第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

10.5 Polar Form of Complex Numbers10.5 複素数の極形式

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Plot complex numbers in the complex plane.• Find the absolute value of a complex number.• Write complex numbers in polar form.• Convert a complex number from polar to rectangular form.• Find products of complex numbers in polar form.• Find quotients of complex numbers in polar form.• Find powers of complex numbers in polar form.• Find roots of complex numbers in polar form.

・複素数を複素平面上の点として表す。・複素数の絶対値を求める。・複素数を極形式で書く。・複素数を極形式から直交形式に直す。・極形式で複素数の積を求める。・極形式で複素数の商を求める。・極形式で複素数の累乗を求める。・極形式で複素数の根を求める。

“God made the integers; all else is the work of man.” This rather famous quote by nineteenth-century German mathematician Leopold Kronecker sets the stage for this section on the polar form of a complex number. Complex numbers were invented by people and represent over a thousand years of continuous investigation and struggle by mathematicians such as Pythagoras, Descartes, De Moivre, Euler, Gauss, and others. Complex numbers answered questions that for centuries had puzzled the greatest minds in science.

「神は整数を作った。ほかはすべて人の業である。」19世紀ドイツの数学者レオポルト・クロネッカーのこのかなり有名な言葉が、複素数の極形式についてのこの節の舞台を整える。複素数は人が生み出したもので、ピタゴラス、デカルト、ド・モアブル、オイラー、ガウスらの数学者による千年を超える絶え間ない探究と苦闘を表している。複素数は、何世紀ものあいだ科学の最も優れた頭脳を悩ませてきた問いに答えた。

We first encountered complex numbers in Complex Numbers. In this section, we will focus on the mechanics of working with complex numbers: translation of complex numbers from polar form to rectangular form and vice versa, interpretation of complex numbers in the scheme of applications, and application of De Moivre’s Theorem.

複素数には「複素数」で初めて出会った。この節では、複素数を扱う仕組みに絞る。複素数を極形式から直交形式へ、またその逆に移すこと、応用の枠組みでの複素数の読み解き、そしてド・モアブルの定理の当てはめである。

Plotting Complex Numbers in the Complex Plane複素数を複素平面上の点として表す

Plotting a complex number $a + b i$ is similar to plotting a real number, except that the horizontal axis represents the real part of the number, $a,$ and the vertical axis represents the imaginary part of the number, $b i .$

複素数 $a + b i$ を打つのは実数を打つのに似ているが、横軸がその数の実部 $a$ を、縦軸がその数の虚部 $b i$ を表す点が違う。

How To 手順

Given a complex number $a + b i,$ plot it in the complex plane.

複素数 $a + b i$ が与えられたとき、それを複素平面に打つ。

1. Label the horizontal axis as the real axis and the vertical axis as the imaginary axis.2. Plot the point in the complex plane by moving $a$ units in the horizontal direction and $b$ units in the vertical direction.

1. 横軸を実軸、縦軸を虚軸と名づける。2. 横向きに $a$ 単位、縦向きに $b$ 単位動いて、複素平面に点を打つ。

Example 1例1

Plotting a Complex Number in the Complex Plane複素数を複素平面上の点として表す

Plot the complex number $2 - 3 i$ in the complex plane.

複素数 $2 - 3 i$ を複素平面に打て。

Solution 解答

From the origin, move two units in the positive horizontal direction and three units in the negative vertical direction. See Figure 1.

原点から、横の正の向きに2単位、縦の負の向きに3単位動く。図1を見よ。

Plot of 2-3i in the complex plane (2 along the real axis, -3 along the imaginary axis).

Try It #1やってみよう1

Plot the point $1 + 5 i$ in the complex plane.

点 $1 + 5 i$ を複素平面に打て。

Finding the Absolute Value of a Complex Number複素数の絶対値を求める

The first step toward working with a complex number in polar form is to find the absolute value. The absolute value of a complex number is the same as its magnitude, or $| z | .$ It measures the distance from the origin to a point in the plane. For example, the graph of $z = 2 + 4 i,$ in Figure 2, shows $| z | .$

複素数を極形式で扱うための最初の一歩は、絶対値を求めることである。複素数の絶対値は、その大きさすなわち $| z |$ と同じである。これは原点から平面上の点までの距離を測る。たとえば図2の $z = 2 + 4 i$ のグラフは $| z |$ を示している。

Plot of 2 + 4i in the complex plane and its magnitude, |z| = rad 2 squared + 4 squared = rad 4 + 16 = rad 20 = 2 rad 5.

Absolute Value of a Complex Number 複素数の絶対値

Given $z = x + y i,$ a complex number, the absolute value of $z$ is defined as

複素数 $z = x + y i$ が与えられたとき、 $z$ の絶対値は次のように定められる。

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

It is the distance from the origin to the point $(x, y) .$

これは原点から点 $(x, y)$ までの距離である。

Notice that the absolute value of a real number gives the distance of the number from 0, while the absolute value of a complex number gives the distance of the number from the origin, $(0, 0) .$

実数の絶対値がその数の0からの距離を与えるのに対し、複素数の絶対値はその数の原点 $(0, 0)$ からの距離を与えることに注目しよう。

Example 2例2

Finding the Absolute Value of a Complex Number with a Radical根号を含む複素数の絶対値を求める

Find the absolute value of $z = \sqrt{5} - i .$

$z = \sqrt{5} - i$ の絶対値を求めよ。

Solution 解答

Using the formula, we have

この公式を使うと、次が得られる。

\begin{array}{l} | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ | z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(- 1)}^{2}} \\ | z | = \sqrt{5 + 1} \\ | z | = \sqrt{6} \end{array}

See Figure 3.

図3を見よ。

Plot of z=(rad5 - i) in the complex plane and its magnitude rad6.

Try It #2やってみよう2

Find the absolute value of the complex number $z = 12 - 5 i .$

複素数 $z = 12 - 5 i$ の絶対値を求めよ。

Example 3例3

Finding the Absolute Value of a Complex Number複素数の絶対値を求める

Given $z = 3 - 4 i,$ find $| z | .$

$z = 3 - 4 i$ が与えられたとき、 $| z |$ を求めよ。

Solution 解答

Using the formula, we have

この公式を使うと、次が得られる。

\begin{array}{l} | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ | z | = \sqrt{{(3)}^{2} + {(- 4)}^{2}} \\ | z | = \sqrt{9 + 16} \\ \begin{array}{l} | z | = \sqrt{25} \\ | z | = 5 \end{array} \end{array}

The absolute value $z$ is 5. See Figure 4.

絶対値 $z$ は5である。図4を見よ。

Plot of (3-4i) in the complex plane and its magnitude |z| =5.

Try It #3やってみよう3

Given $z = 1 - 7 i,$ find $| z | .$

$z = 1 - 7 i$ が与えられたとき、 $| z |$ を求めよ。

Writing Complex Numbers in Polar Form複素数を極形式で書く

The polar form of a complex number expresses a number in terms of an angle $θ$ and its distance from the origin $r .$ Given a complex number in rectangular form expressed as $z = x + y i,$ we use the same conversion formulas as we do to write the number in trigonometric form:

複素数の極形式は、その数を角 $θ$ と原点からの距離 $r$ で表す。直交形式で $z = x + y i$ と表された複素数が与えられたとき、この数を三角の形で書くのと同じ変換の公式を使う。

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \\ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array}

We review these relationships in Figure 5.

この関係を図5で振り返る。

Triangle plotted in the complex plane (x axis is real, y axis is imaginary). Base is along the x/real axis, height is some y/imaginary value in Q 1, and hypotenuse r extends from origin to that point (x+yi) in Q 1. The angle at the origin is theta. There is an arc going through (x+yi).

We use the term modulus to represent the absolute value of a complex number, or the distance from the origin to the point $(x, y) .$ The modulus, then, is the same as $r,$ the radius in polar form. We use $θ$ to indicate the angle of direction (just as with polar coordinates). Substituting, we have

複素数の絶対値、すなわち原点から点 $(x, y)$ までの距離を表すのに、絶対値(モジュラス)という語を使う。よって絶対値は、極形式の半径 $r$ と同じである。向きの角を示すのに(極座標と同じく) $θ$ を使う。代入すると、次が得られる。

\begin{array}{l} z = x + y i \\ z = r \cos θ + (r \sin θ) i \\ z = r (\cos θ + i \sin θ) \end{array}

Note重要事項

Polar Form of a Complex Number複素数の極形式

Writing a complex number in polar form involves the following conversion formulas:

複素数を極形式で書くには、次の変換の公式を使う。

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \\ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array}

Making a direct substitution, we have

直接代入すると、次が得られる。

\begin{array}{l} z = x + y i \\ z = (r \cos θ) + i (r \sin θ) \\ z = r (\cos θ + i \sin θ) \end{array}

where $r$ is the modulus and $θ$ is the argument. We often use the abbreviation $r cis θ$ to represent $r (\cos θ + i \sin θ) .$

ここで $r$ は絶対値、 $θ$ は偏角である。 $r (\cos θ + i \sin θ)$ を表すのに、しばしば略記 $r cis θ$ を使う。

Example 4例4

Expressing a Complex Number Using Polar Coordinates極座標を使って複素数を表す

Express the complex number $4 i$ using polar coordinates.

極座標を使って複素数 $4 i$ を表せ。

Solution 解答

On the complex plane, the number $z = 4 i$ is the same as $z = 0 + 4 i .$ Writing it in polar form, we have to calculate $r$ first.

複素平面で、数 $z = 4 i$ は $z = 0 + 4 i$ と同じである。極形式で書くには、まず $r$ を計算しなければならない。

\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}} \\ r = \sqrt{16} \\ r = 4 \end{array}

Next, we look at $x .$ If $x = r \cos θ,$ and $x = 0,$ then $θ = \frac{π}{2} .$ In polar coordinates, the complex number $z = 0 + 4 i$ can be written as $z = 4 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$ or $4 cis (\frac{π}{2}) .$ See Figure 6.

次に $x$ を見る。 $x = r \cos θ$ かつ $x = 0$ なら $θ = \frac{π}{2}$ である。極座標では、複素数 $z = 0 + 4 i$ は $z = 4 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$ すなわち $4 cis (\frac{π}{2})$ と書ける。図6を見よ。

Plot of z=4i in the complex plane, also shows that the in polar coordinate it would be (4,pi/2).

Try It #4やってみよう4

Express $z = 3 i$ as $r cis θ$ in polar form.

極形式で $z = 3 i$ を $r cis θ$ として表せ。

Example 5例5

Finding the Polar Form of a Complex Number複素数の極形式を求める

Find the polar form of $- 4 + 4 i .$

$- 4 + 4 i$ の極形式を求めよ。

Solution 解答

First, find the value of $r .$

まず $r$ の値を求める。

\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + (4^{2})} \\ r = \sqrt{32} \\ r = 4 \sqrt{2} \end{array}

Find the angle $θ$ using the formula:

次の公式で角 $θ$ を求める。

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} \\ \cos θ = \frac{- 4}{4 \sqrt{2}} \\ \cos θ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ θ = \cos^{- 1} (- \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3 π}{4} \end{array}

Thus, the solution is $4 \sqrt{2} cis (\frac{3 π}{4}) .$

よって解は $4 \sqrt{2} cis (\frac{3 π}{4})$ である。

Try It #5やってみよう5

Write $z = \sqrt{3} + i$ in polar form.

$z = \sqrt{3} + i$ を極形式で書け。

Converting a Complex Number from Polar to Rectangular Form複素数を極形式から直交形式に直す

Converting a complex number from polar form to rectangular form is a matter of evaluating what is given and using the distributive property. In other words, given $z = r (\cos θ + i \sin θ),$ first evaluate the trigonometric functions $\cos θ$ and $\sin θ .$ Then, multiply through by $r .$

複素数を極形式から直交形式に直すのは、与えられたものの値を求め、分配法則を使うことである。言い換えれば、 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ が与えられたら、まず三角関数 $\cos θ$ と $\sin θ$ の値を求める。そして $r$ を掛ける。

Example 6例6

Converting from Polar to Rectangular Form極形式から直交形式に直す

Convert the polar form of the given complex number to rectangular form:

与えられた複素数の極形式を直交形式に直せ。

z = 12 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))

Solution 解答

We begin by evaluating the trigonometric expressions.

まず三角関数の式の値を求めることから始める。

\cos (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} and \sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

After substitution, the complex number is

代入すると、この複素数は次のようになる。

z = 12 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i)

We apply the distributive property:

分配法則を当てはめる。

\begin{array}{l} z = 12 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i) \\ = (12) \frac{\sqrt{3}}{2} + (12) \frac{1}{2} i \\ = 6 \sqrt{3} + 6 i \end{array}

The rectangular form of the given point in complex form is $6 \sqrt{3} + 6 i .$

複素形式で与えられたこの点の直交形式は $6 \sqrt{3} + 6 i$ である。

Example 7例7

Finding the Rectangular Form of a Complex Number複素数の直交形式を求める

Find the rectangular form of the complex number given $r = 13$ and $\tan θ = \frac{5}{12} .$ Assume the number is in the first quadrant.

$r = 13$ と $\tan θ = \frac{5}{12}$ が与えられた複素数の直交形式を求めよ。この数は第1象限にあるとする。

Solution 解答

If $\tan θ = \frac{5}{12},$ and $\tan θ = \frac{y}{x},$ we first confirm $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13 .$ We then find $\cos θ = \frac{x}{r}$ and $\sin θ = \frac{y}{r} .$

$\tan θ = \frac{5}{12}$ かつ $\tan θ = \frac{y}{x}$ なら、まず $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$ を確かめる。そして $\cos θ = \frac{x}{r}$ と $\sin θ = \frac{y}{r}$ を求める。

\begin{array}{l} z = 13 (\cos θ + i \sin θ) \\ = 13 (\frac{12}{13} + \frac{5}{13} i) \\ = 12 + 5 i \end{array}

The rectangular form of the given number in complex form is $12 + 5 i .$

複素形式で与えられたこの数の直交形式は $12 + 5 i$ である。

Try It #6やってみよう6

Convert the complex number to rectangular form:

この複素数を直交形式に直せ。

z = 4 (\cos \frac{11 π}{6} + i \sin \frac{11 π}{6})

Finding Products of Complex Numbers in Polar Form極形式で複素数の積を求める

Now that we can convert complex numbers to polar form we will learn how to perform operations on complex numbers in polar form. For the rest of this section, we will work with formulas developed by French mathematician Abraham De Moivre (1667-1754). These formulas have made working with products, quotients, powers, and roots of complex numbers much simpler than they appear. The rules are based on multiplying the moduli and adding the arguments.

複素数を極形式に直せるようになったので、極形式の複素数の演算のしかたを学ぼう。この節の残りでは、フランスの数学者アブラーム・ド・モアブル(1667-1754)が組み立てた公式を扱う。この公式のおかげで、複素数の積・商・累乗・根を扱うのは、見かけよりずっと簡単になった。この規則は、絶対値を掛け、偏角を足すことにもとづく。

Products of Complex Numbers in Polar Form 極形式による複素数の積

If $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ and $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}),$ then the product of these numbers is given as:

$z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ かつ $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ なら、この数の積は次で与えられる。

\begin{array}{l} z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})] \\ z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} cis (θ_{1} + θ_{2}) \end{array}

Notice that the product calls for multiplying the moduli and adding the angles.

積では絶対値を掛け、角を足すことに注目しよう。

Example 8例8

Finding the Product of Two Complex Numbers in Polar Form極形式で二つの複素数の積を求める

Find the product of $z_{1} z_{2},$ given $z_{1} = 4 (\cos (80°) + i \sin (80°))$ and $z_{2} = 2 (\cos (145°) + i \sin (145°)) .$

$z_{1} = 4 (\cos (80°) + i \sin (80°))$ と $z_{2} = 2 (\cos (145°) + i \sin (145°))$ が与えられたとき、 $z_{1} z_{2}$ の積を求めよ。

Solution 解答

Follow the formula

次の公式に従う。

\begin{array}{l} z_{1} z_{2} = 4 \cdot 2 [\cos (80° + 145°) + i \sin (80° + 145°)] \\ z_{1} z_{2} = 8 [\cos (225°) + i \sin (225°)] \\ z_{1} z_{2} = 8 [\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4})] \\ z_{1} z_{2} = 8 [- \frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2})] \\ z_{1} z_{2} = - 4 \sqrt{2} - 4 i \sqrt{2} \end{array}

Finding Quotients of Complex Numbers in Polar Form極形式で複素数の商を求める

The quotient of two complex numbers in polar form is the quotient of the two moduli and the difference of the two arguments.

極形式の二つの複素数の商は、二つの絶対値の商と、二つの偏角の差である。

Quotients of Complex Numbers in Polar Form 極形式による複素数の商

If $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ and $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}),$ then the quotient of these numbers is

$z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ かつ $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ なら、この数の商は次のとおりである。

\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})], z_{2} \neq 0 \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} cis (θ_{1} - θ_{2}), z_{2} \neq 0 \end{array}

Notice that the moduli are divided, and the angles are subtracted.

絶対値は割られ、角は引かれることに注目しよう。

How To 手順

Given two complex numbers in polar form, find the quotient.

極形式の二つの複素数が与えられたとき、その商を求める。

1. Divide $\frac{r_{1}}{r_{2}} .$ 2. Find $θ_{1} - θ_{2} .$ 3. Substitute the results into the formula: $z = r (\cos θ + i \sin θ) .$ Replace $r$ with $\frac{r_{1}}{r_{2}},$ and replace $θ$ with $θ_{1} - θ_{2} .$ 4. Calculate the new trigonometric expressions and multiply through by $r .$

1. $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ を割る。2. $θ_{1} - θ_{2}$ を求める。3. 結果を公式 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ に代入する。 $r$ を $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ に、 $θ$ を $θ_{1} - θ_{2}$ に置き換える。4. 新しい三角関数の式の値を求め、 $r$ を掛ける。

Example 9例9

Finding the Quotient of Two Complex Numbers二つの複素数の商を求める

Find the quotient of $z_{1} = 2 (\cos (213°) + i \sin (213°))$ and $z_{2} = 4 (\cos (33°) + i \sin (33°)) .$

$z_{1} = 2 (\cos (213°) + i \sin (213°))$ と $z_{2} = 4 (\cos (33°) + i \sin (33°))$ の商を求めよ。

Solution 解答

Using the formula, we have

この公式を使うと、次が得られる。

\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2}{4} [\cos (213° - 33°) + i \sin (213° - 33°)] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{1}{2} [\cos (180°) + i \sin (180°)] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{1}{2} [- 1 + 0 i] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = - \frac{1}{2} + 0 i \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = - \frac{1}{2} \end{array}

Try It #7やってみよう7

Find the product and the quotient of $z_{1} = 2 \sqrt{3} (\cos (150°) + i \sin (150°))$ and $z_{2} = 2 (\cos (30°) + i \sin (30°)) .$

$z_{1} = 2 \sqrt{3} (\cos (150°) + i \sin (150°))$ と $z_{2} = 2 (\cos (30°) + i \sin (30°))$ の積と商を求めよ。

Finding Powers of Complex Numbers in Polar Form極形式で複素数の累乗を求める

Finding powers of complex numbers is greatly simplified using De Moivre’s Theorem. It states that, for a positive integer $n, z^{n}$ is found by raising the modulus to the $n th$ power and multiplying the argument by $n .$ It is the standard method used in modern mathematics.

ド・モアブルの定理を使えば、複素数の累乗を求めるのはとても簡単になる。この定理は、正の整数 $n, z^{n}$ について、絶対値を $n th$ 乗し、偏角を $n$ 倍すれば求まると述べる。これは今日の数学で使われる標準の方法である。

De Moivre’s Theorem ド・モアブルの定理

If $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ is a complex number, then

$z = r (\cos θ + i \sin θ)$ が複素数なら、次が成り立つ。

\begin{array}{l} z^{n} = r^{n} [\cos (n θ) + i \sin (n θ)] \\ z^{n} = r^{n} cis (n θ) \end{array}

where $n$ is a positive integer.

ここで $n$ は正の整数である。

Example 10例10

Evaluating an Expression Using De Moivre’s Theoremド・モアブルの定理を使って式の値を求める

Evaluate the expression ${(1 + i)}^{5}$ using De Moivre’s Theorem.

ド・モアブルの定理を使って式 ${(1 + i)}^{5}$ の値を求めよ。

Solution 解答

Since De Moivre’s Theorem applies to complex numbers written in polar form, we must first write $(1 + i)$ in polar form. Let us find $r .$

ド・モアブルの定理は極形式で書かれた複素数に当てはまるので、まず $(1 + i)$ を極形式で書かなければならない。 $r$ を求めよう。

\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}} \\ r = \sqrt{2} \end{array}

Then we find $θ .$ Using the formula $\tan θ = \frac{y}{x}$ gives

そして $θ$ を求める。公式 $\tan θ = \frac{y}{x}$ を使うと次が得られる。

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{1}{1} \\ \tan θ = 1 \\ θ = \frac{π}{4} \end{array}

Use De Moivre’s Theorem to evaluate the expression.

ド・モアブルの定理を使って式の値を求めよ。

\begin{array}{l} {(a + b i)}^{n} = r^{n} [\cos (n θ) + i \sin (n θ)] \\ {(1 + i)}^{5} = {(\sqrt{2})}^{5} [\cos (5 \cdot \frac{π}{4}) + i \sin (5 \cdot \frac{π}{4})] \\ {(1 + i)}^{5} = 4 \sqrt{2} [\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4})] \\ {(1 + i)}^{5} = 4 \sqrt{2} [- \frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2})] \\ {(1 + i)}^{5} = - 4 - 4 i \end{array}

Finding Roots of Complex Numbers in Polar Form極形式で複素数の根を求める

To find the nth root of a complex number in polar form, we use the $n th$ Root Theorem or De Moivre’s Theorem and raise the complex number to a power with a rational exponent. There are several ways to represent a formula for finding $n th$ roots of complex numbers in polar form.

極形式の複素数の n乗根を求めるには、 $n th$ 乗根の定理すなわちド・モアブルの定理を使い、有理数の指数でその複素数を累乗する。極形式の複素数の $n th$ 乗根を求める公式の表し方は何通りかある。

Note重要事項

The nth Root Theoremn乗根の定理

To find the $n th$ root of a complex number in polar form, use the formula given as

極形式の複素数の $n th$ 乗根を求めるには、次で与えられる公式を使う。

z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{θ}{n} + \frac{2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ}{n} + \frac{2 k π}{n})]

where $k = 0, 1, 2, 3, . . ., n - 1.$ We add $\frac{2 k π}{n}$ to $\frac{θ}{n}$ in order to obtain the periodic roots.

ここで $k = 0, 1, 2, 3, . . ., n - 1.$ である。周期的な根を得るために $\frac{θ}{n}$ に $\frac{2 k π}{n}$ を足す。

Example 11例11

Finding the nth Root of a Complex Number複素数の n乗根を求める

Evaluate the cube roots of $z = 8 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})) .$

$z = 8 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$ の三乗根を求めよ。

Solution 解答

We have

次が得られる。

\begin{array}{l} z^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} [\cos (\frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 k π}{3}) + i \sin (\frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 k π}{3})] \\ z^{\frac{1}{3}} = 2 [\cos (\frac{2 π}{9} + \frac{2 k π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{9} + \frac{2 k π}{3})] \end{array}

There will be three roots: $k = 0, 1, 2.$ When $k = 0,$ we have

根は三つある。 $k = 0, 1, 2.$ である。 $k = 0$ のとき、次が得られる。

z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{2 π}{9}) + i \sin (\frac{2 π}{9}))

When $k = 1,$ we have

$k = 1$ のとき、次が得られる。

\begin{array}{l} z^{\frac{1}{3}} = 2 [\cos (\frac{2 π}{9} + \frac{6 π}{9}) + i \sin (\frac{2 π}{9} + \frac{6 π}{9})] \begin{matrix}  \end{matrix} Add \frac{2 (1) π}{3} to each angle. \\ z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{8 π}{9}) + i \sin (\frac{8 π}{9})) \end{array}

When $k = 2,$ we have

$k = 2$ のとき、次が得られる。

\begin{array}{l} z^{\frac{1}{3}} = 2 [\cos (\frac{2 π}{9} + \frac{12 π}{9}) + i \sin (\frac{2 π}{9} + \frac{12 π}{9})] \begin{matrix}  \end{matrix} & Add \frac{2 (2) π}{3} to each angle. \\ z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{14 π}{9}) + i \sin (\frac{14 π}{9})) \end{array}

Remember to find the common denominator to simplify fractions in situations like this one. For $k = 1,$ the angle simplification is

このような場合は、分数を簡単にするために通分するのを忘れないでほしい。 $k = 1$ では、角は次のように簡単になる。

\begin{array}{l} \frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 (1) π}{3} = \frac{2 π}{3} (\frac{1}{3}) + \frac{2 (1) π}{3} (\frac{3}{3}) \\ = \frac{2 π}{9} + \frac{6 π}{9} \\ = \frac{8 π}{9} \end{array}

Try It #8やってみよう8

Find the four fourth roots of $16 (\cos (120°) + i \sin (120°)) .$

$16 (\cos (120°) + i \sin (120°))$ の四つの四乗根を求めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with polar forms of complex numbers.

複素数の極形式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• The Product and Quotient of Complex Numbers in Trigonometric Form• De Moivre’s Theorem

・三角の形での複素数の積と商・ド・モアブルの定理

Verbal言葉で答える問題

1. A complex number is $a + b i .$ Explain each part.

1. 複素数は $a + b i$ である。各部分を説明せよ。

2. What does the absolute value of a complex number represent?

2. 複素数の絶対値は何を表すか。

3. How is a complex number converted to polar form?

3. 複素数はどうやって極形式に直されるか。

4. How do we find the product of two complex numbers?

4. 二つの複素数の積はどう求めるか。

5. What is De Moivre’s Theorem and what is it used for?

5. ド・モアブルの定理とは何か。何に使われるか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, find the absolute value of the given complex number.

次の各問について、与えられた複素数の絶対値を求めよ。

6. $5 + 3 i$

7. $- 7 + i$

8. $- 3 - 3 i$

9. $\sqrt{2} - 6 i$

10. $2 i$

11. $2.2 - 3.1 i$

For the following exercises, write the complex number in polar form.

次の各問について、複素数を極形式で書け。

12. $2 + 2 i$

13. $8 - 4 i$

14. $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

15. $\sqrt{3} + i$

16. $3 i$

For the following exercises, convert the complex number from polar to rectangular form.

次の各問について、複素数を極形式から直交形式に直せ。

17. $z = 7 cis (\frac{π}{6})$

18. $z = 2 cis (\frac{π}{3})$

19. $z = 4 cis (\frac{7 π}{6})$

20. $z = 7 cis (25°)$

21. $z = 3 cis (240°)$

22. $z = \sqrt{2} cis (100°)$

For the following exercises, find $z_{1} z_{2}$ in polar form.

次の各問について、 $z_{1} z_{2}$ を極形式で求めよ。

23. $z_{1} = 2 \sqrt{3} cis (116°); z_{2} = 2 cis (82°)$

24. $z_{1} = \sqrt{2} cis (205°); z_{2} = 2 \sqrt{2} cis (118°)$

25. $z_{1} = 3 cis (120°); z_{2} = \frac{1}{4} cis (60°)$

26. $z_{1} = 3 cis (\frac{π}{4}); z_{2} = 5 cis (\frac{π}{6})$

27. $z_{1} = \sqrt{5} cis (\frac{5 π}{8}); z_{2} = \sqrt{15} cis (\frac{π}{12})$

28. $z_{1} = 4 cis (\frac{π}{2}); z_{2} = 2 cis (\frac{π}{4})$

For the following exercises, find $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ in polar form.

次の各問について、 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ を極形式で求めよ。

29. $z_{1} = 21 cis (135°); z_{2} = 3 cis (65°)$

30. $z_{1} = \sqrt{2} cis (90°); z_{2} = 2 cis (60°)$

31. $z_{1} = 15 cis (120°); z_{2} = 3 cis (40°)$

32. $z_{1} = 6 cis (\frac{π}{3}); z_{2} = 2 cis (\frac{π}{4})$

33. $z_{1} = 5 \sqrt{2} cis (π); z_{2} = \sqrt{2} cis (\frac{2 π}{3})$

34. $z_{1} = 2 cis (\frac{3 π}{5}); z_{2} = 3 cis (\frac{π}{4})$

For the following exercises, find the powers of each complex number in polar form.

次の各問について、各複素数の累乗を極形式で求めよ。

35. Find $z^{3}$ when $z = 5 cis (45°) .$

35. $z = 5 cis (45°)$ のとき $z^{3}$ を求めよ。

36. Find $z^{4}$ when $z = 2 cis (70°) .$

36. $z = 2 cis (70°)$ のとき $z^{4}$ を求めよ。

37. Find $z^{2}$ when $z = 3 cis (120°) .$

37. $z = 3 cis (120°)$ のとき $z^{2}$ を求めよ。

38. Find $z^{2}$ when $z = 4 cis (\frac{π}{4}) .$

38. $z = 4 cis (\frac{π}{4})$ のとき $z^{2}$ を求めよ。

39. Find $z^{4}$ when $z = cis (\frac{3 π}{16}) .$

39. $z = cis (\frac{3 π}{16})$ のとき $z^{4}$ を求めよ。

40. Find $z^{3}$ when $z = 3 cis (\frac{5 π}{3}) .$

40. $z = 3 cis (\frac{5 π}{3})$ のとき $z^{3}$ を求めよ。

For the following exercises, evaluate each root.

次の各問について、各根の値を求めよ。

41. Evaluate the cube root of $z$ when $z = 27 cis (240°) .$

41. $z = 27 cis (240°)$ のとき $z$ の三乗根を求めよ。

42. Evaluate the square root of $z$ when $z = 16 cis (100°) .$

42. $z = 16 cis (100°)$ のとき $z$ の平方根を求めよ。

43. Evaluate the cube root of $z$ when $z = 32 cis (\frac{2 π}{3}) .$

43. $z = 32 cis (\frac{2 π}{3})$ のとき $z$ の三乗根を求めよ。

44. Evaluate the square root of $z$ when $z = 32 cis (π) .$

44. $z = 32 cis (π)$ のとき $z$ の平方根を求めよ。

45. Evaluate the square root of $z$ when $z = 8 cis (\frac{7 π}{4}) .$

45. $z = 8 cis (\frac{7 π}{4})$ のとき $z$ の平方根を求めよ。

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, plot the complex number in the complex plane.

次の各問について、複素数を複素平面に打て。

46. $2 + 4 i$

47. $- 3 - 3 i$

48. $5 - 4 i$

49. $- 1 - 5 i$

50. $3 + 2 i$

51. $2 i$

52. $- 4$

53. $6 - 2 i$

54. $- 2 + i$

55. $1 - 4 i$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, find all answers rounded to the nearest hundredth.

次の各問について、答えをすべて小数第二位まで丸めて求めよ。

56. Use the rectangular to polar feature on the graphing calculator to change $5 + 5 i$ to polar form.

56. グラフ電卓の直交から極への機能を使って、 $5 + 5 i$ を極形式に変えよ。

57. Use the rectangular to polar feature on the graphing calculator to change $3 - 2 i$ to polar form.

57. グラフ電卓の直交から極への機能を使って、 $3 - 2 i$ を極形式に変えよ。

58. Use the rectangular to polar feature on the graphing calculator to change $- 3 - 8 i$ to polar form.

58. グラフ電卓の直交から極への機能を使って、 $- 3 - 8 i$ を極形式に変えよ。

59. Use the polar to rectangular feature on the graphing calculator to change $4 cis (120°)$ to rectangular form.

59. グラフ電卓の極から直交への機能を使って、 $4 cis (120°)$ を直交形式に変えよ。

60. Use the polar to rectangular feature on the graphing calculator to change $2 cis (45°)$ to rectangular form.

60. グラフ電卓の極から直交への機能を使って、 $2 cis (45°)$ を直交形式に変えよ。

61. Use the polar to rectangular feature on the graphing calculator to change $5 cis (210°)$ to rectangular form.

61. グラフ電卓の極から直交への機能を使って、 $5 cis (210°)$ を直交形式に変えよ。