第2章方程式と不等式Equations and Inequalities

Discovered by Benoit Mandelbrot around 1980, the Mandelbrot Set is one of the most recognizable fractal images. The image is built on the theory of self-similarity and the operation of iteration. Zooming in on a fractal image brings many surprises, particularly in the high level of repetition of detail that appears as magnification increases. The equation that generates this image turns out to be rather simple.

1980年ごろに Benoit Mandelbrot が見つけたマンデルブロ集合は、もっともよく知られたフラクタルの図の一つである。この図は自己相似の理論と、繰り返しという操作の上に成り立っている。フラクタルの図を拡大していくと驚きが次々に現れる。とりわけ、拡大するにつれて細部が高い度合いで繰り返される様子が目を引く。この図を生む方程式は、実のところかなり単純である。

In order to better understand it, we need to become familiar with a new set of numbers. Keep in mind that the study of mathematics continuously builds upon itself. Negative integers, for example, fill a void left by the set of positive integers. The set of rational numbers, in turn, fills a void left by the set of integers. The set of real numbers fills a void left by the set of rational numbers. Not surprisingly, the set of real numbers has voids as well. In this section, we will explore a set of numbers that fills voids in the set of real numbers and find out how to work within it.

それをよりよく理解するには、新しい数の集合に慣れる必要がある。数学の学びは、つねにそれまでの上に積み上がっていくことを心に留めておこう。たとえば負の整数は、正の整数の集合が残した空隙を埋める。有理数の集合は、今度は整数の集合が残した空隙を埋める。実数の集合は有理数の集合が残した空隙を埋める。当然ながら、実数の集合にもまた空隙がある。この節では、実数の集合の空隙を埋める数の集合を調べ、その中でどう計算するかを学ぶ。

We know how to find the square root of any positive real number. In a similar way, we can find the square root of any negative number. The difference is that the root is not real. If the value in the radicand is negative, the root is said to be an imaginary number. The imaginary number $i$ is defined as the square root of $\mathrm{-1.}$

正の実数の平方根の求め方は分かっている。同じようにして、どんな負の数の平方根も求められる。違うのは、その根が実数でないことである。根号の中身が負なら、その根は虚数であるという。虚数 $i$ は $\mathrm{-1.}$ の平方根として定義される。

So, using properties of radicals,

よって、根号の性質を使うと、

We can write the square root of any negative number as a multiple of $i.$ Consider the square root of $\mathrm{-49.}$

どんな負の数の平方根も $i$ の定数倍として書ける。$\mathrm{-49.}$ の平方根を考えよう。

We use $7i$ and not $\mathrm{-7}i$ because the principal root of $49$ is the positive root.

$\mathrm{-7}i$ ではなく $7i$ を使うのは、$49$ の正の根が正の方だからである。

A complex number is the sum of a real number and an imaginary number. A complex number is expressed in standard form when written $a+bi$ where $a$ is the real part and $b$ is the imaginary part. For example, $5+2i$ is a complex number. So, too, is $3+4i\sqrt{3}.$

複素数とは、実数と虚数の和である。複素数を $a+bi$ と書いたとき、これを標準形という。ここで $a$ が実部、$b$ が虚部である。たとえば $5+2i$ は複素数である。$3+4i\sqrt{3}$ も複素数である。

Imaginary numbers differ from real numbers in that a squared imaginary number produces a negative real number. Recall that when a positive real number is squared, the result is a positive real number and when a negative real number is squared, the result is also a positive real number. Complex numbers consist of real and imaginary numbers.

虚数が実数と違うのは、虚数を二乗すると負の実数になる点である。正の実数を二乗すれば正の実数になり、負の実数を二乗してもやはり正の実数になったことを思い出そう。複素数は実数と虚数からなる。

We cannot plot complex numbers on a number line as we might real numbers. However, we can still represent them graphically. To represent a complex number, we need to address the two components of the number. We use the complex plane, which is a coordinate system in which the horizontal axis represents the real component and the vertical axis represents the imaginary component. Complex numbers are the points on the plane, expressed as ordered pairs $(a,b),$ where $a$ represents the coordinate for the horizontal axis and $b$ represents the coordinate for the vertical axis.

実数のように数直線の上に複素数を打つことはできない。それでも図で表すことはできる。複素数を表すには、その数の二つの成分を扱う必要がある。そこで複素平面を使う。これは横の軸が実部を、縦の軸が虚部を表す座標系である。複素数はこの平面上の点であり、順序対 $(a,b)$ として表す。ここで $a$ が横の軸の座標、$b$ が縦の軸の座標である。

Let’s consider the number $\mathrm{-2}+3i.$ The real part of the complex number is $\mathrm{-2}$ and the imaginary part is 3. We plot the ordered pair $(\mathrm{-2},3)$ to represent the complex number $\mathrm{-2}+3i,$ as shown in Figure 2.

数 $\mathrm{-2}+3i$ を考えよう。この複素数の実部は $\mathrm{-2}$、虚部は3である。図2のように、複素数 $\mathrm{-2}+3i$ を表すために順序対 $(\mathrm{-2},3)$ を打つ。

Just as with real numbers, we can perform arithmetic operations on complex numbers. To add or subtract complex numbers, we combine the real parts and then combine the imaginary parts.

実数と同じように、複素数にも計算ができる。複素数を足し引きするには、実部どうしをまとめ、次に虚部どうしをまとめる。

Multiplying complex numbers is much like multiplying binomials. The major difference is that we work with the real and imaginary parts separately.

複素数の掛け算は、二項式どうしの掛け算とよく似ている。大きく違うのは、実部と虚部を別々に扱う点である。

Lets begin by multiplying a complex number by a real number. We distribute the real number just as we would with a binomial. Consider, for example, $3\left(6+2i\right)$ :

まず複素数と実数の掛け算から始めよう。二項式のときと同じように、実数を配る。たとえば $3\left(6+2i\right)$ を考えよう。

Now, let’s multiply two complex numbers. We can use either the distributive property or more specifically the FOIL method because we are dealing with binomials. Recall that FOIL is an acronym for multiplying First, Outer, Inner, and Last terms together. The difference with complex numbers is that when we get a squared term, $i^2,$ it equals $\mathrm{-1.}$

次は複素数どうしを掛けよう。扱っているのは二項式なので、分配法則を使ってもよいし、より具体的に FOIL 法を使ってもよい。FOIL が First、Outer、Inner、Last の項どうしを掛けることの頭字語だったのを思い出そう。複素数で違うのは、二乗の項 $i^2$ が出てきたとき、それが $\mathrm{-1.}$ に等しくなる点である。

Dividing two complex numbers is more complicated than adding, subtracting, or multiplying because we cannot divide by an imaginary number, meaning that any fraction must have a real-number denominator to write the answer in standard form $a+bi.$ We need to find a term by which we can multiply the numerator and the denominator that will eliminate the imaginary portion of the denominator so that we end up with a real number as the denominator. This term is called the complex conjugate of the denominator, which is found by changing the sign of the imaginary part of the complex number. In other words, the complex conjugate of $a+bi$ is $a-bi.$ For example, the product of $a+bi$ and $a-bi$ is

複素数どうしの割り算は、足し算・引き算・掛け算より込み入っている。虚数で割ることはできないからだ。つまり、答えを標準形 $a+bi$ で書くには、どの分数も分母が実数でなければならない。分子と分母に掛けることで分母の虚部を消し、分母が実数になるような項を見つける必要がある。この項を分母の共役複素数といい、複素数の虚部の符号を変えれば得られる。言い換えると、$a+bi$ の共役複素数は $a-bi$ である。たとえば $a+bi$ と $a-bi$ の積は次のようになる。

The result is a real number.

結果は実数である。

Note that complex conjugates have an opposite relationship: The complex conjugate of $a+bi$ is $a-bi,$ and the complex conjugate of $a-bi$ is $a+bi.$ Further, when a quadratic equation with real coefficients has complex solutions, the solutions are always complex conjugates of one another.

共役複素数は互いに相手の共役になっていることに注意せよ。$a+bi$ の共役複素数は $a-bi$ であり、$a-bi$ の共役複素数は $a+bi$ である。さらに、実数の係数を持つ二次方程式が複素数の解を持つとき、その解どうしはつねに互いに共役複素数である。

Suppose we want to divide $c+di$ by $a+bi,$ where neither $a$ nor $b$ equals zero. We first write the division as a fraction, then find the complex conjugate of the denominator, and multiply.

$c+di$ を $a+bi$ で割りたいとしよう。ここで $a$ も $b$ も0でないとする。まず割り算を分数として書き、次に分母の共役複素数を求めて掛ける。

Multiply the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator.

分子と分母に、分母の共役複素数を掛ける。

Apply the distributive property.

分配法則を使う。

Simplify, remembering that $i^2=\mathrm{-1.}$

$i^2=\mathrm{-1.}$ であることを忘れずに簡単にする。

The powers of $i$ are cyclic. Let’s look at what happens when we raise $i$ to increasing powers.

$i$ の累乗は循環する。$i$ の乗数を上げていくとどうなるか見てみよう。

We can see that when we get to the fifth power of $i,$ it is equal to the first power. As we continue to multiply $i$ by increasing powers, we will see a cycle of four. Let’s examine the next four powers of $i.$

$i$ の5乗が1乗に等しくなることが分かる。$i$ を掛けて乗数を上げ続けると、四つで一巡することが見えてくる。$i$ の次の四つの累乗を調べよう。

The cycle is repeated continuously: $i,\mathrm{-1},-i,1,$ every four powers.

$i,\mathrm{-1},-i,1$ という巡りが、四つの累乗ごとに何度も繰り返される。