ二列を打つ。例1と例2を見よ。・点を打って媒介変数の曲線のグラフを描くときは、対応する t の値に注意し、曲線の向きを示す矢印をグラフに書き込む。例3と例4を見よ。・媒介変数表示は、曲線の進む向きをグラフに示せる。関数でない式もグラフに描けて、運動を含む多くの応用に使える。例5を見よ。・投射体の運動は二つの媒介変数表示 $x = (v_{0} \cos θ) t$ と $y = - 16 t^{2} + (v_{0} \sin θ) t + h$ で決まる。初速は $v_{0} . θ$ と表され、これは投げられたときの物の初めの角を表し、 $h$ は物が打ち出される高さを表す。

• The position vector has its initial point at the origin. See Example 1.• If the position vector is the same for two vectors, they are equal. See Example 2.• Vectors are defined by their magnitude and direction. See Example 3.• If two vectors have the same magnitude and direction, they are equal. See Example 4.• Vector addition and subtraction result in a new vector found by adding or subtracting corresponding elements. See Example 5.• Scalar multiplication is multiplying a vector by a constant. Only the magnitude changes; the direction stays the same. See Example 6 and Example 7.• Vectors are comprised of two components: the horizontal component along the positive x-axis, and the vertical component along the positive y-axis. See Example 8.• The unit vector in the same direction of any nonzero vector is found by dividing the vector by its magnitude.• The magnitude of a vector in the rectangular coordinate system is $| v | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ See Example 9.• In the rectangular coordinate system, unit vectors may be represented in terms of $i$ and $j$ where $i$ represents the horizontal component and $j$ represents the vertical component. Then, v = ai + bj is a scalar multiple of $v$ by real numbers $a and b .$ See Example 10 and Example 11.• Adding and subtracting vectors in terms of i and j consists of adding or subtracting corresponding coefficients of i and corresponding coefficients of j. See Example 12.• A vector v = ai + bj is written in terms of magnitude and direction as $v = | v | \cos θ i + | v | \sin θ j .$ See Example 13.• The dot product of two vectors is the product of the $i$ terms plus the product of the $j$ terms. See Example 14.• We can use the dot product to find the angle between two vectors. Example 15 and Example 16.• Dot products are useful for many types of physics applications. See Example 17.

・位置ベクトルは始点が原点にある。例1を見よ。・二つのベクトルの位置ベクトルが同じなら、それらは等しい。例2を見よ。・ベクトルは大きさと向きで定まる。例3を見よ。・二つのベクトルの大きさと向きが同じなら、それらは等しい。例4を見よ。・ベクトルの加法と引き算は、対応する要素どうしを足し引きして求まる新しいベクトルを生む。例5を見よ。・スカラー倍とは、ベクトルに定数を掛けることである。大きさだけが変わり、向きはそのままである。例6と例7を見よ。・ベクトルは二つの成分からなる。x軸の正の向きに沿った水平成分と、y軸の正の向きに沿った鉛直成分である。例8を見よ。・零でないベクトルと同じ向きの単位ベクトルは、そのベクトルを大きさで割れば求まる。・直交座標系でのベクトルの大きさは $| v | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ である。例9を見よ。・直交座標系では、単位ベクトルは $i$ と $j$ で表せる。 $i$ が水平成分、 $j$ が鉛直成分を表す。すると v = ai + bj は、実数 $a および b$ による $v$ のスカラー倍である。例10と例11を見よ。・i と j で表したベクトルの加法と引き算は、i の係数どうし、j の係数どうしを足し引きすることである。例12を見よ。・ベクトル v = ai + bj は、大きさと向きで $v = | v | \cos θ i + | v | \sin θ j$ と書ける。例13を見よ。・二つのベクトルの内積は、 $i$ の項どうしの積に $j$ の項どうしの積を足したものである。例14を見よ。・内積を使えば二つのベクトルのなす角が求まる。例15と例16。・内積は多くの種類の物理の応用に役立つ。例17を見よ。