第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

Finding the Unit Vector in the Direction of vv の向きの単位ベクトルを求める

In addition to finding a vector’s components, it is also useful in solving problems to find a vector in the same direction as the given vector, but of magnitude 1. We call a vector with a magnitude of 1 a unit vector. We can then preserve the direction of the original vector while simplifying calculations.

英語のヒント

ベクトルの成分を求めることに加えて、与えられたベクトルと同じ向きで大きさが1のベクトルを求めることも問題を解くのに役立つ。大きさが1のベクトルを単位ベクトルという。こうすれば、計算を簡単にしながら元のベクトルの向きを保てる。

Unit vectors are defined in terms of components. The horizontal unit vector is written as $i$ $= 〈 1, 0 〉$ and is directed along the positive horizontal axis. The vertical unit vector is written as $j$ $= 〈 0, 1 〉$ and is directed along the positive vertical axis. See Figure 14.

英語のヒント

単位ベクトルは成分で定められる。水平の単位ベクトルは $i$ $= 〈 1, 0 〉$ と書き、水平軸の正の向きを向く。鉛直の単位ベクトルは $j$ $= 〈 0, 1 〉$ と書き、鉛直軸の正の向きを向く。図14を見よ。

Plot showing the unit vectors i=91,0) and j=(0,1)

Note重要事項

The Unit Vectors単位ベクトル

If $v$ is a nonzero vector, then $\frac{v}{| v |}$ is a unit vector in the direction of $v .$ Any vector divided by its magnitude is a unit vector. Notice that magnitude is always a scalar, and dividing by a scalar is the same as multiplying by the reciprocal of the scalar.

英語のヒント

$v$ が零でないベクトルなら、 $\frac{v}{| v |}$ は $v$ の向きの単位ベクトルである。どんなベクトルもその大きさで割れば単位ベクトルになる。大きさはつねにスカラーであり、スカラーで割るのはそのスカラーの逆数を掛けるのと同じであることに注意せよ。

Example 9例9

Finding the Unit Vector in the Direction of vv の向きの単位ベクトルを求める

Find a unit vector in the same direction as $v$ $= 〈 −5, 12 〉.$

$v$ $= 〈 −5, 12 〉.$ と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。

Solution 解答

First, we will find the magnitude.

まず、大きさを求める。

\begin{array}{l} | v | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(12)}^{2}} \\ = \sqrt{25 + 144} \\ = \sqrt{169} \\ = 13 \end{array}

Then we divide each component by $| v |,$ which gives a unit vector in the same direction as v:

英語のヒント

そして各成分を $| v |,$ で割ると、v と同じ向きの単位ベクトルが得られる。

\frac{v}{| v |} = - \frac{5}{13} i + \frac{12}{13} j

or, in component form

または、成分表示で

\frac{v}{| v |} = 〈 - \frac{5}{13}, \frac{12}{13} 〉

See Figure 15.

図15を見よ。

Plot showing the unit vector (-5/13, 12/13) in the direction of (-5, 12)

Verify that the magnitude of the unit vector equals 1. The magnitude of $- \frac{5}{13} i + \frac{12}{13} j$ is given as

英語のヒント

単位ベクトルの大きさが1に等しいことを確かめよ。 $- \frac{5}{13} i + \frac{12}{13} j$ の大きさは次で与えられる。

\begin{array}{l} \sqrt{{(- \frac{5}{13})}^{2} + {(\frac{12}{13})}^{2}} = \sqrt{\frac{25}{169} + \frac{144}{169}} \\ = \sqrt{\frac{169}{169}} = 1 \end{array}

The vector u $= \frac{5}{13}$ i $+ \frac{12}{13}$ j is the unit vector in the same direction as v $= 〈 - 5, 12 〉 .$

ベクトル u $= \frac{5}{13}$ i $+ \frac{12}{13}$ j は、v $= 〈 - 5, 12 〉$ と同じ向きの単位ベクトルである。