第2章方程式と不等式Equations and Inequalities

2.7 Linear Inequalities and Absolute Value Inequalities2.7 一次不等式と絶対値を含む不等式

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Use interval notation• Use properties of inequalities.• Solve inequalities in one variable algebraically.• Solve absolute value inequalities.

・区間の書き方を使う。・不等式の性質を使う。・一変数の不等式を式の上で解く。・絶対値を含む不等式を解く。

Several red winner’s ribbons lie on a white table.

It is not easy to make the honor roll at most top universities. Suppose students were required to carry a course load of at least 12 credit hours and maintain a grade point average of 3.5 or above. How could these honor roll requirements be expressed mathematically? In this section, we will explore various ways to express different sets of numbers, inequalities, and absolute value inequalities.

たいていの一流大学で、優等生名簿に載るのは容易ではない。学生に、少なくとも12単位時間の履修と、3.5以上の成績平均点が求められるとしよう。この名簿の条件を数学でどう表せるだろうか。この節では、いろいろな数の集合・不等式・絶対値を含む不等式を表すさまざまな方法を調べる。

Using Interval Notation区間の書き方を使う

Indicating the solution to an inequality such as $x \geq 4$ can be achieved in several ways.

$x \geq 4$ のような不等式の解は、いくつかの方法で示せる。

We can use a number line as shown in Figure 2. The blue ray begins at $x = 4$ and, as indicated by the arrowhead, continues to infinity, which illustrates that the solution set includes all real numbers greater than or equal to 4.

図2のように数直線を使える。青い半直線は $x = 4$ から始まり、矢の先が示すように無限へ続く。これは、解の集合が4以上のすべての実数からなることを表している。

We can use set-builder notation: ${x | x \geq 4},$ which translates to “all real numbers x such that x is greater than or equal to 4.” Notice that braces are used to indicate a set.

集合の内包的な書き方も使える。 ${x | x \geq 4}$ は「4以上であるような実数 x すべて」と読む。集合を示すのに波括弧を使うことに注意せよ。

The third method is interval notation, in which solution sets are indicated with parentheses or brackets. The solutions to $x \geq 4$ are represented as $[4, \infty) .$ This is perhaps the most useful method, as it applies to concepts studied later in this course and to other higher-level math courses.

三つ目の方法が区間の書き方で、解の集合を丸括弧または角括弧で示す。 $x \geq 4$ の解は $[4, \infty)$ と表す。この講義で後に学ぶ概念にも、さらに上の数学の講義にも使えるので、これがおそらくもっとも役に立つ方法である。

The main concept to remember is that parentheses represent solutions greater or less than the number, and brackets represent solutions that are greater than or equal to or less than or equal to the number. Use parentheses to represent infinity or negative infinity, since positive and negative infinity are not numbers in the usual sense of the word and, therefore, cannot be “equaled.” A few examples of an interval, or a set of numbers in which a solution falls, are $[−2, 6),$ or all numbers between $−2$ and $6,$ including $−2,$ but not including $6;$ $(- 1, 0),$ all real numbers between, but not including $−1$ and $0;$ and $(- \infty, 1],$ all real numbers less than and including $1.$ Table 1 outlines the possibilities.

覚えておくべき要点は、丸括弧はその数より大きい(または小さい)解を表し、角括弧はその数以上(または以下)の解を表す、ということである。無限や負の無限には丸括弧を使う。正の無限も負の無限もふつうの意味での数ではないので、「等しく」なりようがないからである。区間、すなわち解が入る数の集合の例をいくつか挙げると、 $[−2, 6)$ は $−2$ と $6$ のあいだの数すべてで、 $−2$ は含むが $6;$ は含まない。 $(- 1, 0)$ は $−1$ と $0;$ のあいだの実数すべてで、両端は含まない。 $(- \infty, 1]$ は $1.$ 以下の実数すべてである。表1にありうる場合をまとめる。

Set Indicated表す集合	Set-Builder Notation集合の内包的な書き方	Interval Notation区間の書き方
All real numbers between a and b, but not including a or ba と b のあいだの実数すべて。a も b も含まない	${x \| a < x < b}$	$(a, b)$
All real numbers greater than a, but not including aa より大きい実数すべて。a は含まない	${x \| x > a}$	$(a, \infty)$
All real numbers less than b, but not including bb より小さい実数すべて。b は含まない	${x \| x < b}$	$(- \infty, b)$
All real numbers greater than a, including aa より大きい実数すべて。a を含む	${x \| x \geq a}$	$[a, \infty)$
All real numbers less than b, including bb より小さい実数すべて。b を含む	${x \| x \leq b}$	$(- \infty, b]$
All real numbers between a and b, including aa と b のあいだの実数すべて。a を含む	${x \| a \leq x < b}$	$[a, b)$
All real numbers between a and b, including ba と b のあいだの実数すべて。b を含む	${x \| a < x \leq b}$	$(a, b]$
All real numbers between a and b, including a and ba と b のあいだの実数すべて。a も b も含む	${x \| a \leq x \leq b}$	$[a, b]$
All real numbers less than a or greater than ba より小さいか、b より大きい実数すべて	${x \| x < a or x > b}$	$(- \infty, a) \cup (b, \infty)$
All real numbers実数すべて	${x \| x is all real numbers}$	$(- \infty, \infty)$

Example 1例1

Using Interval Notation to Express All Real Numbers Greater Than or Equal to a区間の書き方で「a 以上の実数すべて」を表す

Use interval notation to indicate all real numbers greater than or equal to $−2.$

区間の書き方で、 $−2.$ 以上の実数すべてを表せ。

Solution 解答

Use a bracket on the left of $−2$ and parentheses after infinity: $[−2, \infty) .$ The bracket indicates that $−2$ is included in the set with all real numbers greater than $−2$ to infinity.

$−2$ の左には角括弧を、無限の後には丸括弧を使う。 $[−2, \infty)$ である。角括弧は、 $−2$ より大きく無限までのすべての実数に加えて $−2$ 自身もこの集合に入ることを示す。

Try It #1やってみよう1

Use interval notation to indicate all real numbers between and including $−3$ and $5.$

区間の書き方で、 $−3$ と $5.$ のあいだの実数すべて(両端を含む)を表せ。

Example 2例2

Using Interval Notation to Express All Real Numbers Less Than or Equal to a or Greater Than or Equal to b区間の書き方で「a 以下または b 以上の実数すべて」を表す

Write the interval expressing all real numbers less than or equal to $−1$ or greater than or equal to $1.$

$−1$ 以下または $1.$ 以上の実数すべてを表す区間を書け。

Solution 解答

We have to write two intervals for this example. The first interval must indicate all real numbers less than or equal to 1. So, this interval begins at $- \infty$ and ends at $−1,$ which is written as $(- \infty, −1] .$

この例では区間を二つ書かなければならない。一つ目の区間は1以下の実数すべてを表す。よってこの区間は $- \infty$ から始まって $−1$ で終わり、 $(- \infty, −1]$ と書く。

The second interval must show all real numbers greater than or equal to $1,$ which is written as $[1, \infty) .$ However, we want to combine these two sets. We accomplish this by inserting the union symbol, $\cup,$ between the two intervals.

二つ目の区間は $1$ 以上の実数すべてを表し、 $[1, \infty)$ と書く。しかしこの二つの集合を合わせたい。そのために、二つの区間のあいだに和の記号 $\cup$ を入れる。

(- \infty, −1] \cup [1, \infty)

Try It #2やってみよう2

Express all real numbers less than $−2$ or greater than or equal to 3 in interval notation.

$−2$ より小さいか3以上の実数すべてを、区間の書き方で表せ。

Using the Properties of Inequalities不等式の性質を使う

When we work with inequalities, we can usually treat them similarly to but not exactly as we treat equalities. We can use the addition property and the multiplication property to help us solve them. The one exception is when we multiply or divide by a negative number; doing so reverses the inequality symbol.

不等式を扱うときは、たいてい等式と似た扱いができる。ただしまったく同じではない。解くには加法の性質と乗法の性質が使える。唯一の例外は負の数を掛けたり割ったりするときで、そうすると不等号の向きが逆になる。

A General Note 重要事項

Properties of Inequalities不等式の性質

\begin{array}{l} A d d i t i o n P r o p e r t y & If a < b, then a + c < b + c . \\ M u l t i p l i c a t i o n P r o p e r t y & If a < b and c > 0, then a c < b c . \\ If a < b and c < 0, then a c > b c . \end{array}

These properties also apply to $a \leq b,$ $a > b,$ and $a \geq b .$

これらの性質は $a \leq b$ 、 $a > b$ 、 $a \geq b$ にも当てはまる。

Example 3例3

Demonstrating the Addition Property加法の性質を示す

Illustrate the addition property for inequalities by solving each of the following:

次の各式を解いて、不等式の加法の性質を示せ。

ⓐ $x - 15 < 4$ ⓑ $6 \geq x - 1$ ⓒ $x + 7 > 9$

Solution 解答

The addition property for inequalities states that if an inequality exists, adding or subtracting the same number on both sides does not change the inequality.

不等式の加法の性質は、不等式が成り立っているとき、両辺に同じ数を足したり引いたりしても不等式は変わらない、と述べる。

ⓐ
$\begin{array}{l} x - 15 < 4 \\ x - 15 + 15 < 4 + 15 & Add 15 to both sides . \\ x < 19 \end{array}$ ⓑ
$\begin{array}{l} 6 \geq x - 1 \\ 6 + 1 \geq x - 1 + 1 & Add 1 to both sides . \\ 7 \geq x \end{array}$ ⓒ
$\begin{array}{l} x + 7 > 9 \\ x + 7 - 7 > 9 - 7 & Subtract 7 from both sides . \\ x > 2 \end{array}$

Try It #3やってみよう3

Solve: $3 x −2 < 1.$

$3 x −2 < 1.$ を解け。

Example 4例4

Demonstrating the Multiplication Property乗法の性質を示す

Illustrate the multiplication property for inequalities by solving each of the following:

次の各式を解いて、不等式の乗法の性質を示せ。

ⓐ $3 x < 6$ ⓑ $−2 x - 1 \geq 5$ ⓒ $5 - x > 10$

Solution 解答

ⓐ
$\begin{array}{l} 3 x < 6 \\ \frac{1}{3} (3 x) < (6) \frac{1}{3} \\ x < 2 \end{array}$ ⓑ
$\begin{array}{l} - 2 x - 1 \geq 5 \\ - 2 x \geq 6 \\ (- \frac{1}{2}) (- 2 x) \geq (6) (- \frac{1}{2}) & Multiply by - \frac{1}{2} . \\ x \leq - 3 & Reverse the inequality . \end{array}$ ⓒ
$\begin{array}{l} 5 - x > 10 \\ - x > 5 \\ (- 1) (- x) > (5) (- 1) & Multiply by - 1. \\ x < - 5 & Reverse the inequality . \end{array}$

式中の英語：Multiply by：掛ける数：／ Reverse the inequality：不等号の向きを逆にする

Try It #4やってみよう4

Solve: $4 x + 7 \geq 2 x - 3.$

$4 x + 7 \geq 2 x - 3.$ を解け。

Solving Inequalities in One Variable Algebraically一変数の不等式を式の上で解く

As the examples have shown, we can perform the same operations on both sides of an inequality, just as we do with equations; we combine like terms and perform operations. To solve, we isolate the variable.

例で見たとおり、方程式のときと同じように、不等式でも両辺に同じ計算を行える。同類項をまとめ、計算をする。解くには、変数だけを残す。

Example 5例5

Solving an Inequality Algebraically不等式を式の上で解く

Solve the inequality: $13 - 7 x \geq 10 x - 4.$

不等式 $13 - 7 x \geq 10 x - 4.$ を解け。

Solution 解答

Solving this inequality is similar to solving an equation up until the last step.

この不等式は、最後の一手まで方程式を解くのとよく似ている。

\begin{array}{l} 13 - 7 x \geq 10 x - 4 \\ 13 - 17 x \geq −4 & Move variable terms to one side of the inequality . \\ −17 x \geq −17 & Isolate the variable term . \\ x \leq 1 & Dividing both sides by −17 reverses the inequality . \end{array}

The solution set is given by the interval $(- \infty, 1],$ or all real numbers less than and including 1.

解の集合は区間 $(- \infty, 1]$ 、すなわち1以下の実数すべてで与えられる。

Try It #5やってみよう5

Solve the inequality and write the answer using interval notation: $- x + 4 < \frac{1}{2} x + 1.$

不等式 $- x + 4 < \frac{1}{2} x + 1.$ を解き、答えを区間の書き方で書け。

Example 6例6

Solving an Inequality with Fractions分数を含む不等式を解く

Solve the following inequality and write the answer in interval notation: $- \frac{3}{4} x \geq - \frac{5}{8} + \frac{2}{3} x .$

次の不等式 $- \frac{3}{4} x \geq - \frac{5}{8} + \frac{2}{3} x$ を解き、答えを区間の書き方で書け。

Solution 解答

We begin solving in the same way we do when solving an equation.

方程式を解くときと同じやり方で解き始める。

\begin{array}{l} - \frac{3}{4} x \geq - \frac{5}{8} + \frac{2}{3} x \\ - \frac{3}{4} x - \frac{2}{3} x \geq - \frac{5}{8} & Put variable terms on one side . \\ - \frac{9}{12} x - \frac{8}{12} x \geq - \frac{5}{8} & Write fractions with common denominator . \\ - \frac{17}{12} x \geq - \frac{5}{8} \\ x \leq - \frac{5}{8} (- \frac{12}{17}) & Multiplying by a negative number reverses the inequality . \\ x \leq \frac{15}{34} \end{array}

The solution set is the interval $(- \infty, \frac{15}{34}] .$

解の集合は区間 $(- \infty, \frac{15}{34}]$ である。

Try It #6やってみよう6

Solve the inequality and write the answer in interval notation: $- \frac{5}{6} x \leq \frac{3}{4} + \frac{8}{3} x .$

不等式 $- \frac{5}{6} x \leq \frac{3}{4} + \frac{8}{3} x$ を解き、答えを区間の書き方で書け。

Understanding Compound Inequalities連立した不等式を理解する

A compound inequality includes two inequalities in one statement. A statement such as $4 < x \leq 6$ means $4 < x$ and $x \leq 6.$ There are two ways to solve compound inequalities: separating them into two separate inequalities or leaving the compound inequality intact and performing operations on all three parts at the same time. We will illustrate both methods.

連立した不等式は、一つの文の中に二つの不等式を含む。 $4 < x \leq 6$ のような文は、 $4 < x$ かつ $x \leq 6.$ を意味する。連立した不等式の解き方は二つある。二つの別々の不等式に分ける方法と、連立したまま三つの部分すべてに同時に計算を行う方法である。どちらも示す。

Example 7例7

Solving a Compound Inequality連立した不等式を解く

Solve the compound inequality: $3 \leq 2 x + 2 < 6.$

連立した不等式 $3 \leq 2 x + 2 < 6.$ を解け。

Solution 解答

The first method is to write two separate inequalities: $3 \leq 2 x + 2$ and $2 x + 2 < 6.$ We solve them independently.

一つ目の方法は、二つの別々の不等式 $3 \leq 2 x + 2$ と $2 x + 2 < 6.$ を書くことである。それぞれ別々に解く。

\begin{array}{l} 3 \leq 2 x + 2 & and & 2 x + 2 < 6 \\ 1 \leq 2 x & 2 x < 4 \\ \frac{1}{2} \leq x & x < 2 \end{array}

Then, we can rewrite the solution as a compound inequality, the same way the problem began.

そのうえで、問題と同じ形の連立した不等式として解を書き直せる。

\frac{1}{2} \leq x < 2

In interval notation, the solution is written as $[\frac{1}{2}, 2) .$

区間の書き方では、解は $[\frac{1}{2}, 2)$ と書く。

The second method is to leave the compound inequality intact, and perform solving procedures on the three parts at the same time.

二つ目の方法は、連立した不等式をそのままにして、三つの部分に同時に解く手つきを行うことである。

\begin{array}{l} 3 \leq 2 x + 2 < 6 \\ 1 \leq 2 x < 4 & Isolate the variable term, and subtract 2 from all three parts . \\ \frac{1}{2} \leq x < 2 & Divide through all three parts by 2 . \end{array}

We get the same solution: $[\frac{1}{2}, 2) .$

同じ解 $[\frac{1}{2}, 2)$ が得られる。

Try It #7やってみよう7

Solve the compound inequality: $4 < 2 x - 8 \leq 10.$

連立した不等式 $4 < 2 x - 8 \leq 10.$ を解け。

Example 8例8

Solving a Compound Inequality with the Variable in All Three Parts三つの部分すべてに変数がある、連立した不等式を解く

Solve the compound inequality with variables in all three parts: $3 + x > 7 x - 2 > 5 x - 10.$

三つの部分すべてに変数がある、連立した不等式 $3 + x > 7 x - 2 > 5 x - 10.$ を解け。

Solution 解答

Let's try the first method. Write two inequalities:

一つ目の方法を試そう。二つの不等式を書く。

\begin{array}{l} 3 + x > 7 x - 2 & and & 7 x - 2 > 5 x - 10 \\ 3 > 6 x - 2 & 2 x - 2 > −10 \\ 5 > 6 x & 2 x > −8 \\ \frac{5}{6} > x & x > −4 \\ x < \frac{5}{6} & −4 < x \end{array}

The solution set is $−4 < x < \frac{5}{6}$ or in interval notation $(−4, \frac{5}{6}) .$ Notice that when we write the solution in interval notation, the smaller number comes first. We read intervals from left to right, as they appear on a number line. See Figure 3.

解の集合は $−4 < x < \frac{5}{6}$ 、区間の書き方では $(−4, \frac{5}{6})$ である。区間の書き方で解を書くときは、小さい方の数が先に来ることに注意せよ。区間は数直線に現れるとおり、左から右へ読む。図3を見よ。

A number line with the points -4 and 5/6 labeled. Dots appear at these points and a line connects these two dots.

Try It #8やってみよう8

Solve the compound inequality: $3 y < 4 - 5 y < 5 + 3 y .$

連立した不等式 $3 y < 4 - 5 y < 5 + 3 y$ を解け。

Solving Absolute Value Inequalities絶対値を含む不等式を解く

As we know, the absolute value of a quantity is a positive number or zero. From the origin, a point located at $(- x, 0)$ has an absolute value of $x,$ as it is x units away. Consider absolute value as the distance from one point to another point. Regardless of direction, positive or negative, the distance between the two points is represented as a positive number or zero.

知ってのとおり、ある量の絶対値は正の数か0である。原点から見て $(- x, 0)$ にある点は、x 単位だけ離れているので絶対値は $x$ である。絶対値は、ある点から別の点までの距離だと考えよう。向きが正であれ負であれ、二点間の距離は正の数か0で表される。

An absolute value inequality is an equation of the form

絶対値を含む不等式とは、次の形の式である。

| A | < B, | A | \leq B, | A | > B, or | A | \geq B,

Where A, and sometimes B, represents an algebraic expression dependent on a variable x. Solving the inequality means finding the set of all $x$ -values that satisfy the problem. Usually this set will be an interval or the union of two intervals and will include a range of values.

ここで A は、そして場合によっては B も、変数 x に依る代数式である。この不等式を解くとは、問題を満たす $x$ の値すべての集合を求めることである。たいていこの集合は一つの区間か、二つの区間を合わせたものになり、ある幅の値を含む。

There are two basic approaches to solving absolute value inequalities: graphical and algebraic. The advantage of the graphical approach is we can read the solution by interpreting the graphs of two equations. The advantage of the algebraic approach is that solutions are exact, as precise solutions are sometimes difficult to read from a graph.

絶対値を含む不等式を解くには、大きく分けて図による方法と式による方法の二つがある。図による方法の利点は、二つの方程式のグラフを読めば解が分かることである。式による方法の利点は、解が厳密なことである。グラフからは正確な解を読み取りにくいこともある。

Suppose we want to know all possible returns on an investment if we could earn some amount of money within $200 of $600. We can solve algebraically for the set of x-values such that the distance between $x$ and 600 is less than or equal to 200. We represent the distance between $x$ and 600 as $| x - 600 |,$ and therefore, $| x - 600 | \leq 200$ or

600ドルから200ドル以内のある額を稼げるとして、投資からありうる収益をすべて知りたいとしよう。 $x$ と600のあいだの距離が200以下となるような x の値の集合を、式の上で求められる。 $x$ と600のあいだの距離を $| x - 600 |$ と表せば、 $| x - 600 | \leq 200$ すなわち次のようになる。

\begin{matrix} −200 \leq x - 600 \leq 200 \\ −200 + 600 \leq x - 600 + 600 \leq 200 + 600 \\ 400 \leq x \leq 800 \end{matrix}

This means our returns would be between $400 and $800.

つまり収益は400ドルから800ドルのあいだになる。

To solve absolute value inequalities, just as with absolute value equations, we write two inequalities and then solve them independently.

絶対値の方程式のときと同じように、絶対値を含む不等式を解くには、二つの不等式を書いてそれぞれ別々に解く。

A General Note 重要事項

Absolute Value Inequalities絶対値を含む不等式

For an algebraic expression X, and $k > 0,$ an absolute value inequality is an inequality of the form

代数式 X と $k > 0$ について、絶対値を含む不等式とは次の形の不等式である。

\begin{array}{l} | X | < k is equivalent to - k < X < k \\ | X | > k is equivalent to X < - k or X > k \end{array}

These statements also apply to $| X | \leq k$ and $| X | \geq k .$

これらの言明は $| X | \leq k$ と $| X | \geq k$ にも当てはまる。

Example 9例9

Determining a Number within a Prescribed Distance決められた距離の中にある数を求める

Describe all values $x$ within a distance of 4 from the number 5.

数5から距離4以内にある値 $x$ をすべて述べよ。

Solution 解答

We want the distance between $x$ and 5 to be less than or equal to 4. We can draw a number line, such as in Figure 4, to represent the condition to be satisfied.

$x$ と5のあいだの距離を4以下にしたい。満たすべき条件を表すために、図4のような数直線を描ける。

A number line with one tick mark in the center labeled: 5. The tick marks on either side of the center one are not marked. Arrows extend from the center tick mark to the outer tick marks, both are labeled 4.

The distance from $x$ to 5 can be represented using an absolute value symbol, $| x - 5 | .$ Write the values of $x$ that satisfy the condition as an absolute value inequality.

$x$ から5までの距離は、絶対値の記号を使って $| x - 5 |$ と表せる。条件を満たす $x$ の値を、絶対値を含む不等式として書く。

| x - 5 | \leq 4

We need to write two inequalities as there are always two solutions to an absolute value equation.

絶対値の方程式にはつねに解が二つあるので、不等式も二つ書く必要がある。

\begin{array}{l} x - 5 \leq 4 & and & x - 5 \geq - 4 \\ x \leq 9 & x \geq 1 \end{array}

If the solution set is $x \leq 9$ and $x \geq 1,$ then the solution set is an interval including all real numbers between and including 1 and 9.

解の集合が $x \leq 9$ かつ $x \geq 1$ なら、解の集合は1と9のあいだの実数すべて(両端を含む)からなる区間である。

So $| x - 5 | \leq 4$ is equivalent to $[1, 9]$ in interval notation.

よって $| x - 5 | \leq 4$ は、区間の書き方では $[1, 9]$ と同じである。

Try It #9やってみよう9

Describe all x-values within a distance of 3 from the number 2.

数2から距離3以内にある x の値をすべて述べよ。

Example 10例10

Solving an Absolute Value Inequality絶対値を含む不等式を解く

Solve $| x - 1 | \leq 3$ .

$| x - 1 | \leq 3$ を解け。

Solution 解答

\begin{array}{l} | x - 1 | \leq 3 \\ −3 \leq x - 1 \leq 3 \\ −2 \leq x \leq 4 \\ [−2, 4] \end{array}

Example 11例11

Using a Graphical Approach to Solve Absolute Value Inequalities図による方法で絶対値を含む不等式を解く

Given the equation $y = - \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3,$ determine the x-values for which the y-values are negative.

方程式 $y = - \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3$ が与えられたとき、y の値が負になる x の値を求めよ。

Solution 解答

We are trying to determine where $y < 0,$ which is when $- \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3 < 0.$ We begin by isolating the absolute value.

$y < 0$ となるのはどこか、すなわち $- \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3 < 0.$ となるのはどこかを求めようとしている。まず絶対値の式だけを残す。

\begin{array}{l} - \frac{1}{2} | 4 x - 5 | < - 3 & Multiply both sides by –2, and reverse the inequality . \\ | 4 x - 5 | > 6 \end{array}

Next, we solve for the equality $| 4 x - 5 | = 6.$

次に、等式 $| 4 x - 5 | = 6.$ を解く。

\begin{array}{l} 4 x - 5 = 6 & 4 x - 5 = - 6 \\ 4 x = 11 & or & 4 x = - 1 \\ x = \frac{11}{4} & x = - \frac{1}{4} \end{array}

Now, we can examine the graph to observe where the y-values are negative. We observe where the branches are below the x-axis. Notice that it is not important exactly what the graph looks like, as long as we know that it crosses the horizontal axis at $x = - \frac{1}{4}$ and $x = \frac{11}{4},$ and that the graph opens downward. See Figure 5.

これでグラフを見て、y の値が負になるところを調べられる。枝が x軸より下にあるところを見ればよい。グラフが横の軸と $x = - \frac{1}{4}$ と $x = \frac{11}{4}$ で交わり、下に開いていると分かってさえいれば、グラフの正確な形は大事ではないことに注意せよ。図5を見よ。

A coordinate plan with the x-axis ranging from -5 to 5 and the y-axis ranging from -4 to 4. The function y = -1/2|4x – 5| + 3 is graphed. An open circle appears at the point -0.25 and an arrow

Try It #10やってみよう10

Solve $- 2 | k - 4 | \leq - 6.$

$- 2 | k - 4 | \leq - 6.$ を解け。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with linear inequalities and absolute value inequalities.

一次不等式と絶対値を含む不等式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Interval notation• How to solve linear inequalities• How to solve an inequality• Absolute value equations• Compound inequalities• Absolute value inequalities

・区間の書き方・一次不等式の解き方・不等式の解き方・絶対値の方程式・連立した不等式・絶対値を含む不等式

Verbal言葉で答える問題

1. When solving an inequality, explain what happened from Step 1 to Step 2:

1. 不等式を解くとき、手順1から手順2で何が起きたかを説明せよ。

$\begin{array}{l} Step 1 & - 2 x > 6 \\ Step 2 & x < - 3 \end{array}$

2. When solving an inequality, we arrive at:

2. 不等式を解いていて、次にたどり着いた。

$\begin{array}{l} x + 2 < x + 3 \\ 2 < 3 \end{array}$

Explain what our solution set is.

解の集合が何かを説明せよ。

3. When writing our solution in interval notation, how do we represent all the real numbers?

3. 解を区間の書き方で書くとき、実数すべてをどう表すか。

4. When solving an inequality, we arrive at:

4. 不等式を解いていて、次にたどり着いた。

$\begin{array}{l} x + 2 > x + 3 \\ 2 > 3 \end{array}$

Explain what our solution set is.

解の集合が何かを説明せよ。

5. Describe how to graph $y = | x - 3 |$

5. $y = | x - 3 |$ のグラフの描き方を述べよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, solve the inequality. Write your final answer in interval notation.

次の各問について、不等式を解け。最後の答えは区間の書き方で書け。

6. $4 x - 7 \leq 9$

7. $3 x + 2 \geq 7 x - 1$

8. $−2 x + 3 > x - 5$

9. $4 (x + 3) \geq 2 x - 1$

10. $- \frac{1}{2} x \leq - \frac{5}{4} + \frac{2}{5} x$

11. $−5 (x - 1) + 3 > 3 x - 4 - 4 x$

12. $−3 (2 x + 1) > −2 (x + 4)$

13. $\frac{x + 3}{8} - \frac{x + 5}{5} \geq \frac{3}{10}$

14. $\frac{x - 1}{3} + \frac{x + 2}{5} \leq \frac{3}{5}$

For the following exercises, solve the inequality involving absolute value. Write your final answer in interval notation.

次の各問について、絶対値を含む不等式を解け。最後の答えは区間の書き方で書け。

15. $| x + 9 | \geq −6$

16. $| 2 x + 3 | < 7$

17. $| 3 x - 1 | > 11$

18. $| 2 x + 1 | + 1 \leq 6$

19. $| x - 2 | + 4 \geq 10$

20. $| −2 x + 7 | \leq 13$

21. $| x - 7 | < −4$

22. $| x - 20 | > −1$

23. $| \frac{x - 3}{4} | < 2$

For the following exercises, describe all the x-values within or including a distance of the given values.

次の各問について、与えられた値から決められた距離の中にある(境を含む)x の値をすべて述べよ。

24. Distance of 5 units from the number 7

24. 数7から5単位の距離

25. Distance of 3 units from the number 9

25. 数9から3単位の距離

26. Distance of 10 units from the number 4

26. 数4から10単位の距離

27. Distance of 11 units from the number 1

27. 数1から11単位の距離

For the following exercises, solve the compound inequality. Express your answer using inequality signs, and then write your answer using interval notation.

次の各問について、連立した不等式を解け。答えを不等号を使って表し、そのうえで区間の書き方でも書け。

28. $−4 < 3 x + 2 \leq 18$

29. $3 x + 1 > 2 x - 5 > x - 7$

30. $3 y < 5 - 2 y < 7 + y$

31. $2 x - 5 < −11 or 5 x + 1 \geq 6$

式中の英語：or：または

32. $x + 7 < x + 2$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, graph the function. Observe the points of intersection and shade the x-axis representing the solution set to the inequality. Show your graph and write your final answer in interval notation.

次の各問について、関数のグラフを描け。交点を見て、不等式の解の集合にあたる x軸の部分に影を付けよ。グラフを示し、最後の答えを区間の書き方で書け。

33. $| x - 1 | > 2$

34. $| x + 3 | \geq 5$

35. $| x + 7 | \leq 4$

36. $| x - 2 | < 7$

37. $| x - 2 | < 0$

For the following exercises, graph both straight lines (left-hand side being y1 and right-hand side being y2) on the same axes. Find the point of intersection and solve the inequality by observing where it is true comparing the y-values of the lines.

次の各問について、二本の直線(左辺を y1、右辺を y2 とする)を同じ座標軸に描け。交点を求め、二本の直線の y の値を見比べて不等式が成り立つところを見つけ、解け。

38. $x + 3 < 3 x - 4$

39. $x - 2 > 2 x + 1$

40. $x + 1 > x + 4$

41. $\frac{1}{2} x + 1 > \frac{1}{2} x - 5$

42. $4 x + 1 < \frac{1}{2} x + 3$

Numeric数値の問題

For the following exercises, write the set in interval notation.

次の各問について、集合を区間の書き方で書け。

43. ${x | −1 < x < 3}$

44. ${x | x \geq 7}$

45. ${x | x < 4}$

46. ${x | x is all real numbers}$

式中の英語：is all real numbers：は実数全体

For the following exercises, write the interval in set-builder notation.

次の各問について、区間を集合の内包的な書き方で書け。

47. $(- \infty, 6)$

48. $(4, \infty)$

49. $[−3, 5)$

50. $[−4, 1] \cup [9, \infty)$

For the following exercises, write the set of numbers represented on the number line in interval notation.

次の各問について、数直線に示された数の集合を区間の書き方で書け。

51.

52.

Number line with two tick marks labeled: -1 and 2 respectively. There is an open circle around the tick mark labeled -1 and a line that extends leftward from the circle. There is a dot around the tick mark labeled 2 and a line that extends rightward from the dot.

53.

Technology機器を使う問題

For the following exercises, input the left-hand side of the inequality as a Y1 graph in your graphing utility. Enter y2 = the right-hand side. Entering the absolute value of an expression is found in the MATH menu, Num, 1:abs(. Find the points of intersection, recall (2^nd CALC 5:intersection, 1^st curve, enter, 2^nd curve, enter, guess, enter). Copy a sketch of the graph and shade the x-axis for your solution set to the inequality. Write final answers in interval notation.

次の各問について、不等式の左辺をグラフ作成ツールに Y1 として入力せよ。y2 には右辺を入れる。式の絶対値は MATH メニューの Num、1:abs( にある。交点を求める(2nd CALC 5:intersection、1st curve、enter、2nd curve、enter、guess、enter)。グラフの写しをとり、不等式の解の集合にあたる x軸の部分に影を付けよ。最後の答えは区間の書き方で書け。

54. $| x + 2 | - 5 < 2$

55. $\frac{- 1}{2} | x + 2 | < 4$

56. $| 4 x + 1 | - 3 > 2$

57. $| x - 4 | < 3$

58. $| x + 2 | \geq 5$

Extensions発展問題

59. Solve $| 3 x + 1 | = | 2 x + 3 |$

59. $| 3 x + 1 | = | 2 x + 3 |$ を解け。

60. Solve $x^{2} - x > 12$

60. $x^{2} - x > 12$ を解け。

61. $\frac{x - 5}{x + 7} \leq 0,$ $x \neq −7$

62. $p = - x^{2} + 130 x - 3000$ is a profit formula for a small business. Find the set of x-values that will keep this profit positive.

62. $p = - x^{2} + 130 x - 3000$ は、ある小さな商店の利益の式である。この利益を正に保つ x の値の集合を求めよ。

Real-World Applications応用問題

63. In chemistry the volume for a certain gas is given by $V = 20 T,$ where V is measured in cc and T is temperature in ºC. If the temperature varies between 80ºC and 120ºC, find the set of volume values.

63. 化学において、ある気体の体積は $V = 20 T$ で与えられる。ここで V は cc で測った体積、T は摂氏の温度である。温度が80℃から120℃のあいだで変わるとき、体積の値の集合を求めよ。

64. A basic cellular package costs $20/mo. for 60 min of calling, with an additional charge of $.30/min beyond that time.. The cost formula would be $C = 20 + .30 (x - 60) .$ If you have to keep your bill no greater than $50, what is the maximum calling minutes you can use?

64. 携帯電話の基本の契約は、月20ドルで60分の通話ができ、それを超えると1分あたり0.30ドルが加算される。費用の式は $C = 20 + .30 (x - 60)$ となる。請求額を50ドル以下に抑えなければならないとき、使える通話時間は最大何分か。