第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

Testing Polar Equations for Symmetry極方程式の対称性を調べる

Just as a rectangular equation such as $y = x^{2}$ describes the relationship between $x$ and $y$ on a Cartesian grid, a polar equation describes a relationship between $r$ and $θ$ on a polar grid. Recall that the coordinate pair $(r, θ)$ indicates that we move counterclockwise from the polar axis (positive x-axis) by an angle of $θ,$ and extend a ray from the pole (origin) $r$ units in the direction of $θ .$ All points that satisfy the polar equation are on the graph.

$y = x^{2}$ のような直交座標での方程式が、デカルトの格子上の $x$ と $y$ の関係を述べるのと同じく、極方程式は極の格子上の $r$ と $θ$ の関係を述べる。座標の組 $(r, θ)$ は、極軸(正の x軸)から反時計回りに角 $θ$ だけ動き、極(原点)から $θ$ の向きに $r$ 単位の半直線を伸ばすことを示すのを思い出そう。極方程式を満たす点はすべてグラフ上にある。

Symmetry is a property that helps us recognize and plot the graph of any equation. If an equation has a graph that is symmetric with respect to an axis, it means that if we folded the graph in half over that axis, the portion of the graph on one side would coincide with the portion on the other side. By performing three tests, we will see how to apply the properties of symmetry to polar equations. Further, we will use symmetry (in addition to plotting key points, zeros, and maximums of $r)$ to determine the graph of a polar equation.

対称性は、どんな式でもそのグラフを見分けて描くのに役立つ性質である。ある軸に関して対称なグラフを持つ式なら、その軸でグラフを半分に折ると、片側の部分がもう片側の部分と重なるということである。三つの判定を行って、対称性の性質を極方程式にどう当てはめるかを見よう。さらに、対称性を(要点・零点・ $r)$ の最大値を打つことに加えて)使って、極方程式のグラフを決める。

In the first test, we consider symmetry with respect to the line $θ = \frac{π}{2}$ (y-axis). We replace $(r, θ)$ with $(- r, - θ)$ to determine if the new equation is equivalent to the original equation. For example, suppose we are given the equation $r = 2 \sin θ;$

一つ目の判定では、直線 $θ = \frac{π}{2}$ (y軸)に関する対称性を考える。 $(r, θ)$ を $(- r, - θ)$ に置き換えて、新しい式が元の式と同値かどうかを決める。たとえば式 $r = 2 \sin θ;$ が与えられたとしよう。

\begin{array}{l} r = 2 \sin θ \\ - r = 2 \sin (- θ) \begin{matrix}  \end{matrix} & Replace (r, θ) with (- r, - θ) . \\ - r = −2 \sin θ & Identity: \sin (- θ) = - \sin θ . \\ r = 2 \sin θ & Multiply both sides by −1. \end{array}

This equation exhibits symmetry with respect to the line $θ = \frac{π}{2} .$

この式は直線 $θ = \frac{π}{2}$ に関する対称性を示す。

In the second test, we consider symmetry with respect to the polar axis ( $x$ -axis). We replace $(r, θ)$ with $(r, - θ)$ or $(- r, π - θ)$ to determine equivalency between the tested equation and the original. For example, suppose we are given the equation $r = 1 - 2 \cos θ .$

二つ目の判定では、極軸( $x$ 軸)に関する対称性を考える。 $(r, θ)$ を $(r, - θ)$ または $(- r, π - θ)$ に置き換えて、調べる式と元の式が同値かどうかを決める。たとえば式 $r = 1 - 2 \cos θ$ が与えられたとしよう。

\begin{array}{l} r = 1 - 2 \cos θ \\ r = 1 - 2 \cos (- θ) \begin{matrix}  \end{matrix} & Replace (r, θ) with (r, - θ) . \\ r = 1 - 2 \cos θ & Even/Odd identity \end{array}

The graph of this equation exhibits symmetry with respect to the polar axis.

この式のグラフは極軸に関する対称性を示す。

In the third test, we consider symmetry with respect to the pole (origin). We replace $(r, θ)$ with $(- r, θ)$ to determine if the tested equation is equivalent to the original equation. For example, suppose we are given the equation $r = 2 \sin (3 θ).$

三つ目の判定では、極(原点)に関する対称性を考える。 $(r, θ)$ を $(- r, θ)$ に置き換えて、調べる式が元の式と同値かどうかを決める。たとえば式 $r = 2 \sin (3 θ).$ が与えられたとしよう。

\begin{matrix} r = 2 \sin (3 θ) \\ - r = 2 \sin (3 θ) \end{matrix}

The equation has failed the symmetry test, but that does not mean that it is not symmetric with respect to the pole. Passing one or more of the symmetry tests verifies that symmetry will be exhibited in a graph. However, failing the symmetry tests does not necessarily indicate that a graph will not be symmetric about the line $θ = \frac{π}{2},$ the polar axis, or the pole. In these instances, we can confirm that symmetry exists by plotting reflecting points across the apparent axis of symmetry or the pole. Testing for symmetry is a technique that simplifies the graphing of polar equations, but its application is not perfect.

この式は対称性の判定に落ちたが、極に関して対称でないという意味ではない。対称性の判定の一つ以上に通れば、グラフに対称性が現れると確かめられる。だが対称性の判定に落ちても、グラフが直線 $θ = \frac{π}{2}$ 、極軸、極に関して対称でないとは限らない。その場合は、対称に見える軸や極を挟んで折り返した点を打てば、対称性があると裏づけられる。対称性を調べるのは極方程式のグラフを描くのを簡単にする手法だが、その当てはまり方は完璧ではない。

Symmetry Tests 対称性の確認

A polar equation describes a curve on the polar grid. The graph of a polar equation can be evaluated for three types of symmetry, as shown in Figure 2.

極方程式は極の格子上の曲線を述べる。図2に示すとおり、極方程式のグラフは三つの種類の対称性について調べられる。

3 graphs side by side. (A) shows a ray extending into Q 1 and its symmetric version in Q 2. (B) shows a ray extending into Q 1 and its symmetric version in Q 4. (C) shows a ray extending into Q 1 and its symmetric version in Q 3. See caption for more information. — Figure 2 (a) A graph is symmetric with respect to the line $θ = \frac{π}{2}$ (y-axis) if replacing $(r, θ)$ with $(- r, - θ)$ yields an equivalent equation. (b) A graph is symmetric with respect to the polar axis (x-axis) if replacing $(r, θ)$ with $(r, - θ)$ or $(− r, π− θ)$ yields an equivalent equation. (c) A graph is symmetric with respect to the pole (origin) if replacing $(r, θ)$ with $(− r, θ)$ yields an equivalent equation.図2 (a) $(r, θ)$ を $(- r, - θ)$ に置き換えて同値な式になるなら、グラフは直線 $θ = \frac{π}{2}$ (y軸)に関して対称である。(b) $(r, θ)$ を $(r, - θ)$ または $(− r, π− θ)$ に置き換えて同値な式になるなら、グラフは極軸(x軸)に関して対称である。(c) $(r, θ)$ を $(− r, θ)$ に置き換えて同値な式になるなら、グラフは極(原点)に関して対称である。

How To 手順

Given a polar equation, test for symmetry.

極方程式が与えられたとき、対称性を調べる。

1. Substitute the appropriate combination of components for $(r, θ) :$ $(- r, - θ)$ for $θ = \frac{π}{2}$ symmetry; $(r, - θ)$ for polar axis symmetry; and $(- r, θ)$ for symmetry with respect to the pole.2. If the resulting equations are equivalent in one or more of the tests, the graph produces the expected symmetry.

1. $(r, θ) :$ にふさわしい成分の組み合わせを代入する。 $θ = \frac{π}{2}$ に関する対称性には $(- r, - θ)$ 、極軸に関する対称性には $(r, - θ)$ 、極に関する対称性には $(- r, θ)$ を使う。2. できあがった式が判定の一つ以上で同値なら、グラフは見込まれる対称性を持つ。

Example 1例1

Testing a Polar Equation for Symmetry極方程式の対称性を調べる

Test the equation $r = 2 \sin θ$ for symmetry.

式 $r = 2 \sin θ$ の対称性を調べよ。

Solution 解答

Test for each of the three types of symmetry.

三つの種類の対称性それぞれについて調べる。

1) Replacing $(r, θ)$ with $(- r, - θ)$ yields the same result. Thus, the graph is symmetric with respect to the line $θ = \frac{π}{2} .$ 1) $(r, θ)$ を $(- r, - θ)$ に置き換えても同じ結果になる。よってこのグラフは直線 $θ = \frac{π}{2}$ に関して対称である。	$\begin{array}{l} - r = 2 \sin (- θ) \\ - r = −2 \sin θ & Even-odd identity \\ r = 2 \sin θ & Multiply by −1 \\ Passed \end{array}$
2) Replacing $θ$ with $- θ$ does not yield the same equation. Therefore, the graph fails the test and may or may not be symmetric with respect to the polar axis.2) $θ$ を $- θ$ に置き換えても同じ式にならない。したがってこのグラフは判定に落ち、極軸に関して対称かもしれないし対称でないかもしれない。	$\begin{array}{l} r = 2 \sin (- θ) \\ r = −2 \sin θ & Even-odd identity \\ r = −2 \sin θ \neq 2 \sin θ \\ Failed \end{array}$
3) Replacing $r$ with $- r$ changes the equation and fails the test. The graph may or may not be symmetric with respect to the pole.3) $r$ を $- r$ に置き換えると式が変わり、判定に落ちる。このグラフは極に関して対称かもしれないし対称でないかもしれない。	$\begin{array}{l} - r = 2 \sin θ \\ r = −2 \sin θ \neq 2 \sin θ \\ Failed \end{array}$

Analysis 考察

Using a graphing calculator, we can see that the equation $r = 2 \sin θ$ is a circle centered at $(0, 1)$ with radius $r = 1$ and is indeed symmetric to the line $θ = \frac{π}{2} .$ We can also see that the graph is not symmetric with the polar axis or the pole. See Figure 3.

グラフ電卓を使えば、式 $r = 2 \sin θ$ が $(0, 1)$ を中心とする半径 $r = 1$ の円であり、実際に直線 $θ = \frac{π}{2}$ に関して対称だと分かる。またこのグラフが極軸にも極にも関して対称でないことも分かる。図3を見よ。

Graph of the given circle on the polar coordinate grid. Center is at (0,1), and it has radius 1.

Try It #1やってみよう1

Test the equation for symmetry: $r = - 2 \cos θ .$

式 $r = - 2 \cos θ$ の対称性を調べよ。