第2章方程式と不等式Equations and Inequalities

2.2 Linear Equations in One Variable2.2 一元一次方程式

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Solve equations in one variable algebraically.• Solve a rational equation.• Find a linear equation.• Given the equations of two lines, determine whether their graphs are parallel or perpendicular.• Write the equation of a line parallel or perpendicular to a given line.

・一変数の方程式を式の上で解く。・分数方程式を解く。・一次方程式を求める。・二つの直線の方程式が与えられたとき、そのグラフが平行か垂直かを判定する。・与えられた直線に平行または垂直な直線の方程式を書く。

Caroline is a full-time college student planning a spring break vacation. To earn enough money for the trip, she has taken a part-time job at the local bank that pays $15.00/hr, and she opened a savings account with an initial deposit of $400 on January 15. She arranged for direct deposit of her payroll checks. If spring break begins March 20 and the trip will cost approximately $2,500, how many hours will she have to work to earn enough to pay for her vacation? If she can only work 4 hours per day, how many days per week will she have to work? How many weeks will it take? In this section, we will investigate problems like this and others, which generate graphs like the line in Figure 1.

Caroline は大学の正規の学生で、春休みの旅行を計画している。旅費を貯めるため、地元の銀行で時給15.00ドルのアルバイトを始め、1月15日に400ドルを最初に入れて貯金口座を開いた。給料は口座に直接振り込まれるようにしてある。春休みが3月20日から始まり、旅行にはおよそ2,500ドルかかるとすると、旅費をまかなうには何時間働かなければならないか。1日に4時間しか働けないとすると、週に何日働かなければならないか。何週かかるか。この節では、こうした問題や似た問題を調べる。これらは図1の直線のようなグラフを生む。

Coordinate plane where the x-axis ranges from 0 to 200 in intervals of 20 and the y-axis ranges from 0 to 3,000 in intervals of 500. The x-axis is labeled Hours Worked and the y-axis is labeled Savings Account Balance. A linear function is plotted with a y-intercept of 400 with a slope of 15. A dotted horizontal line extends from the point (0,2500).

Solving Linear Equations in One Variable一元一次方程式を解く

A linear equation is an equation of a straight line, written in one variable. The only power of the variable is 1. Linear equations in one variable may take the form $a x + b = 0$ and are solved using basic algebraic operations.

一次方程式とは、一つの変数で書かれた直線の方程式である。変数の乗数は1だけである。一元一次方程式は $a x + b = 0$ の形をとることがあり、基本の代数の計算で解ける。

We begin by classifying linear equations in one variable as one of three types: identity, conditional, or inconsistent. An identity equation is true for all values of the variable. Here is an example of an identity equation.

まず、一元一次方程式を恒等式・条件つきの方程式・矛盾する方程式の三つに分ける。恒等式は、変数がどんな値でも成り立つ。恒等式の例を挙げる。

3 x = 2 x + x

The solution set consists of all values that make the equation true. For this equation, the solution set is all real numbers because any real number substituted for $x$ will make the equation true.

解の集合は、その方程式を成り立たせる値すべてからなる。この方程式では、 $x$ にどんな実数を代入しても成り立つので、解の集合は実数全体である。

A conditional equation is true for only some values of the variable. For example, if we are to solve the equation $5 x + 2 = 3 x - 6,$ we have the following:

条件つきの方程式は、変数がある値のときだけ成り立つ。たとえば方程式 $5 x + 2 = 3 x - 6$ を解くと、次のようになる。

\begin{matrix} 5 x + 2 & = & 3 x - 6 \\ 2 x & = & −8 \\ x & = & −4 \end{matrix}

The solution set consists of one number: ${- 4} .$ It is the only solution and, therefore, we have solved a conditional equation.

解の集合は数一つ ${- 4}$ からなる。これが唯一の解であり、したがって条件つきの方程式を解いたことになる。

An inconsistent equation results in a false statement. For example, if we are to solve $5 x - 15 = 5 (x - 4),$ we have the following:

矛盾する方程式は偽の文になる。たとえば $5 x - 15 = 5 (x - 4)$ を解くと、次のようになる。

\begin{matrix} 5 x - 15 & = & 5 x - 20 \\ 5 x - 15 - 5 x & = & 5 x - 20 - 5 x & Subtract 5 x from both sides . \\ −15 & \neq & −20 & False statement \end{matrix}

Indeed, $−15 \neq −20.$ There is no solution because this is an inconsistent equation.

たしかに $−15 \neq −20.$ である。これは矛盾する方程式なので、解は無い。

Solving linear equations in one variable involves the fundamental properties of equality and basic algebraic operations. A brief review of those operations follows.

一元一次方程式を解くには、等式の基本の性質と基本の代数の計算を使う。以下にそれらの計算を簡単にまとめる。

Linear Equation in One Variable 一元一次方程式

A linear equation in one variable can be written in the form

一元一次方程式は、次の形に書ける。

a x + b = 0

where a and b are real numbers, $a \neq 0.$

ここで a と b は実数で、 $a \neq 0.$ とする。

How To 手順

Given a linear equation in one variable, use algebra to solve it.

一元一次方程式が与えられたとき、代数を使ってそれを解く。

The following steps are used to manipulate an equation and isolate the unknown variable, so that the last line reads $x =_________,$ if x is the unknown. There is no set order, as the steps used depend on what is given:

未知の変数が x なら、最後の行が $x =_________,$ となるように式を変形して変数を残す。そのために次の手順を使う。何が与えられているかによって使う手順が変わるので、決まった順序があるわけではない。

1. We may add, subtract, multiply, or divide an equation by a number or an expression as long as we do the same thing to both sides of the equal sign. Note that we cannot divide by zero.2. Apply the distributive property as needed: $a (b + c) = a b + a c .$ 3. Isolate the variable on one side of the equation.4. When the variable is multiplied by a coefficient in the final stage, multiply both sides of the equation by the reciprocal of the coefficient.

1. 等号の両側に同じことをする限り、方程式に数や式を足し、引き、掛け、割ってよい。ただし0で割ることはできない。2. 必要に応じて分配法則を使う。 $a (b + c) = a b + a c$ 3. 方程式の片側に変数だけを残す。4. 最後の段階で変数に係数が掛かっているときは、方程式の両辺にその係数の逆数を掛ける。

Example 1例1

Solving an Equation in One Variable一変数の方程式を解く

Solve the following equation: $2 x + 7 = 19.$

次の方程式を解け。 $2 x + 7 = 19.$

Solution 解答

This equation can be written in the form $a x + b = 0$ by subtracting $19$ from both sides. However, we may proceed to solve the equation in its original form by performing algebraic operations.

この方程式は、両辺から $19$ を引けば $a x + b = 0$ の形に書ける。しかし、もとの形のまま代数の計算をして解いてもよい。

\begin{matrix} 2 x + 7 & = & 19 \\ 2 x & = & 12 & Subtract 7 from both sides . \\ x & = & 6 & Multiply both sides by \frac{1}{2} or divide by 2 . \end{matrix}

The solution is 6.

解は6である。

Try It #1やってみよう1

Solve the linear equation in one variable: $2 x + 1 = −9.$

一元一次方程式 $2 x + 1 = −9.$ を解け。

Example 2例2

Solving an Equation Algebraically When the Variable Appears on Both Sides変数が両側に現れる方程式を式の上で解く

Solve the following equation: $4 (x −3) + 12 = 15 −5 (x + 6) .$

次の方程式を解け。 $4 (x −3) + 12 = 15 −5 (x + 6)$

Solution 解答

Apply standard algebraic properties.

代数の標準的な性質を使う。

\begin{matrix} 4 (x - 3) + 12 & = & 15 - 5 (x + 6) \\ 4 x - 12 + 12 & = & 15 - 5 x - 30 & Apply the distributive property . \\ 4 x & = & −15 - 5 x & Combine like terms . \\ 9 x & = & −15 & Place x -terms on one side and simplify . \\ x & = & - \frac{15}{9} & Multiply both sides by \frac{1}{9}, the reciprocal of 9 . \\ x & = & - \frac{5}{3} \end{matrix}

Analysis 考察

This problem requires the distributive property to be applied twice, and then the properties of algebra are used to reach the final line, $x = - \frac{5}{3} .$

この問題では分配法則を二度使う必要があり、そのうえで代数の性質を使って最後の行 $x = - \frac{5}{3}$ にたどり着く。

Try It #2やってみよう2

Solve the equation in one variable: $−2 (3 x - 1) + x = 14 - x .$

一変数の方程式 $−2 (3 x - 1) + x = 14 - x$ を解け。

Solving a Rational Equation分数方程式を解く

In this section, we look at rational equations that, after some manipulation, result in a linear equation. If an equation contains at least one rational expression, it is a considered a rational equation.

この節では、少し変形すると一次方程式になる分数方程式を見る。有理式が少なくとも一つ入っている方程式を、分数方程式とみなす。

Recall that a rational number is the ratio of two numbers, such as $\frac{2}{3}$ or $\frac{7}{2} .$ A rational expression is the ratio, or quotient, of two polynomials. Here are three examples.

有理数とは $\frac{2}{3}$ や $\frac{7}{2}$ のように二つの数の比であったのを思い出そう。有理式とは、二つの多項式の比、すなわち商である。例を三つ挙げる。

\frac{x + 1}{x^{2} - 4}, \frac{1}{x - 3}, or \frac{4}{x^{2} + x - 2}

Rational equations have a variable in the denominator in at least one of the terms. Our goal is to perform algebraic operations so that the variables appear in the numerator. In fact, we will eliminate all denominators by multiplying both sides of the equation by the least common denominator (LCD).

分数方程式では、少なくとも一つの項の分母に変数が入っている。目指すのは、変数が分子に来るように代数の計算をすることである。実際には、方程式の両辺に最小公分母(LCD)を掛けて分母をすべて消す。

Finding the LCD is identifying an expression that contains the highest power of all of the factors in all of the denominators. We do this because when the equation is multiplied by the LCD, the common factors in the LCD and in each denominator will equal one and will cancel out.

LCD を求めるとは、すべての分母に現れるすべての因数について、その最も高い乗数を含む式を見つけることである。こうするのは、方程式に LCD を掛けたとき、LCD と各分母に共通する因数が1になって消えるからである。

Example 3例3

Solving a Rational Equation分数方程式を解く

Solve the rational equation: $\frac{7}{2 x} - \frac{5}{3 x} = \frac{22}{3} .$

分数方程式 $\frac{7}{2 x} - \frac{5}{3 x} = \frac{22}{3}$ を解け。

Solution 解答

We have three denominators; $2 x, 3 x,$ and 3. The LCD must contain $2 x, 3 x,$ and 3. An LCD of $6 x$ contains all three denominators. In other words, each denominator can be divided evenly into the LCD. Next, multiply both sides of the equation by the LCD $6 x .$

分母は三つ、 $2 x, 3 x$ と3である。LCD は $2 x, 3 x$ と3を含まなければならない。 $6 x$ を LCD にとれば三つの分母すべてを含む。言い換えると、どの分母も LCD を割り切る。次に、方程式の両辺に LCD $6 x$ を掛ける。

\begin{matrix} (6 x) (\frac{7}{2 x} - \frac{5}{3 x}) & = & (\frac{22}{3}) (6 x) \\ (6 x) (\frac{7}{2 x}) - (6 x) (\frac{5}{3 x}) & = & (\frac{22}{3}) (6 x) & Use the distributive property . \\ (6 x) (\frac{7}{2 x}) - (6 x) (\frac{5}{3 x}) & = & (\frac{22}{3}) (6 x) & Cancel out the common factors . \\ 3 (7) - 2 (5) & = & 22 (2 x) & Multiply remaining factors by each numerator . \\ 21 - 10 & = & 44 x \\ 11 & = & 44 x \\ \frac{11}{44} & = & x \\ \frac{1}{4} & = & x \end{matrix}

A common mistake made when solving rational equations involves finding the LCD when one of the denominators is a binomial—two terms added or subtracted—such as $(x + 1) .$ Always consider a binomial as an individual factor—the terms cannot be separated. For example, suppose a problem has three terms and the denominators are $x,$ $x - 1,$ and $3 x - 3.$ First, factor all denominators. We then have $x,$ $(x - 1),$ and $3 (x - 1)$ as the denominators. (Note the parentheses placed around the second denominator.) Only the last two denominators have a common factor of $(x - 1) .$ The $x$ in the first denominator is separate from the $x$ in the $(x - 1)$ denominators. An effective way to remember this is to write factored and binomial denominators in parentheses, and consider each parentheses as a separate unit or a separate factor. The LCD in this instance is found by multiplying together the $x,$ one factor of $(x - 1),$ and the 3. Thus, the LCD is the following:

分数方程式を解くときによくある間違いは、分母の一つが $(x + 1)$ のような二項式——二つの項を足したり引いたりしたもの——である場合の LCD の求め方である。二項式はつねに一つの因数とみなすこと。項をばらしてはいけない。たとえば項が三つあり、分母が $x$ 、 $x - 1$ 、 $3 x - 3.$ の問題を考えよう。まずすべての分母を因数分解する。すると分母は $x$ 、 $(x - 1)$ 、 $3 (x - 1)$ になる(二つ目の分母に括弧が付いていることに注意せよ)。共通の因数 $(x - 1)$ を持つのは後ろの二つの分母だけである。一つ目の分母の $x$ は、 $(x - 1)$ という分母の中の $x$ とは別物である。これを覚えておくよい方法は、因数分解した分母や二項式の分母を括弧で囲み、それぞれの括弧を一つのかたまり、一つの因数とみなすことである。この場合の LCD は、 $x$ と $(x - 1)$ を1個と3を掛け合わせて求まる。よって LCD は次のようになる。

x (x - 1) 3 = 3 x (x - 1)

So, both sides of the equation would be multiplied by $3 x (x - 1) .$ Leave the LCD in factored form, as this makes it easier to see how each denominator in the problem cancels out.

つまり方程式の両辺に $3 x (x - 1)$ を掛けることになる。LCD は因数分解した形のままにしておこう。その方が、問題の各分母がどう消えるかを見やすい。

Another example is a problem with two denominators, such as $x$ and $x^{2} + 2 x .$ Once the second denominator is factored as $x^{2} + 2 x = x (x + 2),$ there is a common factor of x in both denominators and the LCD is $x (x + 2) .$

もう一つの例は、 $x$ と $x^{2} + 2 x$ のように分母が二つある問題である。二つ目の分母を $x^{2} + 2 x = x (x + 2)$ と因数分解すれば、両方の分母に共通の因数 x があるので、LCD は $x (x + 2)$ になる。

Sometimes we have a rational equation in the form of a proportion; that is, when one fraction equals another fraction and there are no other terms in the equation.

分数方程式が比例の形になっていることもある。つまり、一つの分数が別の分数に等しく、方程式にほかの項が無い場合である。

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

We can use another method of solving the equation without finding the LCD: cross-multiplication. We multiply terms by crossing over the equal sign.

このときは LCD を求めずに解く別の方法、たすき掛けが使える。等号をまたいで項どうしを掛ける。

This image demonstrates the cross-multiplication rule. If a/b equals c/d, then cross-multiplying the terms means that the product of 'a' and 'd' is equal to the product of 'b' and 'c' (ad = bc).

Multiply $a (d)$ and $b (c),$ which results in $a d = b c .$

$a (d)$ と $b (c)$ を掛けて $a d = b c$ を得る。

Any solution that makes a denominator in the original expression equal zero must be excluded from the possibilities.

もとの式の分母を0にしてしまう解は、候補から除かなければならない。

Rational Equations 分数方程式

A rational equation contains at least one rational expression where the variable appears in at least one of the denominators.

分数方程式には有理式が少なくとも一つあり、少なくとも一つの分母に変数が現れる。

How To 手順

Given a rational equation, solve it.

分数方程式が与えられたとき、それを解く。

1. Factor all denominators in the equation.2. Find and exclude values that set each denominator equal to zero.3. Find the LCD.4. Multiply the whole equation by the LCD. If the LCD is correct, there will be no denominators left.5. Solve the remaining equation.6. Make sure to check solutions back in the original equations to avoid a solution producing zero in a denominator.

1. 方程式のすべての分母を因数分解する。2. 各分母を0にする値を求め、除外する。3. LCD を求める。4. 方程式全体に LCD を掛ける。LCD が正しければ分母は残らない。5. 残った方程式を解く。6. 分母が0になる解を採らないよう、必ず解をもとの方程式に戻して確かめること。

Example 4例4

Solving a Rational Equation without Factoring因数分解せずに分数方程式を解く

Solve the following rational equation:

次の分数方程式を解け。

\frac{2}{x} - \frac{3}{2} = \frac{7}{2 x}

Solution 解答

We have three denominators: $x,$ $2,$ and $2 x .$ No factoring is required. The product of the first two denominators is equal to the third denominator, so, the LCD is $2 x .$ Only one value is excluded from a solution set, 0. Next, multiply the whole equation (both sides of the equal sign) by $2 x .$

分母は三つ、 $x$ 、 $2$ 、 $2 x$ である。因数分解は要らない。はじめの二つの分母の積が三つ目の分母に等しいので、LCD は $2 x$ である。解の集合から除外される値は0の一つだけである。次に、方程式全体(等号の両側)に $2 x$ を掛ける。

\begin{matrix} 2 x (\frac{2}{x} - \frac{3}{2}) & = & (\frac{7}{2 x}) 2 x \\ 2 x (\frac{2}{x}) - 2 x (\frac{3}{2}) & = & (\frac{7}{2 x}) 2 x & Distribute 2 x . \\ 2 (2) - 3 x & = & 7 & Denominators cancel out . \\ 4 - 3 x & = & 7 \\ −3 x & = & 3 \\ x & = & −1 \\ or {−1} \end{matrix}

The proposed solution is −1, which is not an excluded value, so the solution set contains one number, $−1,$ or ${−1}$ written in set notation.

出てきた解は −1、すなわちである。これは除外される値ではないので、解の集合は数一つ、 $−1$ すなわち集合の記号で書けば ${−1}$ からなる。

Try It #3やってみよう3

Solve the rational equation: $\frac{2}{3 x} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6 x} .$

分数方程式 $\frac{2}{3 x} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6 x}$ を解け。

Example 5例5

Solving a Rational Equation by Factoring the Denominator分母を因数分解して分数方程式を解く

Solve the following rational equation: $\frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{3}{4 x} .$

次の分数方程式を解け。 $\frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{3}{4 x}$

Solution 解答

First find the common denominator. The three denominators in factored form are $x, 10 = 2 \cdot 5,$ and $4 x = 2 \cdot 2 \cdot x .$ The smallest expression that is divisible by each one of the denominators is $20 x .$ Only $x = 0$ is an excluded value. Multiply the whole equation by $20 x .$

まず共通の分母を求める。三つの分母を因数分解すると $x, 10 = 2 \cdot 5$ と $4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$ である。どの分母でも割り切れる最小の式は $20 x$ である。除外される値は $x = 0$ だけである。方程式全体に $20 x$ を掛ける。

\begin{matrix} 20 x (\frac{1}{x}) & = & (\frac{1}{10} - \frac{3}{4 x}) 20 x \\ 20 & = & 2 x - 15 \\ 35 & = & 2 x \\ \frac{35}{2} & = & x \end{matrix}

The solution is $\frac{35}{2} .$

解は $\frac{35}{2}$ である。

Try It #4やってみよう4

Solve the rational equation: $- \frac{5}{2 x} + \frac{3}{4 x} = - \frac{7}{4} .$

分数方程式 $- \frac{5}{2 x} + \frac{3}{4 x} = - \frac{7}{4}$ を解け。

Example 6例6

Solving Rational Equations with a Binomial in the Denominator分母に二項式がある分数方程式を解く

Solve the following rational equations and state the excluded values:

次の分数方程式を解き、除外される値を述べよ。

ⓐ $\frac{3}{x - 6} = \frac{5}{x}$ ⓑ $\frac{x}{x - 3} = \frac{5}{x - 3} - \frac{1}{2}$ ⓒ $\frac{x}{x - 2} = \frac{5}{x - 2} - \frac{1}{2}$

Solution 解答

ⓐThe denominators $x$ and $x - 6$ have nothing in common. Therefore, the LCD is the product $x (x - 6) .$ However, for this problem, we can cross-multiply. $\begin{matrix} \frac{3}{x - 6} & = & \frac{5}{x} \\ 3 x & = & 5 (x - 6) & Distribute . \\ 3 x & = & 5 x - 30 \\ −2 x & = & −30 \\ x & = & 15 \end{matrix}$ The solution is 15. The excluded values are $6$ and $0.$ ⓑThe LCD is $2 (x - 3) .$ Multiply both sides of the equation by $2 (x - 3) .$ $\begin{matrix} 2 (x - 3) (\frac{x}{x - 3}) & = & (\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{2}) 2 (x - 3) \\ \frac{2 (x - 3) x}{x - 3} & = & \frac{2 (x - 3) 5}{x - 3} - \frac{2 (x - 3)}{2} \\ 2 x & = & 10 - (x - 3) \\ 2 x & = & 10 - x + 3 \\ 2 x & = & 13 - x \\ 3 x & = & 13 \\ x & = & \frac{13}{3} \end{matrix}$ The solution is $\frac{13}{3} .$ The excluded value is $3.$ ⓒThe least common denominator is $2 (x - 2) .$ Multiply both sides of the equation by $2 (x - 2) .$ $\begin{matrix} 2 (x - 2) (\frac{x}{x - 2}) & = & (\frac{5}{x - 2} - \frac{1}{2}) 2 (x - 2) \\ 2 x & = & 10 - (x - 2) \\ 2 x & = & 12 - x \\ 3 x & = & 12 \\ x & = & 4 \end{matrix}$ The solution is 4. The excluded value is $2.$

ⓐ分母 $x$ と $x - 6$ には共通するものが無い。よって LCD は積 $x (x - 6)$ である。ただしこの問題ではたすき掛けが使える。 $\begin{matrix} \frac{3}{x - 6} & = & \frac{5}{x} \\ 3 x & = & 5 (x - 6) & 分配法則を使う . \\ 3 x & = & 5 x - 30 \\ −2 x & = & −30 \\ x & = & 15 \end{matrix}$ 解は15である。除外される値は $6$ と $0.$ である。ⓑLCD は $2 (x - 3)$ である。方程式の両辺に $2 (x - 3)$ を掛ける。 $\begin{matrix} 2 (x - 3) (\frac{x}{x - 3}) & = & (\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{2}) 2 (x - 3) \\ \frac{2 (x - 3) x}{x - 3} & = & \frac{2 (x - 3) 5}{x - 3} - \frac{2 (x - 3)}{2} \\ 2 x & = & 10 - (x - 3) \\ 2 x & = & 10 - x + 3 \\ 2 x & = & 13 - x \\ 3 x & = & 13 \\ x & = & \frac{13}{3} \end{matrix}$ 解は $\frac{13}{3}$ である。除外される値は $3.$ である。ⓒ最小公分母は $2 (x - 2)$ である。方程式の両辺に $2 (x - 2)$ を掛ける。 $\begin{matrix} 2 (x - 2) (\frac{x}{x - 2}) & = & (\frac{5}{x - 2} - \frac{1}{2}) 2 (x - 2) \\ 2 x & = & 10 - (x - 2) \\ 2 x & = & 12 - x \\ 3 x & = & 12 \\ x & = & 4 \end{matrix}$ 解は4である。除外される値は $2.$ である。

Try It #5やってみよう5

Solve $\frac{- 3}{2 x + 1} = \frac{4}{3 x + 1} .$ State the excluded values.

$\frac{- 3}{2 x + 1} = \frac{4}{3 x + 1}$ を解け。除外される値を述べよ。

Example 7例7

Solving a Rational Equation with Factored Denominators and Stating Excluded Values分母を因数分解して分数方程式を解き、除外される値を述べる

Solve the rational equation after factoring the denominators: $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2 x}{x^{2} - 1} .$ State the excluded values.

分母を因数分解したうえで分数方程式 $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ を解け。除外される値を述べよ。

Solution 解答

We must factor the denominator $x^{2} −1.$ We recognize this as the difference of squares, and factor it as $(x - 1) (x + 1) .$ Thus, the LCD that contains each denominator is $(x - 1) (x + 1) .$ Multiply the whole equation by the LCD, cancel out the denominators, and solve the remaining equation.

分母 $x^{2} −1.$ を因数分解しなければならない。これは平方の差だと見抜けるので、 $(x - 1) (x + 1)$ と因数分解する。よって各分母を含む LCD は $(x - 1) (x + 1)$ である。方程式全体に LCD を掛け、分母を消し、残った方程式を解く。

\begin{matrix} (x - 1) (x + 1) (\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}) & = & (\frac{2 x}{(x - 1) (x + 1)}) (x - 1) (x + 1) \\ 2 (x - 1) - 1 (x + 1) & = & 2 x \\ 2 x - 2 - x - 1 & = & 2 x Distribute the negative sign . \\ −3 - x & = & 0 \\ −3 & = & x \end{matrix}

The solution is $−3.$ The excluded values are $1$ and $−1.$

解は $−3.$ である。除外される値は $1$ と $−1.$ である。

Try It #6やってみよう6

Solve the rational equation: $\frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x^{2} - x - 2} .$

分数方程式 $\frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x^{2} - x - 2}$ を解け。

Finding a Linear Equation一次方程式を求める

Perhaps the most familiar form of a linear equation is the slope-intercept form, written as $y = m x + b,$ where $m = slope$ and $b = y -intercept .$ Let us begin with the slope.

一次方程式のもっともなじみ深い形は、 $y = m x + b$ と書かれる傾き切片形だろう。ここで $m = 傾き$ 、 $b = y -intercept$ である。まず傾きから始めよう。

The Slope of a Line直線の傾き

The slope of a line refers to the ratio of the vertical change in y over the horizontal change in x between any two points on a line. It indicates the direction in which a line slants as well as its steepness. Slope is sometimes described as rise over run.

直線の傾きとは、その直線上のどの二点をとっても等しい、y の縦の変化と x の横の変化の比のことである。直線がどちらへ傾いているかと、どれだけ急かを示す。傾きは「上がりを進みで割ったもの」と言い表されることもある。

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

If the slope is positive, the line slants upward to the right. If the slope is negative, the line slants downward to the right. As the absolute value of the slope increases, the line becomes steeper. Some examples are shown in Figure 2. The lines indicate the following slopes: $m = −3,$ $m = 2,$ and $m = \frac{1}{3} .$

傾きが正なら、直線は右へ上がる。傾きが負なら、直線は右へ下がる。傾きの絶対値が大きくなるほど、直線は急になる。例を図2に示す。それぞれの直線の傾きは $m = −3$ 、 $m = 2$ 、 $m = \frac{1}{3}$ である。

Coordinate plane with the x and y axes ranging from negative 10 to 10. Three linear functions are plotted: y = negative 3 times x minus 2; y = 2 times x plus 1; and y = x over 3 plus 2.

The Slope of a Line 直線の傾き

The slope of a line, m, represents the change in y over the change in x. Given two points, $(x_{1}, y_{1})$ and $(x_{2}, y_{2}),$ the following formula determines the slope of a line containing these points:

直線の傾き m は、x の変化に対する y の変化を表す。二点 $(x_{1}, y_{1})$ と $(x_{2}, y_{2})$ が与えられたとき、この二点を通る直線の傾きは次の公式で決まる。

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Example 8例8

Finding the Slope of a Line Given Two Points二点が与えられたとき直線の傾きを求める

Find the slope of a line that passes through the points $(2, −1)$ and $(−5, 3) .$

点 $(2, −1)$ と $(−5, 3)$ を通る直線の傾きを求めよ。

Solution 解答

We substitute the y-values and the x-values into the formula.

y の値と x の値を公式に代入する。

\begin{matrix} m & = & \frac{3 - (−1)}{−5 - 2} \\ = & \frac{4}{−7} \\ = & - \frac{4}{7} \end{matrix}

The slope is $- \frac{4}{7} .$

傾きは $- \frac{4}{7}$ である。

Analysis 考察

It does not matter which point is called $(x_{1}, y_{1})$ or $(x_{2}, y_{2}) .$ As long as we are consistent with the order of the y terms and the order of the x terms in the numerator and denominator, the calculation will yield the same result.

どちらの点を $(x_{1}, y_{1})$ と呼び、どちらを $(x_{2}, y_{2})$ と呼ぶかは関係ない。分子の y の項の順序と分母の x の項の順序さえそろえておけば、計算結果は同じになる。

Try It #7やってみよう7

Find the slope of the line that passes through the points $(−2, 6)$ and $(1, 4) .$

点 $(−2, 6)$ と $(1, 4)$ を通る直線の傾きを求めよ。

Example 9例9

Identifying the Slope and y-intercept of a Line Given an Equation方程式が与えられたとき、直線の傾きと y切片を見分ける

Identify the slope and y-intercept, given the equation $y = - \frac{3}{4} x - 4.$

方程式 $y = - \frac{3}{4} x - 4.$ が与えられたとき、傾きと y切片を答えよ。

Solution 解答

As the line is in $y = m x + b$ form, the given line has a slope of $m = - \frac{3}{4} .$ The y-intercept is $b = −4.$

この直線は $y = m x + b$ の形なので、傾きは $m = - \frac{3}{4}$ である。y切片は $b = −4.$ である。

Analysis 考察

The y-intercept is the point at which the line crosses the y-axis. On the y-axis, $x = 0.$ We can always identify the y-intercept when the line is in slope-intercept form, as it will always equal b. Or, just substitute $x = 0$ and solve for y.

y切片とは、直線が y軸と交わる点である。y軸上では $x = 0.$ である。直線が傾き切片形になっていれば、y切片はつねに b に等しいので、すぐに見分けられる。あるいは $x = 0$ を代入して y について解けばよい。

The Point-Slope Formula点傾き形の公式

Given the slope and one point on a line, we can find the equation of the line using the point-slope formula.

傾きと直線上の一点が与えられれば、点傾き形の公式でその直線の方程式を求められる。

y - y_{1} = m (x - x_{1})

This is an important formula, as it will be used in other areas of college algebra and often in calculus to find the equation of a tangent line. We need only one point and the slope of the line to use the formula. After substituting the slope and the coordinates of one point into the formula, we simplify it and write it in slope-intercept form.

これは大事な公式である。大学の代数のほかの分野でも使うし、微積分では接線の方程式を求めるのによく使う。この公式を使うには、点が一つと直線の傾きだけあればよい。傾きと一点の座標を公式に代入したら、それを簡単にして傾き切片形で書く。

The Point-Slope Formula 1点と傾きによる直線の方程式

Given one point and the slope, the point-slope formula will lead to the equation of a line:

一点と傾きが与えられたとき、点傾き形の公式から直線の方程式が導かれる。

y - y_{1} = m (x - x_{1})

Example 10例10

Finding the Equation of a Line Given the Slope and One Point傾きと一点が与えられたとき、直線の方程式を求める

Write the equation of the line with slope $m = −3$ and passing through the point $(4, 8) .$ Write the final equation in slope-intercept form.

傾きが $m = −3$ で点 $(4, 8)$ を通る直線の方程式を書け。最後の方程式は傾き切片形で書け。

Solution 解答

Using the point-slope formula, substitute $−3$ for m and the point $(4, 8)$ for $(x_{1}, y_{1}) .$

点傾き形の公式を使い、m に $−3$ を、 $(x_{1}, y_{1})$ に点 $(4, 8)$ を代入する。

\begin{matrix} y - y_{1} & = & m (x - x_{1}) \\ y - 8 & = & −3 (x - 4) \\ y - 8 & = & −3 x + 12 \\ y & = & −3 x + 20 \end{matrix}

Analysis 考察

Note that any point on the line can be used to find the equation. If done correctly, the same final equation will be obtained.

方程式を求めるのに、直線上のどの点を使ってもよいことに注意せよ。正しくやれば、最後は同じ方程式になる。

Try It #8やってみよう8

Given $m = 4,$ find the equation of the line in slope-intercept form passing through the point $(2, 5) .$

$m = 4$ が与えられたとき、点 $(2, 5)$ を通る直線の方程式を傾き切片形で求めよ。

Example 11例11

Finding the Equation of a Line Passing Through Two Given Points与えられた二点を通る直線の方程式を求める

Find the equation of the line passing through the points $(3, 4)$ and $(0, −3) .$ Write the final equation in slope-intercept form.

点 $(3, 4)$ と $(0, −3)$ を通る直線の方程式を求めよ。最後の方程式は傾き切片形で書け。

Solution 解答

First, we calculate the slope using the slope formula and two points.

まず、傾きの公式と二点を使って傾きを計算する。

\begin{matrix} m & = & \frac{−3 - 4}{0 - 3} \\ = & \frac{- 7}{- 3} \\ = & \frac{7}{3} \end{matrix}

Next, we use the point-slope formula with the slope of $\frac{7}{3},$ and either point. Let’s pick the point $(3, 4)$ for $(x_{1}, y_{1}) .$

次に、傾き $\frac{7}{3}$ とどちらか一方の点を使って点傾き形の公式を使う。ここでは $(x_{1}, y_{1})$ に点 $(3, 4)$ を選ぼう。

\begin{matrix} y - 4 & = & \frac{7}{3} (x - 3) \\ y - 4 & = & \frac{7}{3} x - 7 Distribute the \frac{7}{3} . \\ y & = & \frac{7}{3} x - 3 \end{matrix}

In slope-intercept form, the equation is written as $y = \frac{7}{3} x - 3.$

傾き切片形で書くと、方程式は $y = \frac{7}{3} x - 3.$ となる。

Analysis 考察

To prove that either point can be used, let us use the second point $(0, −3)$ and see if we get the same equation.

どちらの点を使ってもよいことを示すため、二つ目の点 $(0, −3)$ を使って同じ方程式になるか見てみよう。

\begin{matrix} y - (- 3) & = & \frac{7}{3} (x - 0) \\ y + 3 & = & \frac{7}{3} x \\ y & = & \frac{7}{3} x - 3 \end{matrix}

We see that the same line will be obtained using either point. This makes sense because we used both points to calculate the slope.

どちらの点を使っても同じ直線が得られることが分かる。傾きを計算するのに両方の点を使ったのだから、これは当然である。

Standard Form of a Line直線の標準形

Another way that we can represent the equation of a line is in standard form. Standard form is given as

直線の方程式を表すもう一つの方法が標準形である。標準形は次で与えられる。

A x + B y = C

where $A,$ $B,$ and $C$ are integers. The x- and y-terms are on one side of the equal sign and the constant term is on the other side.

ここで $A$ 、 $B$ 、 $C$ は整数である。x の項と y の項が等号の片側にあり、定数項がもう一方の側にある。

Example 12例12

Finding the Equation of a Line and Writing It in Standard Form直線の方程式を求めて標準形で書く

Find the equation of the line with $m = −6$ and passing through the point $(\frac{1}{4}, −2) .$ Write the equation in standard form.

$m = −6$ で点 $(\frac{1}{4}, −2)$ を通る直線の方程式を求めよ。方程式は標準形で書け。

Solution 解答

We begin using the point-slope formula.

まず点傾き形の公式を使う。

\begin{matrix} y - (−2) & = & −6 (x - \frac{1}{4}) \\ y + 2 & = & −6 x + \frac{3}{2} \end{matrix}

From here, we multiply through by 2, as no fractions are permitted in standard form, and then move both variables to the left aside of the equal sign and move the constants to the right.

ここから、標準形に分数は許されないので全体に2を掛け、そのうえで変数を等号の左へ、定数を右へ移す。

\begin{matrix} 2 (y + 2) & = & (−6 x + \frac{3}{2}) 2 \\ 2 y + 4 & = & −12 x + 3 \\ 12 x + 2 y & = & −1 \end{matrix}

This equation is now written in standard form.

これでこの方程式は標準形で書けた。

Try It #9やってみよう9

Find the equation of the line in standard form with slope $m = - \frac{1}{3}$ and passing through the point $(1, \frac{1}{3}) .$

傾きが $m = - \frac{1}{3}$ で点 $(1, \frac{1}{3})$ を通る直線の方程式を、標準形で求めよ。

Vertical and Horizontal Lines縦の直線と横の直線

The equations of vertical and horizontal lines do not require any of the preceding formulas, although we can use the formulas to prove that the equations are correct. The equation of a vertical line is given as

縦の直線と横の直線の方程式には、これまでの公式はどれも要らない。もっとも、公式を使って方程式が正しいことを示すことはできる。縦の直線の方程式は次で与えられる。

x = c

where c is a constant. The slope of a vertical line is undefined, and regardless of the y-value of any point on the line, the x-coordinate of the point will be c.

ここで c は定数である。縦の直線の傾きは定義されない。直線上のどの点の y の値がいくつであっても、その点の x座標は c になる。

Suppose that we want to find the equation of a line containing the following points: $(−3, −5), (−3, 1), (−3, 3),$ and $(−3, 5) .$ First, we will find the slope.

次の点を通る直線の方程式を求めたいとしよう。 $(−3, −5), (−3, 1), (−3, 3)$ と $(−3, 5)$ である。まず傾きを求める。

m = \frac{5 - 3}{- 3 - (−3)} = \frac{2}{0}

Zero in the denominator means that the slope is undefined and, therefore, we cannot use the point-slope formula. However, we can plot the points. Notice that all of the x-coordinates are the same and we find a vertical line through $x = −3.$ See Figure 3.

分母が0になるということは傾きが定義されないということであり、よって点傾き形の公式は使えない。しかし点を打つことはできる。x座標がすべて同じであることに注意すると、 $x = −3.$ を通る縦の直線だと分かる。図3を見よ。

The equation of a horizontal line is given as

横の直線の方程式は次で与えられる。

y = c

where c is a constant. The slope of a horizontal line is zero, and for any x-value of a point on the line, the y-coordinate will be c.

ここで c は定数である。横の直線の傾きは0であり、直線上の点の x の値がいくつであっても、y座標は c になる。

Suppose we want to find the equation of a line that contains the following set of points: $(−2, −2), (0, −2), (3, −2),$ and $(5, −2) .$ We can use the point-slope formula. First, we find the slope using any two points on the line.

次の点の組を通る直線の方程式を求めたいとしよう。 $(−2, −2), (0, −2), (3, −2)$ と $(5, −2)$ である。点傾き形の公式が使える。まず、直線上のどれか二点を使って傾きを求める。

\begin{matrix} m & = & \frac{−2 - (−2)}{0 - (−2)} \\ = & \frac{0}{2} \\ = & 0 \end{matrix}

Use any point for $(x_{1}, y_{1})$ in the formula, or use the y-intercept.

公式の $(x_{1}, y_{1})$ にはどの点を使ってもよいし、y切片を使ってもよい。

\begin{matrix} y - (−2) & = & 0 (x - 3) \\ y + 2 & = & 0 \\ y & = & −2 \end{matrix}

The graph is a horizontal line through $y = −2.$ Notice that all of the y-coordinates are the same. See Figure 3.

グラフは $y = −2.$ を通る横の直線である。y座標がすべて同じであることに注意せよ。図3を見よ。

Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 7 to 4 and the y-axis ranging from negative 4 to 4. The function y = negative 2 and the line x = negative 3 are plotted. — Figure 3 The line x = −3 is a vertical line. The line y = −2 is a horizontal line.図3 直線 x = −3 は縦の直線である。直線 y = −2 は横の直線である。

Example 13例13

Finding the Equation of a Line Passing Through the Given Points与えられた点を通る直線の方程式を求める

Find the equation of the line passing through the given points: $(1, −3)$ and $(1, 4) .$

与えられた点 $(1, −3)$ と $(1, 4)$ を通る直線の方程式を求めよ。

Solution 解答

The x-coordinate of both points is 1. Therefore, we have a vertical line, $x = 1.$

どちらの点も x座標が1である。よってこれは縦の直線 $x = 1.$ である。

Try It #10やってみよう10

Find the equation of the line passing through $(−5, 2)$ and $(2, 2) .$

$(−5, 2)$ と $(2, 2)$ を通る直線の方程式を求めよ。

Determining Whether Graphs of Lines are Parallel or Perpendicular直線のグラフが平行か垂直かを判定する

Parallel lines have the same slope and different y-intercepts. Lines that are parallel to each other will never intersect. For example, Figure 4 shows the graphs of various lines with the same slope, $m = 2.$

平行な直線どうしは、傾きが同じで y切片が違う。互いに平行な直線は決して交わらない。たとえば図4に、傾きが同じ $m = 2.$ である何本かの直線のグラフを示す。

Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 8 to 8 in intervals of 2 and the y-axis ranging from negative 7 to 7. Three functions are graphed on the same plot: y = 2 times x minus 3; y = 2 times x plus 1 and y = 2 times x plus 5. — Figure 4 Parallel lines図4 平行な直線

All of the lines shown in the graph are parallel because they have the same slope and different y-intercepts.

グラフに示した直線はすべて平行である。傾きが同じで y切片が違うからである。

Lines that are perpendicular intersect to form a $90°$ -angle. The slope of one line is the negative reciprocal of the other. We can show that two lines are perpendicular if the product of the two slopes is $−1 : m_{1} \cdot m_{2} = −1.$ For example, Figure 5 shows the graph of two perpendicular lines. One line has a slope of 3; the other line has a slope of $- \frac{1}{3} .$

垂直な直線どうしは、交わって $90°$ の角をつくる。一方の直線の傾きは、他方の傾きの逆数の符号を変えたものになる。二つの傾きの積が $−1 : m_{1} \cdot m_{2} = −1.$ なら、その二直線は垂直だと示せる。たとえば図5に、垂直な二直線のグラフを示す。一方の直線の傾きは3、もう一方の傾きは $- \frac{1}{3}$ である。

\begin{matrix} m_{1} \cdot m_{2} & = & −1 \\ 3 \cdot (- \frac{1}{3}) & = & −1 \end{matrix}

Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 3 to 6 and the y-axis ranging from negative 2 to 5. Two functions are graphed on the same plot: y = 3 times x minus 1 and y = negative x/3 minus 2. Their intersection is marked by a box to show that it is a right angle. — Figure 5 Perpendicular lines図5 垂直な直線

Example 14例14

Graphing Two Equations, and Determining Whether the Lines are Parallel, Perpendicular, or Neither二つの方程式のグラフを描き、直線が平行か垂直かどちらでもないかを判定する

Graph the equations of the given lines, and state whether they are parallel, perpendicular, or neither: $3 y = - 4 x + 3$ and $3 x - 4 y = 8.$

与えられた直線 $3 y = - 4 x + 3$ と $3 x - 4 y = 8.$ のグラフを描き、平行か垂直かどちらでもないかを述べよ。

Solution 解答

The first thing we want to do is rewrite the equations so that both equations are in slope-intercept form.

まずすべきは、どちらの方程式も傾き切片形になるように書き直すことである。

First equation:

一つ目の方程式:

\begin{matrix} 3 y & = & −4 x + 3 \\ y & = & - \frac{4}{3} x + 1 \end{matrix}

Second equation:

二つ目の方程式:

\begin{matrix} 3 x - 4 y & = & 8 \\ −4 y & = & −3 x + 8 \\ y & = & \frac{3}{4} x - 2 \end{matrix}

See the graph of both lines in Figure 6

両方の直線のグラフを図6に示す。

Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 4 to 5 and the y-axis ranging from negative 4 to 4. Two functions are graphed on the same plot: y = negative 4 times x/3 plus 1 and y = 3 times x/4 minus 2. A box is placed at the intersection to note that it forms a right angle.

From the graph, we can see that the lines appear perpendicular, but we must compare the slopes.

グラフからは直線が垂直に見えるが、傾きを比べなければならない。

\begin{matrix} m_{1} & = & - \frac{4}{3} \\ m_{2} & = & \frac{3}{4} \\ m_{1} \cdot m_{2} & = & (- \frac{4}{3}) (\frac{3}{4}) = −1 \end{matrix}

The slopes are negative reciprocals of each other, confirming that the lines are perpendicular.

傾きは互いに逆数の符号を変えたものになっており、二直線が垂直であることが確かめられる。

Try It #11やってみよう11

Graph the two lines and determine whether they are parallel, perpendicular, or neither: $2 y - x = 10$ and $2 y = x + 4.$

二つの直線 $2 y - x = 10$ と $2 y = x + 4.$ のグラフを描き、平行か垂直かどちらでもないかを判定せよ。

Writing the Equations of Lines Parallel or Perpendicular to a Given Line与えられた直線に平行または垂直な直線の方程式を書く

As we have learned, determining whether two lines are parallel or perpendicular is a matter of finding the slopes. To write the equation of a line parallel or perpendicular to another line, we follow the same principles as we do for finding the equation of any line. After finding the slope, use the point-slope formula to write the equation of the new line.

学んだとおり、二直線が平行か垂直かを判定するのは傾きを求めることに尽きる。ある直線に平行または垂直な直線の方程式を書くときも、どんな直線の方程式を求めるときと同じ原理に従う。傾きを求めたら、点傾き形の公式で新しい直線の方程式を書く。

How To 手順

Given an equation for a line, write the equation of a line parallel or perpendicular to it.

ある直線の方程式が与えられたとき、それに平行または垂直な直線の方程式を書く。

1. Find the slope of the given line. The easiest way to do this is to write the equation in slope-intercept form.2. Use the slope and the given point with the point-slope formula.3. Simplify the line to slope-intercept form and compare the equation to the given line.

1. 与えられた直線の傾きを求める。いちばん楽なのは、方程式を傾き切片形で書くことである。2. その傾きと与えられた点を、点傾き形の公式に使う。3. 直線を傾き切片形に直し、与えられた直線の方程式と比べる。

Example 15例15

Writing the Equation of a Line Parallel to a Given Line Passing Through a Given Point与えられた直線に平行で、与えられた点を通る直線の方程式を書く

Write the equation of line parallel to a $5 x + 3 y = 1$ and passing through the point $(3, 5) .$

$5 x + 3 y = 1$ に平行で、点 $(3, 5)$ を通る直線の方程式を書け。

Solution 解答

First, we will write the equation in slope-intercept form to find the slope.

まず、傾きを求めるために方程式を傾き切片形で書く。

\begin{matrix} 5 x + 3 y & = & 1 \\ 3 y & = & –5 x + 1 \\ y & = & - \frac{5}{3} x + \frac{1}{3} \end{matrix}

The slope is $m = - \frac{5}{3} .$ The y-intercept is $\frac{1}{3},$ but that really does not enter into our problem, as the only thing we need for two lines to be parallel is the same slope. The one exception is that if the y-intercepts are the same, then the two lines are the same line. The next step is to use this slope and the given point with the point-slope formula.

傾きは $m = - \frac{5}{3}$ である。y切片は $\frac{1}{3}$ だが、これはこの問題には関わってこない。二直線が平行であるために必要なのは傾きが同じであることだけだからである。ただし一つだけ例外があり、y切片まで同じなら二直線は同じ直線になる。次の段階は、この傾きと与えられた点を点傾き形の公式に使うことである。

\begin{matrix} y - 5 & = & - \frac{5}{3} (x - 3) \\ y - 5 & = & - \frac{5}{3} x + 5 \\ y & = & - \frac{5}{3} x + 10 \end{matrix}

The equation of the line is $y = - \frac{5}{3} x + 10.$ See Figure 7.

直線の方程式は $y = - \frac{5}{3} x + 10.$ である。図7を見よ。

Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 8 to 8 in intervals of 2 and the y-axis ranging from negative 2 to 12 in intervals of 2. Two functions are graphed on the same plot: y = negative 5 times x/3 plus 1/3 and y = negative 5 times x/3 plus 10. The lines do not cross.

Try It #12やってみよう12

Find the equation of the line parallel to $5 x = 7 + y$ and passing through the point $(−1, −2) .$

$5 x = 7 + y$ に平行で、点 $(−1, −2)$ を通る直線の方程式を求めよ。

Example 16例16

Finding the Equation of a Line Perpendicular to a Given Line Passing Through a Given Point与えられた直線に垂直で、与えられた点を通る直線の方程式を求める

Find the equation of the line perpendicular to $5 x - 3 y + 4 = 0$ and passing through the point $(- 4, 1) .$

$5 x - 3 y + 4 = 0$ に垂直で、点 $(- 4, 1)$ を通る直線の方程式を求めよ。

Solution 解答

The first step is to write the equation in slope-intercept form.

最初の段階は、方程式を傾き切片形で書くことである。

\begin{matrix} 5 x - 3 y + 4 & = & 0 \\ −3 y & = & −5 x - 4 \\ y & = & \frac{5}{3} x + \frac{4}{3} \end{matrix}

We see that the slope is $m = \frac{5}{3} .$ This means that the slope of the line perpendicular to the given line is the negative reciprocal, or $- \frac{3}{5} .$ Next, we use the point-slope formula with this new slope and the given point.

傾きが $m = \frac{5}{3}$ であることが分かる。つまり、この直線に垂直な直線の傾きは、その逆数の符号を変えたもの $- \frac{3}{5}$ である。次に、この新しい傾きと与えられた点を点傾き形の公式に使う。

\begin{matrix} y - 1 & = & - \frac{3}{5} (x - (−4)) \\ y - 1 & = & - \frac{3}{5} x - \frac{12}{5} \\ y & = & - \frac{3}{5} x - \frac{12}{5} + \frac{5}{5} \\ y & = & - \frac{3}{5} x - \frac{7}{5} \end{matrix}

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with linear equations.

一次方程式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Solving rational equations• Equation of a line given two points• Finding the equation of a line perpendicular to another line through a given point• Finding the equation of a line parallel to another line through a given point

・分数方程式を解く・二点が与えられたときの直線の方程式・ある直線に垂直で、与えられた点を通る直線の方程式を求める・ある直線に平行で、与えられた点を通る直線の方程式を求める

Verbal言葉で答える問題

1. What does it mean when we say that two lines are parallel?

1. 二直線が平行であるとは、どういうことか。

2. What is the relationship between the slopes of perpendicular lines (assuming neither is horizontal nor vertical)?

2. 垂直な二直線の傾きのあいだには、どんな関係があるか(どちらも横でも縦でもないとする)。

3. How do we recognize when an equation, for example $y = 4 x + 3,$ will be a straight line (linear) when graphed?

3. たとえば $y = 4 x + 3$ のような方程式が、グラフにすると直線(一次)になると、どうすれば見分けられるか。

4. What does it mean when we say that a linear equation is inconsistent?

4. 一次方程式が矛盾しているとは、どういうことか。

5. When solving the following equation:

5. 次の方程式を解くとき、

$\frac{2}{x - 5} = \frac{4}{x + 1}$

explain why we must exclude $x = 5$ and $x = −1$ as possible solutions from the solution set.

$x = 5$ と $x = −1$ を解の候補から除かなければならない理由を説明せよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, solve the equation for $x .$

次の各問について、方程式を $x$ について解け。

6. $7 x + 2 = 3 x - 9$

7. $4 x - 3 = 5$

8. $3 (x + 2) - 12 = 5 (x + 1)$

9. $12 - 5 (x + 3) = 2 x - 5$

10. $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} x = \frac{4}{3}$

11. $\frac{x}{3} - \frac{3}{4} = \frac{2 x + 3}{12}$

12. $\frac{2}{3} x + \frac{1}{2} = \frac{31}{6}$

13. $3 (2 x - 1) + x = 5 x + 3$

14. $\frac{2 x}{3} - \frac{3}{4} = \frac{x}{6} + \frac{21}{4}$

15. $\frac{x + 2}{4} - \frac{x - 1}{3} = 2$

For the following exercises, solve each rational equation for $x .$ State all x-values that are excluded from the solution set.

次の各問について、各分数方程式を $x$ について解け。解の集合から除外される x の値をすべて述べよ。

16. $\frac{3}{x} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

17. $2 - \frac{3}{x + 4} = \frac{x + 2}{x + 4}$

18. $\frac{3}{x - 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{7}{(x - 1) (x - 2)}$

19. $\frac{3 x}{x - 1} + 2 = \frac{3}{x - 1}$

20. $\frac{5}{x + 1} + \frac{1}{x - 3} = \frac{- 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

21. $\frac{1}{x} = \frac{1}{5} + \frac{3}{2 x}$

For the following exercises, find the equation of the line using the point-slope formula. Write all the final equations using the slope-intercept form.

次の各問について、点傾き形の公式を使って直線の方程式を求めよ。最後の方程式はすべて傾き切片形で書け。

22. $(0, 3)$ with a slope of $\frac{2}{3}$

22. 傾きが $\frac{2}{3}$ で $(0, 3)$ を通る

23. $(1, 2)$ with a slope of $- \frac{4}{5}$

23. 傾きが $- \frac{4}{5}$ で $(1, 2)$ を通る

24. x-intercept is 1, and $(−2, 6)$

24. x切片が1で、 $(−2, 6)$

25. y-intercept is 2, and $(4, −1)$

25. y切片が2で、 $(4, −1)$

26. $(−3, 10)$ and $(5, −6)$

26. $(−3, 10)$ と $(5, −6)$

27. $(1, 3) and (5, 5)$

式中の英語：and：および

28. parallel to $y = 2 x + 5$ and passes through the point $(4, 3)$

28. $y = 2 x + 5$ に平行で、点 $(4, 3)$ を通る

29. perpendicular to $3 y = x - 4$ and passes through the point $(−2, 1)$ .

29. $3 y = x - 4$ に垂直で、点 $(−2, 1)$ を通る

For the following exercises, find the equation of the line using the given information.

次の各問について、与えられた情報を使って直線の方程式を求めよ。

30. $(- 2, 0)$ and $(−2, 5)$

30. $(- 2, 0)$ と $(−2, 5)$

31. $(1, 7)$ and $(3, 7)$

31. $(1, 7)$ と $(3, 7)$

32. The slope is undefined and it passes through the point $(2, 3) .$

32. 傾きが定義されず、点 $(2, 3)$ を通る

33. The slope equals zero and it passes through the point $(1, −4) .$

33. 傾きが0で、点 $(1, −4)$ を通る

34. The slope is $\frac{3}{4}$ and it passes through the point $(1, 4)$ .

34. 傾きが $\frac{3}{4}$ で、点 $(1, 4)$ を通る

35. $(–1, 3)$ and $(4, –5)$

35. $(–1, 3)$ と $(4, –5)$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, graph the pair of equations on the same axes, and state whether they are parallel, perpendicular, or neither.

次の各問について、二つの方程式のグラフを同じ座標軸に描き、平行か垂直かどちらでもないかを述べよ。

36. $\begin{array}{l} y = 2 x + 7 \\ y = - \frac{1}{2} x - 4 \end{array}$

37. $\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 5 \\ 6 y - 9 x = 6 \end{array}$

38. $\begin{array}{l} y = \frac{3 x + 1}{4} \\ y = 3 x + 2 \end{array}$

39. $\begin{array}{l} x = 4 \\ y = −3 \end{array}$

Numeric数値の問題

For the following exercises, find the slope of the line that passes through the given points.

次の各問について、与えられた点を通る直線の傾きを求めよ。

40. $(5, 4)$ and $(7, 9)$

40. $(5, 4)$ と $(7, 9)$

41. $(−3, 2)$ and $(4, −7)$

41. $(−3, 2)$ と $(4, −7)$

42. $(−5, 4)$ and $(2, 4)$

42. $(−5, 4)$ と $(2, 4)$

43. $(−1, −2)$ and $(3, 4)$

43. $(−1, −2)$ と $(3, 4)$

44. $(3, 3)$ and $(3, −2)$

44. $(3, 3)$ と $(3, −2)$

For the following exercises, find the slope of the lines that pass through each pair of points and determine whether the lines are parallel or perpendicular.

次の各問について、それぞれの点の組を通る直線の傾きを求め、二直線が平行か垂直かを判定せよ。

45. $\begin{array}{l} (−1, 3) and (5, 1) \\ (−2, 3) and (0, 9) \end{array}$

式中の英語：and：および

46. $\begin{array}{l} (2, 5) and (5, 9) \\ (−1, −1) and (2, 3) \end{array}$

式中の英語：and：および

Technology機器を使う問題

For the following exercises, express the equations in slope intercept form (rounding each number to the thousandths place). Enter this into a graphing calculator as Y1, then adjust the ymin and ymax values for your window to include where the y-intercept occurs. State your ymin and ymax values.

次の各問について、方程式を傾き切片形で表せ(各数は小数第三位まで四捨五入せよ)。これをグラフ電卓に Y1 として入力し、y切片が入るように表示窓の ymin と ymax を調整せよ。その ymin と ymax の値を述べよ。

47. $0.537 x - 2.19 y = 100$

48. $4,500 x - 200 y = 9,528$

49. $\frac{200 - 30 y}{x} = 70$

Extensions発展問題

50. Starting with the point-slope formula $y - y_{1} = m (x - x_{1}),$ solve this expression for $x$ in terms of $x_{1}, y, y_{1},$ and $m$ .

50. 点傾き形の公式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ から始めて、この式を $x_{1}, y, y_{1}$ と $m$ を使って $x$ について解け。

51. Starting with the standard form of an equation $A x + B y = C$ solve this expression for $y$ in terms of $A, B, C$ and $x$ . Then put the expression in slope-intercept form.

51. 方程式の標準形 $A x + B y = C$ から始めて、この式を $A, B, C$ と $x$ を使って $y$ について解け。そのうえで傾き切片形に直せ。

52. Use the above derived formula to put the following standard equation in slope intercept form: $7 x - 5 y = 25.$

52. いま導いた公式を使って、次の標準形の方程式を傾き切片形に直せ。 $7 x - 5 y = 25.$

53. Given that the following coordinates are the vertices of a rectangle, prove that this truly is a rectangle by showing the slopes of the sides that meet are perpendicular.

53. 次の座標が長方形の頂点であるとして、隣り合う辺の傾きが垂直であることを示すことで、これが本当に長方形であることを証明せよ。

$(- 1, 1), (2, 0), (3, 3)$ and $(0, 4)$

$(- 1, 1), (2, 0), (3, 3)$ と $(0, 4)$

54. Find the slopes of the diagonals in the previous exercise. Are they perpendicular?

54. 前問の対角線の傾きを求めよ。対角線は垂直か。

Real-World Applications応用問題

55. The slope for a wheelchair ramp for a home has to be $\frac{1}{12} .$ If the vertical distance from the ground to the door bottom is 2.5 ft, find the distance the ramp has to extend from the home in order to comply with the needed slope.

55. ある住宅の車いす用の傾斜路の傾きは $\frac{1}{12}$ でなければならない。地面から戸の下端までの高さが2.5フィートのとき、必要な傾きを満たすには、傾斜路を家からどれだけ伸ばさなければならないか。

A right-angled triangle is shown with its horizontal leg labeled as

56. If the profit equation for a small business selling $x$ number of item one and $y$ number of item two is $p = 3 x + 4 y,$ find the $y$ value when $p = $ 453 and x = 75.$

56. ある小さな商店が品物一を $x$ 個、品物二を $y$ 個売るときの利益の方程式が $p = 3 x + 4 y$ であるとき、 $p = $ 453 および x = 75.$ のときの $y$ の値を求めよ。

For the following exercises, use this scenario: The cost of renting a car is $45/wk plus $0.25/mi traveled during that week. An equation to represent the cost would be $y = 45 + .25 x,$ where $x$ is the number of miles traveled.

次の各問では、この場面を使う。自動車の借り賃は週45ドルに、その週に走った1マイルあたり0.25ドルを加えたものである。費用を表す方程式は $y = 45 + .25 x$ となる。ここで $x$ は走ったマイル数である。

57. What is your cost if you travel 50 mi?

57. 50マイル走ったときの費用はいくらか。

58. If your cost were $$ 63.75,$ how many miles were you charged for traveling?

58. 費用が $$ 63.75$ だったとすると、何マイル分を請求されたか。

59. Suppose you have a maximum of $100 to spend for the car rental. What would be the maximum number of miles you could travel?

59. 自動車の借り賃に使える金額が最大100ドルだとする。走れるマイル数は最大でいくらか。