第2章方程式と不等式Equations and Inequalities

2.3 Models and Applications2.3 モデルと応用

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Set up a linear equation to solve a real-world application.• Use a formula to solve a real-world application.

・現実の問題を解くために一次方程式を立てる。・公式を使って現実の問題を解く。

Many students studying in a large lecture hall — Figure 1 Credit: Kevin Dooley図1 撮影: Kevin Dooley

Neka is hoping to get an A in his college algebra class. He has scores of 75, 82, 95, 91, and 94 on his first five tests. Only the final exam remains, and the maximum number of points that can be earned is 100. Is it possible for Neka to end the course with an A? A simple linear equation will give Neka his answer.

Neka は大学の代数の講義でAを取りたいと思っている。最初の五回の試験の点数は75、82、95、91、94である。残るは期末試験だけで、取れる点数は最大100点である。Neka がこの講義をAで終えることはできるだろうか。単純な一次方程式が答えを出してくれる。

Many real-world applications can be modeled by linear equations. For example, a cell phone package may include a monthly service fee plus a charge per minute of talk-time; it costs a widget manufacturer a certain amount to produce x widgets per month plus monthly operating charges; a car rental company charges a daily fee plus an amount per mile driven. These are examples of applications we come across every day that are modeled by linear equations. In this section, we will set up and use linear equations to solve such problems.

現実の問題の多くは一次方程式で表せる。たとえば携帯電話の契約は、月々の基本料金に通話時間1分あたりの料金を加えたものかもしれない。ある品物を月に x 個作るには、一定の製造費に月々の運営費を加えた費用がかかる。レンタカー会社は1日の料金に走行1マイルあたりの料金を加えて請求する。これらはどれも、日々出くわす、一次方程式で表せる応用の例である。この節では、そうした問題を解くために一次方程式を立てて使う。

Setting up a Linear Equation to Solve a Real-World Application現実の問題を解くために一次方程式を立てる

To set up or model a linear equation to fit a real-world application, we must first determine the known quantities and define the unknown quantity as a variable. Then, we begin to interpret the words as mathematical expressions using mathematical symbols. Let us use the car rental example above. In this case, a known cost, such as $0.10/mi, is multiplied by an unknown quantity, the number of miles driven. Therefore, we can write $0.10 x .$ This expression represents a variable cost because it changes according to the number of miles driven.

現実の問題に合う一次方程式を立てる、すなわちモデルを作るには、まず分かっている量を決め、分からない量を変数として定める。それから、言葉を数学の記号を使った式として読み替えていく。先ほどのレンタカーの例を使おう。この場合、1マイルあたり0.10ドルという分かっている費用に、走ったマイル数という分からない量を掛ける。よって $0.10 x$ と書ける。この式は走ったマイル数に応じて変わるので、変動費を表す。

If a quantity is independent of a variable, we usually just add or subtract it, according to the problem. As these amounts do not change, we call them fixed costs. Consider a car rental agency that charges $0.10/mi plus a daily fee of $50. We can use these quantities to model an equation that can be used to find the daily car rental cost $C .$

ある量が変数と関わりないときは、たいてい問題に応じてそれを足すか引くだけである。こうした額は変わらないので、固定費という。1マイルあたり0.10ドルに加えて1日50ドルを請求するレンタカー会社を考えよう。これらの量を使って、1日の借り賃 $C$ を求めるのに使える方程式を作れる。

C = 0.10 x + 50

When dealing with real-world applications, there are certain expressions that we can translate directly into math. Table 1 lists some common verbal expressions and their equivalent mathematical expressions.

現実の問題を扱うとき、そのまま数学に置き換えられる言い回しがいくつかある。表1に、よくある言葉の表現と、それに対応する数学の式を並べる。

Verbal言葉	Translation to Math Operations数学の演算への置き換え
One number exceeds another by aある数が別の数より a だけ大きい	$x, x + a$
Twice a numberある数の2倍	$2 x$
One number is a more than another numberある数は別の数より a だけ多い	$x, x + a$
One number is a less than twice another numberある数は別の数の2倍より a だけ少ない	$x, 2 x - a$
The product of a number and a, decreased by bある数と a との積から b を引いたもの	$a x - b$
The quotient of a number and the number plus a is three times the numberある数を、その数に a を足したもので割った商は、その数の3倍である	$\frac{x}{x + a} = 3 x$
The product of three times a number and the number decreased by b is cある数の3倍と、その数から b を引いたものとの積は c である	$3 x (x - b) = c$

How To 手順

Given a real-world problem, model a linear equation to fit it.

現実の問題が与えられたとき、それに合う一次方程式を立てる。

1. Identify known quantities.2. Assign a variable to represent the unknown quantity.3. If there is more than one unknown quantity, find a way to write the second unknown in terms of the first.4. Write an equation interpreting the words as mathematical operations.5. Solve the equation. Be sure the solution can be explained in words, including the units of measure.

1. 分かっている量を挙げる。2. 分からない量を表す変数を決める。3. 分からない量が二つ以上あるときは、二つ目を一つ目で表す方法を見つける。4. 言葉を数学の演算として読み替え、方程式を書く。5. 方程式を解く。解を、測る単位も含めて言葉で説明できるようにしておくこと。

Example 1例1

Modeling a Linear Equation to Solve an Unknown Number Problem数を求める問題を一次方程式で表して解く

Find a linear equation to solve for the following unknown quantities: One number exceeds another number by $17$ and their sum is $31.$ Find the two numbers.

次の分からない量を求めるための一次方程式を作れ。ある数が別の数より $17$ だけ大きく、二数の和は $31.$ である。この二数を求めよ。

Solution 解答

Let $x$ equal the first number. Then, as the second number exceeds the first by 17, we can write the second number as $x + 17.$ The sum of the two numbers is 31. We usually interpret the word is as an equal sign.

$x$ を一つ目の数としよう。二つ目の数は一つ目より17だけ大きいので、 $x + 17.$ と書ける。二数の和は31である。「は」という語はふつう等号として読み替える。

\begin{matrix} x + (x + 17) & = & 31 \\ 2 x + 17 & = & 31 Simplify and solve . \\ 2 x & = & 14 \\ x & = & 7 \\ x + 17 & = & 7 + 17 \\ = & 24 \end{matrix}

The two numbers are $7$ and $24.$

二数は $7$ と $24.$ である。

Try It #1やってみよう1

Find a linear equation to solve for the following unknown quantities: One number is three more than twice another number. If the sum of the two numbers is $36,$ find the numbers.

次の分からない量を求めるための一次方程式を作れ。ある数は、別の数の2倍より3だけ大きい。二数の和が $36$ のとき、その二数を求めよ。

Example 2例2

Setting Up a Linear Equation to Solve a Real-World Application現実の問題を解くために一次方程式を立てる

There are two cell phone companies that offer different packages. Company A charges a monthly service fee of $34 plus $.05/min talk-time. Company B charges a monthly service fee of $40 plus $.04/min talk-time.

二つの携帯電話会社が別々の契約を出している。A社は月々の基本料金34ドルに、通話1分あたり0.05ドルを加えて請求する。B社は月々の基本料金40ドルに、通話1分あたり0.04ドルを加えて請求する。

ⓐWrite a linear equation that models the packages offered by both companies.ⓑIf the average number of minutes used each month is 1,160, which company offers the better plan?ⓒIf the average number of minutes used each month is 420, which company offers the better plan?ⓓHow many minutes of talk-time would yield equal monthly statements from both companies?

ⓐ両社の契約を表す一次方程式を書け。ⓑ毎月の通話時間が平均1,160分のとき、どちらの会社の方が得か。ⓒ毎月の通話時間が平均420分のとき、どちらの会社の方が得か。ⓓ通話時間が何分なら、両社の月々の請求額が等しくなるか。

Solution 解答

ⓐThe model for Company A can be written as $A = 0.05 x + 34.$ This includes the variable cost of $0.05 x$ plus the monthly service charge of $34. Company B’s package charges a higher monthly fee of $40, but a lower variable cost of $0.04 x .$ Company B’s model can be written as $B = 0.04 x + $ 40.$ ⓑIf the average number of minutes used each month is 1,160, we have the following: $\begin{matrix} Company A & = & 0.05 (1, 160) + 34 \\ = & 58 + 34 \\ = & 92 \\ Company B & = & 0.04 (1, 160) + 40 \\ = & 46.4 + 40 \\ = & 86.4 \end{matrix}$ So, Company B offers the lower monthly cost of $86.40 as compared with the $92 monthly cost offered by Company A when the average number of minutes used each month is 1,160.ⓒIf the average number of minutes used each month is 420, we have the following: $\begin{matrix} Company A & = & 0.05 (420) + 34 \\ = & 21 + 34 \\ = & 55 \\ Company B & = & 0.04 (420) + 40 \\ = & 16.8 + 40 \\ = & 56.8 \end{matrix}$ If the average number of minutes used each month is 420, then Company A offers a lower monthly cost of $55 compared to Company B’s monthly cost of $56.80.ⓓTo answer the question of how many talk-time minutes would yield the same bill from both companies, we should think about the problem in terms of $(x, y)$ coordinates: At what point are both the x-value and the y-value equal? We can find this point by setting the equations equal to each other and solving for x. $\begin{matrix} 0.05 x + 34 & = & 0.04 x + 40 \\ 0.01 x & = & 6 \\ x & = & 600 \end{matrix}$ Check the x-value in each equation. $\begin{matrix} 0.05 (600) + 34 & = & 64 \\ 0.04 (600) + 40 & = & 64 \end{matrix}$ Therefore, a monthly average of 600 talk-time minutes renders the plans equal. See Figure 2

ⓐA社の式は $A = 0.05 x + 34.$ と書ける。これは変動費 $0.05 x$ に月々の基本料金34ドルを加えたものである。B社の契約は月々の基本料金が40ドルと高いが、変動費は $0.04 x$ と安い。B社の式は $B = 0.04 x + $ 40.$ と書ける。ⓑ毎月の通話時間が平均1,160分のとき、次のようになる。 $\begin{matrix} Company A & = & 0.05 (1, 160) + 34 \\ = & 58 + 34 \\ = & 92 \\ Company B & = & 0.04 (1, 160) + 40 \\ = & 46.4 + 40 \\ = & 86.4 \end{matrix}$ よって毎月の通話時間が平均1,160分のとき、B社の月額86.40ドルの方が、A社の月額92ドルより安い。ⓒ毎月の通話時間が平均420分のとき、次のようになる。 $\begin{matrix} Company A & = & 0.05 (420) + 34 \\ = & 21 + 34 \\ = & 55 \\ Company B & = & 0.04 (420) + 40 \\ = & 16.8 + 40 \\ = & 56.8 \end{matrix}$ 毎月の通話時間が平均420分なら、A社の月額55ドルの方が、B社の月額56.80ドルより安い。ⓓ通話時間が何分なら両社の請求額が同じになるかという問いに答えるには、 $(x, y)$ の座標として問題を考えるとよい。x の値と y の値がともに等しくなるのはどの点か。二つの方程式を等号で結び、x について解けばこの点が求まる。 $\begin{matrix} 0.05 x + 34 & = & 0.04 x + 40 \\ 0.01 x & = & 6 \\ x & = & 600 \end{matrix}$ それぞれの方程式で x の値を確かめる。 $\begin{matrix} 0.05 (600) + 34 & = & 64 \\ 0.04 (600) + 40 & = & 64 \end{matrix}$ よって毎月平均600分の通話で両者の契約は等しくなる。図2を見よ。

Coordinate plane with the x-axis ranging from 0 to 1200 in intervals of 100 and the y-axis ranging from 0 to 90 in intervals of 10. The functions A = 0.05x + 34 and B = 0.04x + 40 are graphed on the same plot

Try It #2やってみよう2

Find a linear equation to model this real-world application: It costs ABC electronics company $2.50 per unit to produce a part used in a popular brand of desktop computers. The company has monthly operating expenses of $350 for utilities and $3,300 for salaries. What are the company’s monthly expenses?

次の現実の問題を表す一次方程式を作れ。ABC 電子は、人気のある卓上計算機に使われる部品を1個あたり2.50ドルで作っている。この会社の月々の運営費は、光熱費が350ドル、給与が3,300ドルである。この会社の月々の支出はいくらか。

Using a Formula to Solve a Real-World Application公式を使って現実の問題を解く

Many applications are solved using known formulas. The problem is stated, a formula is identified, the known quantities are substituted into the formula, the equation is solved for the unknown, and the problem’s question is answered. Typically, these problems involve two equations representing two trips, two investments, two areas, and so on. Examples of formulas include the area of a rectangular region, $A = L W;$ the perimeter of a rectangle, $P = 2 L + 2 W;$ and the volume of a rectangular solid, $V = L W H .$ When there are two unknowns, we find a way to write one in terms of the other because we can solve for only one variable at a time.

多くの応用問題は、知られた公式を使って解く。問題が示され、公式が選ばれ、分かっている量が公式に代入され、分からない量について方程式が解かれ、問いに答えが出る。こうした問題ではたいてい、二つの旅程・二つの投資・二つの面積などを表す二つの方程式が出てくる。公式の例としては、長方形の面積 $A = L W;$ 、長方形の周の長さ $P = 2 L + 2 W;$ 、直方体の体積 $V = L W H$ などがある。分からない量が二つあるときは、一度に一つの変数しか解けないので、一方を他方で表す方法を見つける。

Example 3例3

Solving an Application Using a Formula公式を使って応用問題を解く

It takes Andrew 30 min to drive to work in the morning. He drives home using the same route, but it takes 10 min longer, and he averages 10 mi/h less than in the morning. How far does Andrew drive to work?

Andrew は朝、職場まで車で30分かかる。帰りも同じ道を通るが、10分よけいにかかり、速さは朝より平均で時速10マイル遅い。Andrew は職場までどれだけの距離を走っているか。

Solution 解答

This is a distance problem, so we can use the formula $d = r t,$ where distance equals rate multiplied by time. Note that when rate is given in mi/h, time must be expressed in hours. Consistent units of measurement are key to obtaining a correct solution.

これは距離の問題なので、公式 $d = r t$ 、すなわち距離は速さと時間の積、を使える。速さがマイル毎時で与えられているときは、時間を時の単位で表さなければならないことに注意せよ。単位をそろえることが、正しい解を得る鍵である。

First, we identify the known and unknown quantities. Andrew’s morning drive to work takes 30 min, or $\frac{1}{2}$ h at rate $r .$ His drive home takes 40 min, or $\frac{2}{3}$ h, and his speed averages 10 mi/h less than the morning drive. Both trips cover distance $d .$ A table, such as Table 2, is often helpful for keeping track of information in these types of problems.

まず、分かっている量と分からない量を挙げる。Andrew の朝の通勤は30分、すなわち $\frac{1}{2}$ 時間で、速さは $r$ である。帰りは40分、すなわち $\frac{2}{3}$ 時間で、速さは朝より平均で時速10マイル遅い。どちらの行程も距離は $d$ である。この種の問題では、表2のような表を作ると情報を整理しやすい。

	$d$	$r$	$t$
To Work職場へ	$d$	$r$	$\frac{1}{2}$
To Home家へ	$d$	$r - 10$	$\frac{2}{3}$

Write two equations, one for each trip.

行程ごとに一つずつ、方程式を二つ書く。

\begin{matrix} d & = & r (\frac{1}{2}) & To work \\ d & = & (r - 10) (\frac{2}{3}) & To home \end{matrix}

As both equations equal the same distance, we set them equal to each other and solve for r.

どちらの方程式も同じ距離に等しいので、両者を等号で結んで r について解く。

\begin{matrix} r (\frac{1}{2}) & = & (r - 10) (\frac{2}{3}) \\ \frac{1}{2} r & = & \frac{2}{3} r - \frac{20}{3} \\ \frac{1}{2} r - \frac{2}{3} r & = & - \frac{20}{3} \\ - \frac{1}{6} r & = & - \frac{20}{3} \\ r & = & - \frac{20}{3} (−6) \\ r & = & 40 \end{matrix}

We have solved for the rate of speed to work, 40 mph. Substituting 40 into the rate on the return trip yields 30 mi/h. Now we can answer the question. Substitute the rate back into either equation and solve for d.

職場へ向かうときの速さが時速40マイルと分かった。40を帰りの速さに代入すると時速30マイルになる。これで問いに答えられる。速さをどちらかの方程式に戻して d について解く。

\begin{matrix} d & = & 40 (\frac{1}{2}) \\ = & 20 \end{matrix}

The distance between home and work is 20 mi.

家と職場のあいだの距離は20マイルである。

Analysis 考察

Note that we could have cleared the fractions in the equation by multiplying both sides of the equation by the LCD to solve for $r .$

方程式の両辺に LCD を掛けて分数を払ってから $r$ について解くこともできたことに注意せよ。

\begin{matrix} r (\frac{1}{2}) & = & (r - 10) (\frac{2}{3}) \\ 6 \times r (\frac{1}{2}) & = & 6 \times (r - 10) (\frac{2}{3}) \\ 3 r & = & 4 (r - 10) \\ 3 r & = & 4 r - 40 \\ - r & = & −40 \\ r & = & 40 \end{matrix}

Try It #3やってみよう3

On Saturday morning, it took Jennifer 3.6 h to drive to her mother’s house for the weekend. On Sunday evening, due to heavy traffic, it took Jennifer 4 h to return home. Her speed was 5 mi/h slower on Sunday than on Saturday. What was her speed on Sunday?

土曜の朝、Jennifer は週末を過ごすために母親の家まで車で3.6時間かかった。日曜の夕方は道が混んでいて、帰宅に4時間かかった。日曜の速さは土曜より時速5マイル遅かった。日曜の速さはいくらか。

Example 4例4

Solving a Perimeter Problem周の長さの問題を解く

The perimeter of a rectangular outdoor patio is $54$ ft. The length is $3$ ft greater than the width. What are the dimensions of the patio?

長方形の屋外テラスの周の長さは $54$ フィートである。縦は横より $3$ フィート長い。このテラスの寸法を求めよ。

Solution 解答

The perimeter formula is standard: $P = 2 L + 2 W .$ We have two unknown quantities, length and width. However, we can write the length in terms of the width as $L = W + 3.$ Substitute the perimeter value and the expression for length into the formula. It is often helpful to make a sketch and label the sides as in Figure 3.

周の長さの公式は決まっている。 $P = 2 L + 2 W$ である。分からない量は縦と横の二つある。しかし縦は横を使って $L = W + 3.$ と書ける。周の長さの値と、縦を表す式を公式に代入する。図3のように図を描いて辺に印を付けると分かりやすいことが多い。

A rectangle with the length labeled as: L = W + 3 and the width labeled as: W.

Now we can solve for the width and then calculate the length.

これで横を求め、そのうえで縦を計算できる。

\begin{matrix} P & = & 2 L + 2 W \\ 54 & = & 2 (W + 3) + 2 W \\ 54 & = & 2 W + 6 + 2 W \\ 54 & = & 4 W + 6 \\ 48 & = & 4 W \\ 12 & = & W \\ (12 + 3) & = & L \\ 15 & = & L \end{matrix}

The dimensions are $L = 15$ ft and $W = 12$ ft.

寸法は $L = 15$ フィートと $W = 12$ フィートである。

Try It #4やってみよう4

Find the dimensions of a rectangle given that the perimeter is $110$ cm and the length is 1 cm more than twice the width.

周の長さが $110$ センチメートルで、縦が横の2倍より1センチメートル長い長方形の寸法を求めよ。

Example 5例5

Solving an Area Problem面積の問題を解く

The perimeter of a tablet of graph paper is 48 in. The length is $6$ in. more than the width. Find the area of the graph paper.

方眼紙一綴りの周の長さは48インチである。縦は横より $6$ インチ長い。この方眼紙の面積を求めよ。

Solution 解答

The standard formula for area is $A = L W;$ however, we will solve the problem using the perimeter formula. The reason we use the perimeter formula is because we know enough information about the perimeter that the formula will allow us to solve for one of the unknowns. As both perimeter and area use length and width as dimensions, they are often used together to solve a problem such as this one.

面積の公式は $A = L W;$ だが、ここでは周の長さの公式を使って解く。周の長さについては十分な情報があり、その公式を使えば分からない量の一方を求められるからである。周の長さも面積も縦と横を寸法として使うので、こうした問題ではこの二つをよく組み合わせて解く。

We know that the length is 6 in. more than the width, so we can write length as $L = W + 6.$ Substitute the value of the perimeter and the expression for length into the perimeter formula and find the length.

縦は横より6インチ長いと分かっているので、縦を $L = W + 6.$ と書ける。周の長さの値と縦を表す式を周の長さの公式に代入し、縦を求める。

\begin{matrix} P & = & 2 L + 2 W \\ 48 & = & 2 (W + 6) + 2 W \\ 48 & = & 2 W + 12 + 2 W \\ 48 & = & 4 W + 12 \\ 36 & = & 4 W \\ 9 & = & W \\ (9 + 6) & = & L \\ 15 & = & L \end{matrix}

Now, we find the area given the dimensions of $L = 15$ in. and $W = 9$ in.

これで寸法 $L = 15$ インチと $W = 9$ インチが分かったので、面積を求める。

\begin{matrix} A & = & L W \\ A & = & 15 (9) \\ = & 135 in .^{2} \end{matrix}

The area is $135$ in.².

面積は $135$ 平方インチである。

Try It #5やってみよう5

A game room has a perimeter of 70 ft. The length is five more than twice the width. How many ft² of new carpeting should be ordered?

ある遊技室の周の長さは70フィートである。縦は横の2倍より5だけ長い。新しい絨毯を何平方フィート注文すべきか。

Example 6例6

Solving a Volume Problem体積の問題を解く

Find the dimensions of a shipping box given that the length is twice the width, the height is $8$ inches, and the volume is 1,600 in.³.

縦が横の2倍、高さが $8$ インチ、体積が1,600立方インチである配送用の箱の寸法を求めよ。

Solution 解答

The formula for the volume of a box is given as $V = L W H,$ the product of length, width, and height. We are given that $L = 2 W,$ and $H = 8.$ The volume is $1,600$ cubic inches.

箱の体積の公式は $V = L W H$ 、すなわち縦と横と高さの積で与えられる。 $L = 2 W$ と $H = 8.$ が与えられている。体積は $1,600$ 立方インチである。

\begin{matrix} V & = & L W H \\ 1, 600 & = & (2 W) W (8) \\ 1, 600 & = & 16 W^{2} \\ 100 & = & W^{2} \\ 10 & = & W \end{matrix}

The dimensions are $L = 20$ in., $W = 10$ in., and $H = 8$ in.

寸法は $L = 20$ インチ、 $W = 10$ インチ、 $H = 8$ インチである。

Analysis 考察

Note that the square root of $W^{2}$ would result in a positive and a negative value. However, because we are describing width, we can use only the positive result.

$W^{2}$ の平方根は正と負の二つの値になることに注意せよ。ただしここでは横の長さを述べているので、正の値だけを使える。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with models and applications of linear equations.

一次方程式のモデルと応用についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Problem solving using linear equations• Problem solving using equations• Finding the dimensions of area given the perimeter• Find the distance between the cities using the distance = rate * time formula• Linear equation application (Write a cost equation)

・一次方程式を使った問題解決・方程式を使った問題解決・周の長さから面積の寸法を求める・距離=速さ×時間の公式で都市間の距離を求める・一次方程式の応用(費用の方程式を書く)

Verbal言葉で答える問題

1. To set up a model linear equation to fit real-world applications, what should always be the first step?

1. 現実の問題に合う一次方程式のモデルを立てるとき、最初にすべきことはつねに何か。

2. Use your own words to describe this equation where n is a number: $5 (n + 3) = 2 n$

2. n をある数として、次の方程式を自分の言葉で説明せよ。 $5 (n + 3) = 2 n$

3. If the total amount of money you had to invest was $2,000 and you deposit $x$ amount in one investment, how can you represent the remaining amount?

3. 投資に回せる金額の合計が2,000ドルで、一つの投資先に $x$ だけ入れるとき、残りの額をどう表せるか。

4. If a carpenter sawed a 10-ft board into two sections and one section was $n$ ft long, how long would the other section be in terms of $n$ ?

4. 大工が10フィートの板を二つに切り、一方が $n$ フィートだったとすると、もう一方の長さを $n$ を使ってどう表せるか。

5. If Bill was traveling $v$ mi/h, how would you represent Daemon’s speed if he was traveling 10 mi/h faster?

5. Bill が時速 $v$ マイルで進んでいるとき、それより時速10マイル速い Daemon の速さをどう表せるか。

Real-World Applications応用問題

For the following exercises, use the information to find a linear algebraic equation model to use to answer the question being asked.

次の各問について、与えられた情報から、問いに答えるための一次方程式のモデルを作れ。

6. Mark and Don are planning to sell each of their marble collections at a garage sale. If Don has 1 more than 3 times the number of marbles Mark has, how many does each boy have to sell if the total number of marbles is 113?

6. Mark と Don は、それぞれのビー玉の収集を庭先の売り出しで売ろうとしている。Don のビー玉の数が Mark の3倍より1個多いとき、ビー玉の合計が113個なら、二人はそれぞれ何個売ることになるか。

7. Beth and Ann are joking that their combined ages equal Sam’s age. If Beth is twice Ann’s age and Sam is 69 yr old, what are Beth and Ann’s ages?

7. Beth と Ann は、二人の年齢を足すと Sam の年齢になると冗談を言っている。Beth の年齢が Ann の2倍で、Sam が69歳のとき、Beth と Ann はそれぞれ何歳か。

8. Ruden originally filled out 8 more applications than Hanh. Then each boy filled out 3 additional applications, bringing the total to 28. How many applications did each boy originally fill out?

8. Ruden ははじめ、Hanh より8通多く申込書を書いた。その後、二人ともさらに3通ずつ書いて、合計が28通になった。二人がはじめに書いた申込書はそれぞれ何通か。

For the following exercises, use this scenario: Two different telephone carriers offer the following plans that a person is considering. Company A has a monthly fee of $20 and charges of $.05/min for calls. Company B has a monthly fee of $5 and charges $.10/min for calls.

次の各問では、この場面を使う。ある人が二つの電話会社の契約を検討している。A社は月々20ドルの基本料金に、通話1分あたり0.05ドルを請求する。B社は月々5ドルの基本料金に、通話1分あたり0.10ドルを請求する。

9. Find the model of the total cost of Company A’s plan, using $m$ for the minutes.

9. 通話時間の分を $m$ として、A社の契約の費用の合計を表す式を作れ。

10. Find the model of the total cost of Company B’s plan, using $m$ for the minutes.

10. 通話時間の分を $m$ として、B社の契約の費用の合計を表す式を作れ。

11. Find out how many minutes of calling would make the two plans equal.

11. 通話時間が何分なら二つの契約が等しくなるかを求めよ。

12. If the person makes a monthly average of 200 min of calls, which plan should for the person choose?

12. この人の毎月の通話時間が平均200分のとき、どちらの契約を選ぶべきか。

For the following exercises, use this scenario: A wireless carrier offers the following plans that a person is considering. The Family Plan: $90 monthly fee, unlimited talk and text on up to 8 lines, and data charges of $40 for each device for up to 2 GB of data per device. The Mobile Share Plan: $120 monthly fee for up to 10 devices, unlimited talk and text for all the lines, and data charges of $35 for each device up to a shared total of 10 GB of data. Use $P$ for the number of devices that need data plans as part of their cost.

次の各問では、この場面を使う。ある通信会社が二つの契約を出しており、ある人が検討している。家族向け契約は、月々90ドルの基本料金、最大8回線までの通話と文字送信が無制限、そして1台につき2GB までのデータ通信料が1台あたり40ドルである。共有契約は、月々120ドルの基本料金で最大10台まで、全回線の通話と文字送信が無制限、そして合計10GB までのデータ通信料が1台あたり35ドルである。データ通信の料金がかかる台数を $P$ とせよ。

13. Find the model of the total cost of the Family Plan.

13. 家族向け契約の費用の合計を表す式を作れ。

14. Find the model of the total cost of the Mobile Share Plan.

14. 共有契約の費用の合計を表す式を作れ。

15. Assuming they stay under their data limit, find the number of devices that would make the two plans equal in cost.

15. データ通信の上限を超えないとして、二つの契約の費用が等しくなる台数を求めよ。

16. If a family has 3 smart phones, which plan should they choose?

16. ある家族が携帯電話を3台持っているとき、どちらの契約を選ぶべきか。

For exercises 17 and 18, use this scenario: A retired woman has $50,000 to invest but needs to make $6,000 a year from the interest to meet certain living expenses. One bond investment pays 15% annual interest. The rest of it she wants to put in a CD that pays 7%.

問17と問18では、この場面を使う。ある退職した女性は50,000ドルを投資に回せるが、暮らしの費用をまかなうには利息で年に6,000ドルを得る必要がある。ある債券は年利15%である。残りは年利7%の定期預金に入れたいと考えている。

17. If we let $x$ be the amount the woman invests in the 15% bond, how much will she be able to invest in the CD?

17. $x$ をこの女性が年利15%の債券に入れる額とすると、定期預金にはいくら入れられるか。

18. Set up and solve the equation for how much the woman should invest in each option to sustain a $6,000 annual return.

18. 年に6,000ドルの収益を保つには、この女性がそれぞれにいくら入れるべきかを求める方程式を立てて解け。

19. Two planes fly in opposite directions. One travels 450 mi/h and the other 550 mi/h. How long will it take before they are 4,000 mi apart?

19. 二機の飛行機が反対の向きに飛ぶ。一方は時速450マイル、もう一方は時速550マイルである。二機が4,000マイル離れるまでにどれだけ時間がかかるか。

20. Ben starts walking along a path at 4 mi/h. One and a half hours after Ben leaves, his sister Amanda begins jogging along the same path at 6 mi/h. How long will it be before Amanda catches up to Ben?

20. Ben は時速4マイルで小道を歩き始める。Ben が出てから1時間半後、妹の Amanda が同じ小道を時速6マイルで走り始める。Amanda が Ben に追いつくまでにどれだけ時間がかかるか。

21. Fiora starts riding her bike at 20 mi/h. After a while, she slows down to 12 mi/h, and maintains that speed for the rest of the trip. The whole trip of 70 mi takes her 4.5 h. For what distance did she travel at 20 mi/h?

21. Fiora は時速20マイルで自転車を漕ぎ始める。しばらくして時速12マイルに落とし、残りの道のりはその速さを保つ。70マイルの道のり全体に4.5時間かかった。時速20マイルで走ったのは何マイルか。

22. A chemistry teacher needs to mix a 30% salt solution with a 70% salt solution to make 20 qt of a 40% salt solution. How many quarts of each solution should the teacher mix to get the desired result?

22. ある化学の教員が、濃度30%の食塩水と濃度70%の食塩水を混ぜて、濃度40%の食塩水を20クォート作りたい。目当ての結果を得るには、それぞれ何クォートずつ混ぜればよいか。

23. Raúl has $20,000 to invest. His intent is to earn 11% interest on his investment. He can invest part of his money at 8% interest and part at 12% interest. How much does Raúl need to invest in each option to make get a total 11% return on his $20,000?

23. Raúl は20,000ドルを投資に回せる。投資から11%の利息を得るつもりでいる。一部を年利8%で、一部を年利12%で運用できる。20,000ドル全体で11%の収益を得るには、それぞれにいくら入れる必要があるか。

For the following exercises, use this scenario: A truck rental agency offers two kinds of plans. Plan A charges $75/wk plus $.10/mi driven. Plan B charges $100/wk plus $.05/mi driven.

次の各問では、この場面を使う。あるトラックの貸出業者が二つの契約を出している。契約Aは週75ドルに、走行1マイルあたり0.10ドルを加える。契約Bは週100ドルに、走行1マイルあたり0.05ドルを加える。

24. Write the model equation for the cost of renting a truck with plan A.

24. 契約Aでトラックを借りたときの費用を表す式を書け。

25. Write the model equation for the cost of renting a truck with plan B.

25. 契約Bでトラックを借りたときの費用を表す式を書け。

26. Find the number of miles that would generate the same cost for both plans.

26. 二つの契約の費用が同じになるマイル数を求めよ。

27. If Tim knows he has to travel 300 mi, which plan should he choose?

27. Tim が300マイル走らなければならないと分かっているとき、どちらの契約を選ぶべきか。

For the following exercises, use the formula given to solve for the required value.

次の各問について、与えられた公式を使って求められている値を出せ。

28. $A = P (1 + r t)$ is used to find the principal amount P deposited, earning r% interest, for t years. Use this to find what principal amount P David invested at a 3% rate for 20 yr if $A = $ 8,000.$

28. $A = P (1 + r t)$ は、年利 r% で t 年運用したときの元本 P を求めるのに使う。これを使い、 $A = $ 8,000.$ のとき、David が年利3%で20年運用した元本 P を求めよ。

29. The formula $F = \frac{m v^{2}}{R}$ relates force $(F)$ , velocity $(v)$ , mass , and resistance $(m)$ . Find $R$ when $m = 45,$ $v = 7,$ and $F = 245.$

29. 公式 $F = \frac{m v^{2}}{R}$ は、力 $(F)$ 、速さ $(v)$ 、質量、抵抗 $(m)$ の関係を表す。 $m = 45$ 、 $v = 7$ 、 $F = 245.$ のときの $R$ を求めよ。

30. $F = m a$ indicates that force (F) equals mass (m) times acceleration (a). Find the acceleration of a mass of 50 kg if a force of 12 N is exerted on it.

30. $F = m a$ は、力(F)が質量(m)と加速度(a)の積に等しいことを表す。質量50kg の物体に12N の力が働くときの加速度を求めよ。

31. $S u m = \frac{1}{1 - r}$ is the formula for an infinite series sum. If the sum is 5, find $r .$

31. $S u m = \frac{1}{1 - r}$ は無限級数の和の公式である。和が5のとき、 $r$ を求めよ。

For the following exercises, solve for the given variable in the formula. After obtaining a new version of the formula, you will use it to solve a question.

次の各問について、公式を与えられた変数について解け。新しい形の公式が得られたら、それを使って問いに答えよ。

32. Solve for W: $P = 2 L + 2 W$

32. W について解け。 $P = 2 L + 2 W$

33. Use the formula from the previous question to find the width, $W,$ of a rectangle whose length is 15 and whose perimeter is 58.

33. 前問の公式を使い、縦が15で周の長さが58の長方形の横 $W$ を求めよ。

34. Solve for $f : \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$

34. $f : \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$ について解け。

35. Use the formula from the previous question to find $f$ when $p = 8 and q = 13.$

35. 前問の公式を使い、 $p = 8 および q = 13.$ のときの $f$ を求めよ。

36. Solve for $m$ in the slope-intercept formula: $y = m x + b$

36. 傾き切片形の公式 $y = m x + b$ を $m$ について解け。

37. Use the formula from the previous question to find $m$ when the coordinates of the point are $(4, 7)$ and $b = 12.$

37. 前問の公式を使い、点の座標が $(4, 7)$ と $b = 12.$ のときの $m$ を求めよ。

38. The area of a trapezoid is given by $A = \frac{1}{2} h (b_{1} + b_{2}) .$ Use the formula to find the area of a trapezoid with $h = 6, b_{1} = 14, and b_{2} = 8.$

38. 台形の面積は $A = \frac{1}{2} h (b_{1} + b_{2})$ で与えられる。この公式を使い、 $h = 6, b_{1} = 14, および b_{2} = 8.$ の台形の面積を求めよ。

39. Solve for h: $A = \frac{1}{2} h (b_{1} + b_{2})$

39. h について解け。 $A = \frac{1}{2} h (b_{1} + b_{2})$

40. Use the formula from the previous question to find the height of a trapezoid with $A = 150, b_{1} = 19$ , and $b_{2} = 11.$

40. 前問の公式を使い、 $A = 150, b_{1} = 19$ と $b_{2} = 11.$ の台形の高さを求めよ。

41. Find the dimensions of an American football field. The length is 200 ft more than the width, and the perimeter is 1,040 ft. Find the length and width. Use the perimeter formula $P = 2 L + 2 W .$

41. アメリカンフットボールの競技場の寸法を求めよ。縦は横より200フィート長く、周の長さは1,040フィートである。縦と横を求めよ。周の長さの公式 $P = 2 L + 2 W$ を使え。

42. Distance equals rate times time, $d = r t .$ Find the distance Tom travels if he is moving at a rate of 55 mi/h for 3.5 h.

42. 距離は速さと時間の積 $d = r t$ である。Tom が時速55マイルで3.5時間進んだときの距離を求めよ。

43. Using the formula in the previous exercise, find the distance that Susan travels if she is moving at a rate of 60 mi/h for 6.75 h.

43. 前問の公式を使い、Susan が時速60マイルで6.75時間進んだときの距離を求めよ。

44. What is the total distance that two people travel in 3 h if one of them is riding a bike at 15 mi/h and the other is walking at 3 mi/h?

44. 一人が時速15マイルで自転車に乗り、もう一人が時速3マイルで歩くとき、3時間で二人が進む距離の合計はいくらか。

45. If the area model for a triangle is $A = \frac{1}{2} b h,$ find the area of a triangle with a height of 16 in. and a base of 11 in.

45. 三角形の面積の式が $A = \frac{1}{2} b h$ のとき、高さ16インチ、底辺11インチの三角形の面積を求めよ。

46. Solve for h: $A = \frac{1}{2} b h$

46. h について解け。 $A = \frac{1}{2} b h$

47. Use the formula from the previous question to find the height to the nearest tenth of a triangle with a base of 15 and an area of 215.

47. 前問の公式を使い、底辺15、面積215の三角形の高さを小数第一位まで求めよ。

48. The volume formula for a cylinder is $V = π r^{2} h .$ Using the symbol $π$ in your answer, find the volume of a cylinder with a radius, $r,$ of 4 cm and a height of 14 cm.

48. 円柱の体積の公式は $V = π r^{2} h$ である。答えに記号 $π$ を使い、半径 $r$ が4cm、高さが14cm の円柱の体積を求めよ。

49. Solve for h: $V = π r^{2} h$

49. h について解け。 $V = π r^{2} h$

50. Use the formula from the previous question to find the height of a cylinder with a radius of 8 and a volume of $16 π$

50. 前問の公式を使い、半径8、体積 $16 π$ の円柱の高さを求めよ。

51. Solve for r: $V = π r^{2} h$

51. r について解け。 $V = π r^{2} h$

52. Use the formula from the previous question to find the radius of a cylinder with a height of 36 and a volume of $324 π .$

52. 前問の公式を使い、高さ36、体積 $324 π$ の円柱の半径を求めよ。

53. The formula for the circumference of a circle is $C = 2 π r .$ Find the circumference of a circle with a diameter of 12 in. (diameter = 2r). Use the symbol $π$ in your final answer.

53. 円周の公式は $C = 2 π r$ である。直径12インチの円の円周を求めよ(直径 = 2r)。最後の答えには記号 $π$ を使え。

54. Solve the formula from the previous question for $π .$ Notice why $π$ is sometimes defined as the ratio of the circumference to its diameter.

54. 前問の公式を $π$ について解け。 $π$ が円周と直径の比として定義されることがあるのは、なぜかが分かるだろう。