第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

10.3 Polar Coordinates10.3 極座標

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Plot points using polar coordinates.• Convert from polar coordinates to rectangular coordinates.• Convert from rectangular coordinates to polar coordinates.• Transform equations between polar and rectangular forms.• Identify and graph polar equations by converting to rectangular equations.

・極座標を使って点を打つ。・極座標から直交座標に直す。・直交座標から極座標に直す。・極形式と直交形式のあいだで式を変える。・直交座標での方程式に直して極方程式を見分け、グラフに描く。

Over 12 kilometers from port, a sailboat encounters rough weather and is blown off course by a 16-knot wind (see Figure 1). How can the sailor indicate his location to the Coast Guard? In this section, we will investigate a method of representing location that is different from a standard coordinate grid.

港から12キロメートル以上のところで、あるヨットが荒天に遭い、16ノットの風で針路を外れる(図1を見よ)。この船乗りは自分の位置を沿岸警備隊にどう伝えられるか。この節では、標準の座標の格子とは違う、位置を表す方法を調べる。

An illustration of a boat on the polar grid.

Plotting Points Using Polar Coordinates極座標を使って点を打つ

When we think about plotting points in the plane, we usually think of rectangular coordinates $(x, y)$ in the Cartesian coordinate plane. However, there are other ways of writing a coordinate pair and other types of grid systems. In this section, we introduce to polar coordinates, which are points labeled $(r, θ)$ and plotted on a polar grid. The polar grid is represented as a series of concentric circles radiating out from the pole, or the origin of the coordinate plane.

平面に点を打つことを考えるとき、ふつうはデカルト座標平面の直交座標 $(x, y)$ を思い浮かべる。だが座標の組を書くしかたはほかにもあり、格子の仕組みにもほかの種類がある。この節では極座標を導入する。これは $(r, θ)$ と書かれ、極の格子に打たれる点である。極の格子は、極すなわち座標平面の原点から広がる同心円の並びとして表される。

The polar grid is scaled as the unit circle with the positive x-axis now viewed as the polar axis and the origin as the pole. The first coordinate $r$ is the radius or length of the directed line segment from the pole. The angle $θ,$ measured in radians, indicates the direction of $r .$ We move counterclockwise from the polar axis by an angle of $θ,$ and measure a directed line segment the length of $r$ in the direction of $θ .$ Even though we measure $θ$ first and then $r,$ the polar point is written with the r-coordinate first. For example, to plot the point $(2, \frac{π}{4}),$ we would move $\frac{π}{4}$ units in the counterclockwise direction and then a length of 2 from the pole. This point is plotted on the grid in Figure 2.

極の格子は単位円と同じ目盛りで、正の x軸を今度は極軸、原点を極と見る。一つ目の座標 $r$ は、極からの向きを持つ線分の半径すなわち長さである。ラジアンで測った角 $θ$ が $r$ の向きを示す。極軸から反時計回りに角 $θ$ だけ動き、 $θ$ の向きに長さ $r$ の向きを持つ線分をとる。 $θ$ を先に、 $r$ を後に測るが、極の点は r 座標を先に書く。たとえば点 $(2, \frac{π}{4})$ を打つには、反時計回りに $\frac{π}{4}$ 動き、それから極から長さ2だけ進む。この点を図2の格子に打ってある。

Polar grid with point (2, pi/4) plotted.

Example 1例1

Plotting a Point on the Polar Grid極の格子に点を打つ

Plot the point $(3, \frac{π}{2})$ on the polar grid.

点 $(3, \frac{π}{2})$ を極の格子に打て。

Solution 解答

The angle $\frac{π}{2}$ is found by sweeping in a counterclockwise direction 90° from the polar axis. The point is located at a length of 3 units from the pole in the $\frac{π}{2}$ direction, as shown in Figure 3.

角 $\frac{π}{2}$ は、極軸から反時計回りに90°まわして求める。図3に示すとおり、この点は極から $\frac{π}{2}$ の向きに3単位の長さのところにある。

Polar grid with point (3, pi/2) plotted.

Try It #1やってみよう1

Plot the point $(2, \frac{π}{3})$ in the polar grid.

点 $(2, \frac{π}{3})$ を極の格子に打て。

Example 2例2

Plotting a Point in the Polar Coordinate System with a Negative Component成分が負である極座標の点を打つ

Plot the point $(- 2, \frac{π}{6})$ on the polar grid.

点 $(- 2, \frac{π}{6})$ を極の格子に打て。

Solution 解答

We know that $\frac{π}{6}$ is located in the first quadrant. However, $r = −2.$ We can approach plotting a point with a negative $r$ in two ways:

$\frac{π}{6}$ が第1象限にあると分かっている。だが $r = −2.$ である。 $r$ が負の点を打つには、二通りの近づき方がある。

1. Plot the point $(2, \frac{π}{6})$ by moving $\frac{π}{6}$ in the counterclockwise direction and extending a directed line segment 2 units into the first quadrant. Then retrace the directed line segment back through the pole, and continue 2 units into the third quadrant;2. Move $\frac{π}{6}$ in the counterclockwise direction, and draw the directed line segment from the pole 2 units in the negative direction, into the third quadrant.

1. 点 $(2, \frac{π}{6})$ を打つには、反時計回りに $\frac{π}{6}$ 動き、第1象限へ向きを持つ線分を2単位伸ばす。そしてその線分を極まで戻ってたどり、さらに第3象限へ2単位進む。2. 反時計回りに $\frac{π}{6}$ 動き、極から負の向きに2単位、第3象限へ向きを持つ線分を引く。

See Figure 4(a). Compare this to the graph of the polar coordinate $(2, \frac{π}{6})$ shown in Figure 4(b).

図4(a)を見よ。これを図4(b)に示す極座標 $(2, \frac{π}{6})$ のグラフと比べよ。

Two polar grids. Points (2, pi/6) and (-2, pi/6) are plotted. They are reflections across the origin in Q1 and Q3.

Try It #2やってみよう2

Plot the points $(3, - \frac{π}{6})$ and $(2, \frac{9 π}{4})$ on the same polar grid.

点 $(3, - \frac{π}{6})$ と $(2, \frac{9 π}{4})$ を同じ極の格子に打て。

Converting from Polar Coordinates to Rectangular Coordinates極座標から直交座標に直す

When given a set of polar coordinates, we may need to convert them to rectangular coordinates. To do so, we can recall the relationships that exist among the variables $x, y, r,$ and $θ .$

極座標の組が与えられたとき、それを直交座標に直す必要が生じることがある。そのためには、変数 $x, y, r$ と $θ$ のあいだにある関係を思い出せばよい。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} \to x = r \cos θ \end{array} \\ \sin θ = \frac{y}{r} \to y = r \sin θ \end{array}

Dropping a perpendicular from the point in the plane to the x-axis forms a right triangle, as illustrated in Figure 5. An easy way to remember the equations above is to think of $\cos θ$ as the adjacent side over the hypotenuse and $\sin θ$ as the opposite side over the hypotenuse.

図5に示すとおり、平面上の点から x軸へ垂線を下ろすと直角三角形ができる。上の式を覚えるのに簡単な方法は、 $\cos θ$ を隣辺÷斜辺、 $\sin θ$ を対辺÷斜辺と考えることである。

Comparison between polar coordinates and rectangular coordinates. There is a right triangle plotted on the x,y axis. The sides are a horizontal line on the x-axis of length x, a vertical line extending from thex-axis to some point in quadrant 1, and a hypotenuse r extending from the origin to that same point in quadrant 1. The vertices are at the origin (0,0), some point along the x-axis at (x,0), and that point in quadrant 1. This last point is (x,y) or (r, theta), depending which system of coordinates you use.

Converting from Polar Coordinates to Rectangular Coordinates 極座標から直交座標への変換

To convert polar coordinates $(r, θ)$ to rectangular coordinates $(x, y),$ let

極座標 $(r, θ)$ を直交座標 $(x, y)$ に直すには、次のようにする。

\cos θ = \frac{x}{r} \to x = r \cos θ

\sin θ = \frac{y}{r} \to y = r \sin θ

How To 手順

Given polar coordinates, convert to rectangular coordinates.

極座標が与えられたとき、直交座標に直す。

1. Given the polar coordinate $(r, θ),$ write $x = r \cos θ$ and $y = r \sin θ .$ 2. Evaluate $\cos θ$ and $\sin θ .$ 3. Multiply $\cos θ$ by $r$ to find the x-coordinate of the rectangular form.4. Multiply $\sin θ$ by $r$ to find the y-coordinate of the rectangular form.

1. 極座標 $(r, θ)$ が与えられたとき、 $x = r \cos θ$ と $y = r \sin θ$ を書く。2. $\cos θ$ と $\sin θ$ の値を求める。3. $\cos θ$ に $r$ を掛けて、直交形式の x座標を求める。4. $\sin θ$ に $r$ を掛けて、直交形式の y座標を求める。

Example 3例3

Writing Polar Coordinates as Rectangular Coordinates極座標を直交座標として書く

Write the polar coordinates $(3, \frac{π}{2})$ as rectangular coordinates.

極座標 $(3, \frac{π}{2})$ を直交座標として書け。

Solution 解答

Use the equivalent relationships.

同値な関係を使う。

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ x = 3 \cos \frac{π}{2} = 0 \\ y = r \sin θ \\ y = 3 \sin \frac{π}{2} = 3 \end{array}

The rectangular coordinates are $(0, 3) .$ See Figure 6.

直交座標は $(0, 3)$ である。図6を見よ。

Illustration of (3, pi/2) in polar coordinates and (0,3) in rectangular coordinates - they are the same point!

Example 4例4

Writing Polar Coordinates as Rectangular Coordinates極座標を直交座標として書く

Write the polar coordinates $(- 2, 0)$ as rectangular coordinates.

極座標 $(- 2, 0)$ を直交座標として書け。

Solution 解答

See Figure 7. Writing the polar coordinates as rectangular, we have

図7を見よ。極座標を直交座標として書くと、次が得られる。

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ x = −2 \cos (0) = −2 \\ y = r \sin θ \\ y = −2 \sin (0) = 0 \end{array}

The rectangular coordinates are also $(- 2, 0) .$

直交座標もやはり $(- 2, 0)$ である。

Illustration of (-2, 0) in polar coordinates and (-2,0) in rectangular coordinates - they are the same point!

Try It #3やってみよう3

Write the polar coordinates $(- 1, \frac{2 π}{3})$ as rectangular coordinates.

極座標 $(- 1, \frac{2 π}{3})$ を直交座標として書け。

Converting from Rectangular Coordinates to Polar Coordinates直交座標から極座標に直す

To convert rectangular coordinates to polar coordinates, we will use two other familiar relationships. With this conversion, however, we need to be aware that a set of rectangular coordinates will yield more than one polar point.

直交座標を極座標に直すには、ほかによく知られた二つの関係を使う。だがこの変換では、一組の直交座標が二つ以上の極の点を生むことに気をつける必要がある。

Converting from Rectangular Coordinates to Polar Coordinates 直交座標から極座標への変換

Converting from rectangular coordinates to polar coordinates requires the use of one or more of the relationships illustrated in Figure 8.

直交座標から極座標に直すには、図8に示す関係の一つ以上を使う。

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} or x = r \cos θ \\ \sin θ = \frac{y}{r} or y = r \sin θ \\ r^{2} = x^{2} + y^{2} \\ \tan θ = \frac{y}{x} \end{array}

A right triangle in the Cartesian coordinate system shows a point (x, y) also as (r, θ). The triangle has sides x, y, and hypotenuse r, with angle θ from the positive x-axis to r.

Example 5例5

Writing Rectangular Coordinates as Polar Coordinates直交座標を極座標として書く

Convert the rectangular coordinates $(3, 3)$ to polar coordinates.

直交座標 $(3, 3)$ を極座標に直せ。

Solution 解答

We see that the original point $(3, 3)$ is in the first quadrant. To find $θ,$ use the formula $\tan θ = \frac{y}{x} .$ This gives

元の点 $(3, 3)$ が第1象限にあると分かる。 $θ$ を求めるには公式 $\tan θ = \frac{y}{x}$ を使う。すると次が得られる。

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{3}{3} \\ \tan θ = 1 \\ θ = \tan^{−1} (1) \\ θ = \frac{π}{4} \end{array}

To find $r,$ we substitute the values for $x$ and $y$ into the formula $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ We know that $r$ must be positive, as $\frac{π}{4}$ is in the first quadrant. Thus

$r$ を求めるために、 $x$ と $y$ の値を公式 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ に代入する。 $\frac{π}{4}$ は第1象限にあるので $r$ は正でなければならないと分かる。したがって、

\begin{array}{l} r = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} \\ r = \sqrt{9 + 9} \\ r = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \end{array}

So, $r = 3 \sqrt{2}$ and $θ = \frac{π}{4},$ giving us the polar point $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4}) .$ See Figure 9.

よって $r = 3 \sqrt{2}$ かつ $θ = \frac{π}{4}$ であり、極の点 $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ が得られる。図9を見よ。

Illustration of (3rad2, pi/4) in polar coordinates and (3,3) in rectangular coordinates - they are the same point!

Analysis 考察

There are other sets of polar coordinates that will be the same as our first solution. For example, the points $(- 3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ and $(3 \sqrt{2}, - \frac{7 π}{4})$ will coincide with the original solution of $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4}) .$ The point $(- 3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ indicates a move further counterclockwise by $π,$ which is directly opposite $\frac{π}{4} .$ The radius is expressed as $- 3 \sqrt{2} .$ However, the angle $\frac{5 π}{4}$ is located in the third quadrant and, as $r$ is negative, we extend the directed line segment in the opposite direction, into the first quadrant. This is the same point as $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4}) .$ The point $(3 \sqrt{2}, - \frac{7 π}{4})$ is a move further clockwise by $- \frac{7 π}{4},$ from $\frac{π}{4} .$ The radius, $3 \sqrt{2},$ is the same.

最初の解と同じになる極座標の組はほかにもある。たとえば点 $(- 3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ と $(3 \sqrt{2}, - \frac{7 π}{4})$ は、元の解 $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ と重なる。点 $(- 3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ は、 $\frac{π}{4}$ のちょうど反対である $π$ だけさらに反時計回りに動くことを示す。半径は $- 3 \sqrt{2}$ と表される。だが角 $\frac{5 π}{4}$ は第3象限にあり、 $r$ が負なので、向きを持つ線分を逆向きに、第1象限へ伸ばす。これは $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ と同じ点である。点 $(3 \sqrt{2}, - \frac{7 π}{4})$ は $\frac{π}{4}$ からさらに時計回りに $- \frac{7 π}{4}$ だけ動いたものである。半径 $3 \sqrt{2}$ は同じである。

Transforming Equations between Polar and Rectangular Forms極形式と直交形式のあいだで式を変える

We can now convert coordinates between polar and rectangular form. Converting equations can be more difficult, but it can be beneficial to be able to convert between the two forms. Since there are a number of polar equations that cannot be expressed clearly in Cartesian form, and vice versa, we can use the same procedures we used to convert points between the coordinate systems. We can then use a graphing calculator to graph either the rectangular form or the polar form of the equation.

これで極形式と直交形式のあいだで座標が直せる。式を直すのはもっと難しいこともあるが、この二つの形を行き来できると役立つ。デカルト形式ではっきり表せない極方程式や、その逆も数多くあるので、座標系のあいだで点を直すのに使ったのと同じ手順が使える。そしてグラフ電卓を使って、この式の直交形式か極形式のどちらかのグラフを描ける。

How To 手順

Given an equation in polar form, graph it using a graphing calculator.

極形式の式が与えられたとき、グラフ電卓を使ってグラフを描く。

1. Change the MODE to POL, representing polar form.2. Press the Y= button to bring up a screen allowing the input of six equations: $r_{1}, r_{2}, . . ., r_{6} .$ 3. Enter the polar equation, set equal to $r .$ 4. Press GRAPH.

1. MODE を、極形式を表す POL に変える。2. Y= ボタンを押して、六つの式 $r_{1}, r_{2}, . . ., r_{6}$ を入れられる画面を出す。3. $r$ に等しいとおいて、極方程式を入れる。4. GRAPH を押す。

Example 6例6

Writing a Cartesian Equation in Polar Formデカルトの式を極形式で書く

Write the Cartesian equation $x^{2} + y^{2} = 9$ in polar form.

デカルトの式 $x^{2} + y^{2} = 9$ を極形式で書け。

Solution 解答

The goal is to eliminate $x$ and $y$ from the equation and introduce $r$ and $θ .$ Ideally, we would write the equation $r$ as a function of $θ .$ To obtain the polar form, we will use the relationships between $(x, y)$ and $(r, θ) .$ Since $x = r \cos θ$ and $y = r \sin θ,$ we can substitute and solve for $r .$

狙いは、式から $x$ と $y$ を消して $r$ と $θ$ を持ち込むことである。理想を言えば、式 $r$ を $θ$ の関数として書きたい。極形式を得るために、 $(x, y)$ と $(r, θ)$ のあいだの関係を使う。 $x = r \cos θ$ かつ $y = r \sin θ$ なので、代入して $r$ について解ける。

\begin{array}{l} {(r \cos θ)}^{2} + {(r \sin θ)}^{2} = 9 \\ r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ = 9 \\ r^{2} (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) = 9 \\ r^{2} (1) = 9 & {Substitute cos}^{2} θ + \sin^{2} θ = 1. \\ r = \pm 3 \begin{matrix}  \end{matrix} & Use the square root property . \end{array}

Thus, $x^{2} + y^{2} = 9, r = 3,$ and $r = - 3$ should generate the same graph. See Figure 10.

したがって、 $x^{2} + y^{2} = 9, r = 3$ と $r = - 3$ は同じグラフを生むはずである。図10を見よ。

Plotting a circle of radius 3 with center at the origin in polar and rectangular coordinates. It is the same in both systems. — Figure 10 (a) Cartesian form $x^{2} + y^{2} = 9$ (b) Polar form $r = 3$ 図10 (a) デカルト形式 $x^{2} + y^{2} = 9$ 。(b) 極形式 $r = 3$ 。

To graph a circle in rectangular form, we must first solve for $y .$

直交形式で円のグラフを描くには、まず $y$ について解かなければならない。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 9 \end{array} \\ y^{2} = 9 - x^{2} \\ y = \pm \sqrt{9 - x^{2}} \end{array}

Note that this is two separate functions, since a circle fails the vertical line test. Therefore, we need to enter the positive and negative square roots into the calculator separately, as two equations in the form $Y_{1} = \sqrt{9 - x^{2}}$ and $Y_{2} = - \sqrt{9 - x^{2}} .$ Press GRAPH.

円は縦の直線の判定に落ちるので、これは別々の二つの関数であることに注意せよ。したがって、正と負の平方根を $Y_{1} = \sqrt{9 - x^{2}}$ と $Y_{2} = - \sqrt{9 - x^{2}}$ の形の二つの式として、電卓に別々に入れる必要がある。GRAPH を押す。

Example 7例7

Rewriting a Cartesian Equation as a Polar Equationデカルトの式を極方程式に書き直す

Rewrite the Cartesian equation $x^{2} + y^{2} = 6 y$ as a polar equation.

デカルトの式 $x^{2} + y^{2} = 6 y$ を極方程式に書き直せ。

Solution 解答

This equation appears similar to the previous example, but it requires different steps to convert the equation.

この式は前の例に似て見えるが、直すには違う手順が要る。

We can still follow the same procedures we have already learned and make the following substitutions:

すでに学んだ同じ手順をたどり、次のように置き換えられる。

\begin{array}{l} r^{2} = 6 y & Use x^{2} + y^{2} = r^{2} . \\ r^{2} = 6 r \sin θ & Substitute y = r \sin θ . \\ r^{2} - 6 r \sin θ = 0 & Set equal to 0 . \\ r (r - 6 \sin θ) = 0 & Factor and solve . \\ r = 0 & We reject r = 0, as it only represents one point, (0, 0) . \\ r = 6 \sin θ \begin{matrix}  \end{matrix} \end{array}

Therefore, the equations $x^{2} + y^{2} = 6 y$ and $r = 6 \sin θ$ should give us the same graph. See Figure 11.

したがって、式 $x^{2} + y^{2} = 6 y$ と $r = 6 \sin θ$ は同じグラフになるはずである。図11を見よ。

Plots of the equations stated above - the plots are the same in both rectangular and polar coordinates. They are circles. — Figure 11 (a) Cartesian form $x^{2} + y^{2} = 6 y$ (b) polar form $r = 6 \sin θ$ 図11 (a) デカルト形式 $x^{2} + y^{2} = 6 y$ 。(b) 極形式 $r = 6 \sin θ$ 。

The Cartesian or rectangular equation is plotted on the rectangular grid, and the polar equation is plotted on the polar grid. Clearly, the graphs are identical.

デカルトすなわち直交座標での方程式は直交の格子に、極方程式は極の格子に描かれる。明らかに、このグラフは同じである。

Example 8例8

Rewriting a Cartesian Equation in Polar Formデカルトの式を極形式で書き直す

Rewrite the Cartesian equation $y = 3 x + 2$ as a polar equation.

デカルトの式 $y = 3 x + 2$ を極方程式に書き直せ。

Solution 解答

We will use the relationships $x = r \cos θ$ and $y = r \sin θ .$

関係 $x = r \cos θ$ と $y = r \sin θ$ を使う。

\begin{array}{l} y = 3 x + 2 \\ r \sin θ = 3 r \cos θ + 2 \\ r \sin θ - 3 r \cos θ = 2 \\ r (\sin θ - 3 \cos θ) = 2 & Isolate r . \\ r = \frac{2}{\sin θ - 3 \cos θ} \begin{matrix}  \end{matrix} & Solve for r . \end{array}

Try It #4やってみよう4

Rewrite the Cartesian equation $y^{2} = 3 - x^{2}$ in polar form.

デカルトの式 $y^{2} = 3 - x^{2}$ を極形式で書き直せ。

Identify and Graph Polar Equations by Converting to Rectangular Equations直交座標での方程式に直して極方程式を見分け、グラフに描く

We have learned how to convert rectangular coordinates to polar coordinates, and we have seen that the points are indeed the same. We have also transformed polar equations to rectangular equations and vice versa. Now we will demonstrate that their graphs, while drawn on different grids, are identical.

直交座標を極座標に直す方法を学び、その点が実際に同じであることを見た。極方程式を直交座標での方程式に、またその逆にも変えた。ここで、そのグラフが、違う格子に描かれてはいても同じであることを示す。

Example 9例9

Graphing a Polar Equation by Converting to a Rectangular Equation直交座標での方程式に直して極方程式のグラフを描く

Covert the polar equation $r = 2 \sec θ$ to a rectangular equation, and draw its corresponding graph.

極方程式 $r = 2 \sec θ$ を直交座標での方程式に直し、それに対応するグラフを描け。

Solution 解答

The conversion is

変換は次のとおりである。

\begin{matrix} r & = & 2 \sec θ \\ r & = & \frac{2}{\cos θ} \\ r \cos θ & = & 2 \\ x & = & 2 \end{matrix}

Notice that the equation $r = 2 \sec θ$ drawn on the polar grid is clearly the same as the vertical line $x = 2$ drawn on the rectangular grid (see Figure 12). Just as $x = c$ is the standard form for a vertical line in rectangular form, $r = c \sec θ$ is the standard form for a vertical line in polar form.

極の格子に描いた式 $r = 2 \sec θ$ が、直交の格子に描いた縦の直線 $x = 2$ と明らかに同じであることに注目しよう(図12を見よ)。 $x = c$ が直交形式での縦の直線の標準形であるのと同じく、 $r = c \sec θ$ は極形式での縦の直線の標準形である。

Plots of the equations stated above - the plots are the same in both rectangular and polar coordinates. They are lines. — Figure 12 (a) Polar grid (b) Rectangular coordinate system図12 (a) 極の格子。(b) 直交座標系。

A similar discussion would demonstrate that the graph of the function $r = 2 \csc θ$ will be the horizontal line $y = 2.$ In fact, $r = c \csc θ$ is the standard form for a horizontal line in polar form, corresponding to the rectangular form $y = c .$

同じように論じれば、関数 $r = 2 \csc θ$ のグラフが横の直線 $y = 2.$ になると示せる。実際、 $r = c \csc θ$ は極形式での横の直線の標準形であり、直交形式の $y = c$ に対応する。

Example 10例10

Rewriting a Polar Equation in Cartesian Form極方程式をデカルト形式で書き直す

Rewrite the polar equation $r = \frac{3}{1 - 2 \cos θ}$ as a Cartesian equation.

極方程式 $r = \frac{3}{1 - 2 \cos θ}$ をデカルトの式に書き直せ。

Solution 解答

The goal is to eliminate $θ$ and $r,$ and introduce $x$ and $y .$ We clear the fraction, and then use substitution. In order to replace $r$ with $x$ and $y,$ we must use the expression $x^{2} + y^{2} = r^{2} .$

狙いは $θ$ と $r$ を消して $x$ と $y$ を持ち込むことである。分数を払い、それから置き換えを使う。 $r$ を $x$ と $y$ に置き換えるには、式 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ を使わなければならない。

\begin{matrix} r & = & \frac{3}{1 - 2 \cos θ} \\ r (1 - 2 (\frac{x}{r})) & = & 3 \\ r - 2 x & = & 3 & Use \cos θ = \frac{x}{r} t o eliminate θ \\ r - 2 x & = & 3 \\ r & = & 3 + 2 x & Isolate r \\ r^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} & Square both sides \\ x^{2} + y^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} & Use x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{matrix}

The Cartesian equation is $x^{2} + y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} .$ However, to graph it, especially using a graphing calculator or computer program, we want to isolate $y .$

デカルトの式は $x^{2} + y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2}$ である。だがグラフを描くには、とくにグラフ電卓や計算機の算譜を使うなら、 $y$ を取り出したい。

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} \\ y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} - x^{2} \\ y = \pm \sqrt{{(3 + 2 x)}^{2} - x^{2}} \end{array}

When our entire equation has been changed from $r$ and $θ$ to $x$ and $y,$ we can stop, unless asked to solve for $y$ or simplify. See Figure 13.

式全体が $r$ と $θ$ から $x$ と $y$ に変わったら、 $y$ について解けとか簡単にせよとか言われない限り、そこで止めてよい。図13を見よ。

Plots of the equations stated above - the plots are the same in both rectangular and polar coordinates. They are hyperbolas.

The “hour-glass” shape of the graph is called a hyperbola. Hyperbolas have many interesting geometric features and applications, which we will investigate further in Analytic Geometry.

このグラフの「砂時計」の形を双曲線という。双曲線には興味深い幾何の特徴と応用が多くあり、「解析幾何」でさらに調べる。

Analysis 考察

In this example, the right side of the equation can be expanded and the equation simplified further, as shown above. However, the equation cannot be written as a single function in Cartesian form. We may wish to write the rectangular equation in the hyperbola’s standard form. To do this, we can start with the initial equation.

この例では、上に示したとおり、方程式の右辺を展開してさらに簡単にできる。だがこの式は、デカルト形式で一つの関数としては書けない。この直交座標での方程式を双曲線の標準形で書きたいこともあるだろう。そのためには、初めの式から始めればよい。

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} \\ x^{2} + y^{2} - {(3 + 2 x)}^{2} & = & 0 \\ x^{2} + y^{2} - (9 + 12 x + 4 x^{2}) & = & 0 \\ x^{2} + y^{2} - 9 - 12 x - 4 x^{2} & = & 0 \\ - 3 x^{2} - 12 x + y^{2} & = & 9 & Multiply through by - 1 \\ 3 x^{2} + 12 x - y^{2} & = & - 9 \\ 3 (x^{2} + 4 x +) - y^{2} & = & - 9 \\ 3 (x^{2} + 4 x + 4) - y^{2} & = & - 9 + 12 & O r g a n i z e terms to complete the square for x \\ 3 {(x + 2)}^{2} - y^{2} & = & 3 \\ {(x + 2)}^{2} - \frac{y^{2}}{3} & = & 1 \end{matrix}

Try It #5やってみよう5

Rewrite the polar equation $r = 2 \sin θ$ in Cartesian form.

極方程式 $r = 2 \sin θ$ をデカルト形式で書き直せ。

Example 11例11

Rewriting a Polar Equation in Cartesian Form極方程式をデカルト形式で書き直す

Rewrite the polar equation $r = \sin (2 θ)$ in Cartesian form.

極方程式 $r = \sin (2 θ)$ をデカルト形式で書き直せ。

Solution 解答

\begin{array}{l} r = \sin (2 θ) & Use the double angle identity for sine . \\ r = 2 \sin θ \cos θ \begin{matrix}  \end{matrix} & Use \cos θ = \frac{x}{r} and \sin θ = \frac{y}{r} . \\ r = 2 (\frac{x}{r}) (\frac{y}{r}) & Simplify . \\ r = \frac{2 x y}{r^{2}} & Multiply both sides by r^{2} . \\ r^{3} = 2 x y \\ {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{3} = 2 x y & As x^{2} + y^{2} = r^{2}, r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \end{array}

This equation can also be written as

この式は次のようにも書ける。

{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = 2 x y or x^{2} + y^{2} = {(2 x y)}^{\frac{2}{3}}

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with polar coordinates.

極座標についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Introduction to Polar Coordinates• Comparing Polar and Rectangular Coordinates

・極座標への導入・極座標と直交座標を比べる

Verbal言葉で答える問題

1. How are polar coordinates different from rectangular coordinates?

1. 極座標は直交座標とどう違うか。

2. How are the polar axes different from the x- and y-axes of the Cartesian plane?

2. 極の座標軸は、デカルト平面の x軸・y軸とどう違うか。

3. Explain how polar coordinates are graphed.

3. 極座標がどうグラフに描かれるかを説明せよ。

4. How are the points $(3, \frac{π}{2})$ and $(- 3, \frac{π}{2})$ related?

4. 点 $(3, \frac{π}{2})$ と $(- 3, \frac{π}{2})$ はどう関わるか。

5. Explain why the points $(- 3, \frac{π}{2})$ and $(3, - \frac{π}{2})$ are the same.

5. 点 $(- 3, \frac{π}{2})$ と $(3, - \frac{π}{2})$ が同じである理由を説明せよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, convert the given polar coordinates to Cartesian coordinates. Remember to consider the quadrant in which the given point is located when determining $θ$ for the point.

次の各問について、与えられた極座標をデカルト座標に直せ。その点の $θ$ を決めるとき、与えられた点がどの象限にあるかを必ず考えること。

6. $(7, \frac{7 π}{6})$

7. $(5, π)$

8. $(6, - \frac{π}{4})$

9. $(- 3, \frac{π}{6})$

10. $(4, \frac{7 π}{4})$

For the following exercises, convert the given Cartesian coordinates to polar coordinates with $r > 0, 0 \leq θ < 2 π .$ Remember to consider the quadrant in which the given point is located.

次の各問について、与えられたデカルト座標を $r > 0, 0 \leq θ < 2 π$ の極座標に直せ。与えられた点がどの象限にあるかを必ず考えること。

11. $(4, 2)$

12. $(- 4, 6)$

13. $(3, −5)$

14. $(−10, −13)$

15. $(8, 8)$

For the following exercises, convert the given Cartesian equation to a polar equation.

次の各問について、与えられたデカルトの式を極方程式に直せ。

16. $x = 3$

17. $y = 4$

18. $y = 4 x^{2}$

19. $y = 2 x^{4}$

20. $x^{2} + y^{2} = 4 y$

21. $x^{2} + y^{2} = 3 x$

22. $x^{2} - y^{2} = x$

23. $x^{2} - y^{2} = 3 y$

24. $x^{2} + y^{2} = 9$

25. $x^{2} = 9 y$

26. $y^{2} = 9 x$

27. $9 x y = 1$

For the following exercises, convert the given polar equation to a Cartesian equation. Write in the standard form of a conic if possible, and identify the conic section represented.

次の各問について、与えられた極方程式をデカルトの式に直せ。できるなら円錐曲線の標準形で書き、表される円錐曲線を見分けよ。

28. $r = 3 \sin θ$

29. $r = 4 \cos θ$

30. $r = \frac{4}{\sin θ + 7 \cos θ}$

31. $r = \frac{6}{\cos θ + 3 \sin θ}$

32. $r = 2 \sec θ$

33. $r = 3 \csc θ$

34. $r = \sqrt{r \cos θ + 2}$

35. $r^{2} = 4 \sec θ \csc θ$

36. $r = 4$

37. $r^{2} = 4$

38. $r = \frac{1}{4 \cos θ - 3 \sin θ}$

39. $r = \frac{3}{\cos θ - 5 \sin θ}$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, find the polar coordinates of the point.

次の各問について、その点の極座標を求めよ。

40.

Polar coordinate system with a point located on the third concentric circle and pi/2.

41.

Polar coordinate system with a point located on the third concentric circle and midway between pi/2 and pi in the second quadrant.

42.

Polar coordinate system with a point located midway between the first and second concentric circles and a third of the way between pi and 3pi/2 (closer to pi).

43.

Polar coordinate system with a point located on the fifth concentric circle and pi.

44.

Polar coordinate system with a point located on the fourth concentric circle and a third of the way between 3pi/2 and 2pi (closer to 3pi/2).

For the following exercises, plot the points.

次の各問について、点を打て。

45. $(- 2, \frac{π}{3})$

46. $(- 1, - \frac{π}{2})$

47. $(3.5, \frac{7 π}{4})$

48. $(- 4, \frac{π}{3})$

49. $(5, \frac{π}{2})$

50. $(4, \frac{- 5 π}{4})$

51. $(3, \frac{5 π}{6})$

52. $(- 1.5, \frac{7 π}{6})$

53. $(- 2, \frac{π}{4})$

54. $(1, \frac{3 π}{2})$

For the following exercises, convert the equation from rectangular to polar form and graph on the polar axis.

次の各問について、式を直交形式から極形式に直し、極軸の上にグラフを描け。

55. $5 x - y = 6$

56. $2 x + 7 y = - 3$

57. $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

58. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 13$

59. $x = 2$

60. $x^{2} + y^{2} = 5 y$

61. $x^{2} + y^{2} = 3 x$

For the following exercises, convert the equation from polar to rectangular form and graph on the rectangular plane.

次の各問について、式を極形式から直交形式に直し、直交平面にグラフを描け。

62. $r = 6$

63. $r = - 4$

64. $θ = - \frac{2 π}{3}$

65. $θ = \frac{π}{4}$

66. $r = \sec θ$

67. $r = −10 \sin θ$

68. $r = 3 \cos θ$

Technology機器を使う問題

69. Use a graphing calculator to find the rectangular coordinates of $(2, - \frac{π}{5}) .$ Round to the nearest thousandth.

69. グラフ電卓を使って $(2, - \frac{π}{5})$ の直交座標を求めよ。小数第三位まで丸めよ。

70. Use a graphing calculator to find the rectangular coordinates of $(- 3, \frac{3 π}{7}) .$ Round to the nearest thousandth.

70. グラフ電卓を使って $(- 3, \frac{3 π}{7})$ の直交座標を求めよ。小数第三位まで丸めよ。

71. Use a graphing calculator to find the polar coordinates of $(- 7, 8)$ in degrees. Round to the nearest thousandth.

71. グラフ電卓を使って $(- 7, 8)$ の極座標を度で求めよ。小数第三位まで丸めよ。

72. Use a graphing calculator to find the polar coordinates of $(3, - 4)$ in degrees. Round to the nearest hundredth.

72. グラフ電卓を使って $(3, - 4)$ の極座標を度で求めよ。小数第二位まで丸めよ。

73. Use a graphing calculator to find the polar coordinates of $(- 2, 0)$ in radians. Round to the nearest hundredth.

73. グラフ電卓を使って $(- 2, 0)$ の極座標をラジアンで求めよ。小数第二位まで丸めよ。

Extensions発展問題

74. Describe the graph of $r = a \sec θ; a > 0.$

74. $r = a \sec θ; a > 0.$ のグラフを述べよ。

75. Describe the graph of $r = a \sec θ; a < 0.$

75. $r = a \sec θ; a < 0.$ のグラフを述べよ。

76. Describe the graph of $r = a \csc θ; a > 0.$

76. $r = a \csc θ; a > 0.$ のグラフを述べよ。

77. Describe the graph of $r = a \csc θ; a < 0.$

77. $r = a \csc θ; a < 0.$ のグラフを述べよ。

78. What polar equations will give an oblique line?

78. どんな極方程式が斜めの直線を生むか。

For the following exercise, graph the polar inequality.

次の問について、極の不等式のグラフを描け。

79. $r < 4$

80. $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$

81. $θ = \frac{π}{4}, r \geq 2$

82. $θ = \frac{π}{4}, r \geq −3$

83. $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}, r < 2$

84. $\frac{- π}{6} < θ \leq \frac{π}{3}, - 3 < r < 2$