第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

Now that we understand the properties of vectors, we can perform operations involving them. While it is convenient to think of the vector $u$ $=\langle x,y\rangle$ as an arrow or directed line segment from the origin to the point $(x,y),$ vectors can be situated anywhere in the plane. The sum of two vectors u and v, or vector addition, produces a third vector u + v, the resultant vector.

ベクトルの性質が分かったので、ベクトルを含む演算ができる。ベクトル $u$ $=\langle x,y\rangle$ を原点から点 $(x,y)$ への矢印すなわち向きを持つ線分と考えるのは便利だが、ベクトルは平面のどこに置いてもよい。二つのベクトル u と v の和、すなわちベクトルの加法は、第三のベクトル u + v、すなわち合成ベクトルを生む。

To find u + v, we first draw the vector u, and from the terminal end of u, we drawn the vector v. In other words, we have the initial point of v meet the terminal end of u. This position corresponds to the notion that we move along the first vector and then, from its terminal point, we move along the second vector. The sum u + v is the resultant vector because it results from addition or subtraction of two vectors. The resultant vector travels directly from the beginning of u to the end of v in a straight path, as shown in Figure 8.

u + v を求めるには、まずベクトル u を描き、u の終端からベクトル v を描く。言い換えれば、v の始点を u の終端に合わせる。この置き方は、一つ目のベクトルに沿って動き、その終点から二つ目のベクトルに沿って動く、という考えに対応する。和 u + v は二つのベクトルの加法引き算から生まれるので合成ベクトルという。図8に示すとおり、合成ベクトルは u の始まりから v の終わりへまっすぐ進む。

Vector subtraction is similar to vector addition. To find u − v, view it as u + (−v). Adding −v is reversing direction of v and adding it to the end of u. The new vector begins at the start of u and stops at the end point of −v. See Figure 9 for a visual that compares vector addition and vector subtraction using parallelograms.

ベクトルの引き算はベクトルの加法に似ている。u − v を求めるには、これを u + (−v) と見る。−v を足すとは、v の向きを逆にして u の終わりに足すことである。新しいベクトルは u の始まりから始まり、−v の終点で止まる。平行四辺形を使ってベクトルの加法と引き算を比べた図として図9を見よ。