第2章方程式と不等式Equations and Inequalities

2.5 Quadratic Equations2.5 二次方程式

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Solve quadratic equations by factoring.• Solve quadratic equations by the square root property.• Solve quadratic equations by completing the square.• Solve quadratic equations by using the quadratic formula.

・因数分解で二次方程式を解く。・平方根の性質で二次方程式を解く。・平方完成で二次方程式を解く。・二次方程式の解の公式で二次方程式を解く。

Two televisions side-by-side. The right television is slightly larger than the left.

The computer monitor on the left in Figure 1 is a 23.6-inch model and the one on the right is a 27-inch model. Proportionally, the monitors appear very similar. If there is a limited amount of space and we desire the largest monitor possible, how do we decide which one to choose? In this section, we will learn how to solve problems such as this using four different methods.

図1の左の計算機の画面は23.6インチ型、右は27インチ型である。比で見ると、二つの画面はよく似ている。置ける場所が限られていて、しかもできるだけ大きい画面がほしいとき、どちらを選ぶかをどう決めればよいか。この節では、こうした問題を四つの違う方法で解く術を学ぶ。

Solving Quadratic Equations by Factoring因数分解で二次方程式を解く

An equation containing a second-degree polynomial is called a quadratic equation. For example, equations such as $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ and $x^{2} - 4 = 0$ are quadratic equations. They are used in countless ways in the fields of engineering, architecture, finance, biological science, and, of course, mathematics.

二次の多項式を含む方程式を二次方程式という。たとえば $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ や $x^{2} - 4 = 0$ は二次方程式である。二次方程式は、工学・建築・金融・生物科学、そしてもちろん数学の分野で数えきれないほど使われる。

Often the easiest method of solving a quadratic equation is factoring. Factoring means finding expressions that can be multiplied together to give the expression on one side of the equation.

二次方程式を解くのにいちばん楽なのは、たいてい因数分解である。因数分解とは、掛け合わせると方程式の片側の式になるような式を見つけることである。

If a quadratic equation can be factored, it is written as a product of linear terms. Solving by factoring depends on the zero-product property, which states that if $a \cdot b = 0,$ then $a = 0$ or $b = 0,$ where a and b are real numbers or algebraic expressions. In other words, if the product of two numbers or two expressions equals zero, then one of the numbers or one of the expressions must equal zero because zero multiplied by anything equals zero.

二次方程式が因数分解できるとき、それは一次の項どうしの積として書ける。因数分解による解法は、零因子の性質に頼っている。これは、 $a \cdot b = 0$ なら $a = 0$ または $b = 0$ である、というものである。ここで a と b は実数または代数式である。言い換えると、二つの数または二つの式の積が0なら、そのどちらかが0でなければならない。0に何を掛けても0だからである。

Multiplying the factors expands the equation to a string of terms separated by plus or minus signs. So, in that sense, the operation of multiplication undoes the operation of factoring. For example, expand the factored expression $(x - 2) (x + 3)$ by multiplying the two factors together.

因数どうしを掛けると、方程式はプラスやマイナスで区切られた項の並びに展開される。その意味で、掛けるという操作は因数分解を取り消す操作である。たとえば、因数分解された式 $(x - 2) (x + 3)$ を、二つの因数を掛け合わせて展開してみよう。

\begin{matrix} (x - 2) (x + 3) & = & x^{2} + 3 x - 2 x - 6 \\ = & x^{2} + x - 6 \end{matrix}

The product is a quadratic expression. Set equal to zero, $x^{2} + x - 6 = 0$ is a quadratic equation. If we were to factor the equation, we would get back the factors we multiplied.

積は二次式である。0とおけば $x^{2} + x - 6 = 0$ は二次方程式になる。この方程式を因数分解すれば、掛け合わせた因数が戻ってくる。

The process of factoring a quadratic equation depends on the leading coefficient, whether it is 1 or another integer. We will look at both situations; but first, we want to confirm that the equation is written in standard form, $a x^{2} + b x + c = 0,$ where a, b, and c are real numbers, and $a \neq 0.$ The equation $x^{2} + x - 6 = 0$ is in standard form.

二次方程式の因数分解の手つきは、最高次係数が1かそれ以外の整数かによって変わる。両方の場合を見ていく。ただしその前に、方程式が標準形 $a x^{2} + b x + c = 0$ で書かれていることを確かめたい。ここで a、b、c は実数で、 $a \neq 0.$ とする。方程式 $x^{2} + x - 6 = 0$ は標準形である。

We can use the zero-product property to solve quadratic equations in which we first have to factor out the greatest common factor (GCF), and for equations that have special factoring formulas as well, such as the difference of squares, both of which we will see later in this section.

零因子の性質は、まず最大公約因数(GCF)をくくり出す必要のある二次方程式にも、平方の差のように特別な因数分解の公式が使える方程式にも使える。どちらもこの節の後で見る。

The Zero-Product Property and Quadratic Equations 積が0となる条件と二次方程式

The zero-product property states

零因子の性質は次を述べる。

If a \cdot b = 0, then a = 0 or b = 0,

where a and b are real numbers or algebraic expressions.

ここで a と b は実数または代数式である。

A quadratic equation is an equation containing a second-degree polynomial; for example

二次方程式とは、二次の多項式を含む方程式である。たとえば

a x^{2} + b x + c = 0

where a, b, and c are real numbers, and if $a \neq 0,$ it is in standard form.

ここで a、b、c は実数である。 $a \neq 0$ ならこれは標準形である。

Solving Quadratics with a Leading Coefficient of 1最高次係数が1の二次方程式を解く

In the quadratic equation $x^{2} + x - 6 = 0,$ the leading coefficient, or the coefficient of $x^{2},$ is 1. We have one method of factoring quadratic equations in this form.

二次方程式 $x^{2} + x - 6 = 0$ では、最高次係数、すなわち $x^{2}$ の係数は1である。この形の二次方程式を因数分解する方法が一つある。

How To 手順

Given a quadratic equation with the leading coefficient of 1, factor it.

最高次係数が1の二次方程式が与えられたとき、それを因数分解する。

1. Find two numbers whose product equals c and whose sum equals b.2. Use those numbers to write two factors of the form $(x + k) or (x - k),$ where k is one of the numbers found in step 1. Use the numbers exactly as they are. In other words, if the two numbers are 1 and $−2,$ the factors are $(x + 1) (x - 2) .$ 3. Solve using the zero-product property by setting each factor equal to zero and solving for the variable.

1. 積が c、和が b になる二つの数を見つける。2. その数を使って $(x + k) または (x - k)$ の形の因数を二つ書く。ここで k は手順1で見つけた数の一方である。数はそのまま使うこと。つまり、二つの数が1と $−2$ なら、因数は $(x + 1) (x - 2)$ である。3. 各因数を0とおいて変数について解き、零因子の性質を使って解く。

Example 1例1

Factoring and Solving a Quadratic with Leading Coefficient of 1最高次係数が1の二次方程式を因数分解して解く

Factor and solve the equation: $x^{2} + x - 6 = 0.$

方程式 $x^{2} + x - 6 = 0.$ を因数分解して解け。

Solution 解答

To factor $x^{2} + x - 6 = 0,$ we look for two numbers whose product equals $−6$ and whose sum equals 1. Begin by looking at the possible factors of $−6.$

$x^{2} + x - 6 = 0$ を因数分解するには、積が $−6$ 、和が1になる二つの数を探す。まず $−6.$ の因数の候補を見てみよう。

\begin{matrix} 1 \cdot (−6) \\ (−6) \cdot 1 \\ 2 \cdot (−3) \\ 3 \cdot (−2) \end{matrix}

The last pair, $3 \cdot (−2)$ sums to 1, so these are the numbers. Note that only one pair of numbers will work. Then, write the factors.

最後の組 $3 \cdot (−2)$ の和が1になるので、これが目当ての数である。うまくいく組は一つしかないことに注意せよ。そのうえで因数を書く。

(x - 2) (x + 3) = 0

To solve this equation, we use the zero-product property. Set each factor equal to zero and solve.

この方程式を解くには零因子の性質を使う。各因数を0とおいて解く。

\begin{matrix} (x - 2) (x + 3) & = & 0 \\ (x - 2) & = & 0 \\ x & = & 2 \\ (x + 3) & = & 0 \\ x & = & −3 \end{matrix}

The two solutions are $2$ and $−3.$ We can see how the solutions relate to the graph in Figure 2. The solutions are the x-intercepts of $y = x^{2} + x - 6 = 0.$

二つの解は $2$ と $−3.$ である。図2を見れば、解とグラフの関係が分かる。解は $y = x^{2} + x - 6 = 0.$ の x切片である。

Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 5 to 5 and the y-axis ranging from negative 7 to 7. The function x squared plus x minus six equals zero is graphed, with the x-intercepts (-3,0) and (2,0), plotted as well.

Try It #1やってみよう1

Factor and solve the quadratic equation: $x^{2} - 5 x - 6 = 0.$

二次方程式 $x^{2} - 5 x - 6 = 0.$ を因数分解して解け。

Example 2例2

Solve the Quadratic Equation by Factoring因数分解で二次方程式を解く

Solve the quadratic equation by factoring: $x^{2} + 8 x + 15 = 0.$

因数分解によって二次方程式 $x^{2} + 8 x + 15 = 0.$ を解け。

Solution 解答

Find two numbers whose product equals $15$ and whose sum equals $8.$ List the factors of $15.$

積が $15$ 、和が $8.$ になる二つの数を見つける。 $15.$ の因数を並べる。

\begin{matrix} 1 \cdot 15 \\ 3 \cdot 5 \\ (−1) \cdot (−15) \\ (−3) \cdot (−5) \end{matrix}

The numbers that add to 8 are 3 and 5. Then, write the factors, set each factor equal to zero, and solve.

足して8になる数は3と5である。そのうえで因数を書き、各因数を0とおいて解く。

\begin{matrix} (x + 3) (x + 5) & = & 0 \\ (x + 3) & = & 0 \\ x & = & −3 \\ (x + 5) & = & 0 \\ x & = & −5 \end{matrix}

The solutions are $−3$ and $−5.$

解は $−3$ と $−5.$ である。

Try It #2やってみよう2

Solve the quadratic equation by factoring: $x^{2} - 4 x - 21 = 0.$

因数分解によって二次方程式 $x^{2} - 4 x - 21 = 0.$ を解け。

Example 3例3

Using the Zero-Product Property to Solve a Quadratic Equation Written as the Difference of Squares平方の差として書かれた二次方程式を、零因子の性質で解く

Solve the difference of squares equation using the zero-product property: $x^{2} - 9 = 0.$

零因子の性質を使って、平方の差の方程式 $x^{2} - 9 = 0.$ を解け。

Solution 解答

Recognizing that the equation represents the difference of squares, we can write the two factors by taking the square root of each term, using a minus sign as the operator in one factor and a plus sign as the operator in the other. Solve using the zero-factor property.

この方程式が平方の差を表していると見抜ければ、各項の平方根をとり、一方の因数の演算子をマイナス、もう一方をプラスにして、二つの因数を書ける。零因子の性質を使って解く。

\begin{matrix} x^{2} - 9 & = & 0 \\ (x - 3) (x + 3) & = & 0 \\ (x - 3) & = & 0 \\ x & = & 3 \\ (x + 3) & = & 0 \\ x & = & −3 \end{matrix}

The solutions are $3$ and $−3.$

解は $3$ と $−3.$ である。

Try It #3やってみよう3

Solve by factoring: $x^{2} - 25 = 0.$

因数分解によって $x^{2} - 25 = 0.$ を解け。

Solving a Quadratic Equation by Factoring when the Leading Coefficient is not 1最高次係数が1でないとき、因数分解で二次方程式を解く

When the leading coefficient is not 1, we factor a quadratic equation using the method called grouping, which requires four terms. With the equation in standard form, let’s review the grouping procedures:

最高次係数が1でないときは、組み分けと呼ばれる方法で二次方程式を因数分解する。これには項が四つ必要である。方程式を標準形にしたうえで、組み分けの手順を確かめよう。

1. With the quadratic in standard form, $a x^{2} + b x + c = 0,$ multiply $a \cdot c .$ 2. Find two numbers whose product equals $a c$ and whose sum equals $b .$ 3. Rewrite the equation replacing the $b x$ term with two terms using the numbers found in step 2 as coefficients of x.4. Factor the first two terms and then factor the last two terms. The expressions in parentheses must be exactly the same to use grouping.5. Factor out the expression in parentheses.6. Set the expressions equal to zero and solve for the variable.

1. 二次方程式を標準形 $a x^{2} + b x + c = 0$ にして、 $a \cdot c$ を掛ける。2. 積が $a c$ 、和が $b$ になる二つの数を見つける。3. 手順2で見つけた数を x の係数として使い、 $b x$ の項を二つの項に置き換えて方程式を書き直す。4. はじめの二項を因数分解し、次に後ろの二項を因数分解する。組み分けを使うには、括弧の中の式がまったく同じでなければならない。5. 括弧の中の式をくくり出す。6. 各式を0とおいて変数について解く。

Example 4例4

Solving a Quadratic Equation Using Grouping組み分けを使って二次方程式を解く

Use grouping to factor and solve the quadratic equation: $4 x^{2} + 15 x + 9 = 0.$

組み分けを使って二次方程式 $4 x^{2} + 15 x + 9 = 0.$ を因数分解し、解け。

Solution 解答

First, multiply $a c : 4 (9) = 36.$ Then list the factors of $36.$

まず $a c : 4 (9) = 36.$ を掛ける。次に $36.$ の因数を並べる。

\begin{array}{l} 1 \cdot 36 \\ 2 \cdot 18 \\ 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 9 \\ 6 \cdot 6 \end{array}

The only pair of factors that sums to $15$ is $3 + 12.$ Rewrite the equation replacing the b term, $15 x,$ with two terms using 3 and 12 as coefficients of x. Factor the first two terms, and then factor the last two terms.

和が $15$ になる因数の組は $3 + 12.$ だけである。3と12を x の係数として使い、b の項 $15 x$ を二つの項に置き換えて方程式を書き直す。はじめの二項を因数分解し、次に後ろの二項を因数分解する。

\begin{matrix} 4 x^{2} + 3 x + 12 x + 9 & = & 0 \\ x (4 x + 3) + 3 (4 x + 3) & = & 0 \\ (4 x + 3) (x + 3) & = & 0 \end{matrix}

Solve using the zero-product property.

零因子の性質を使って解く。

\begin{matrix} (4 x + 3) (x + 3) & = & 0 \\ (4 x + 3) & = & 0 \\ x & = & - \frac{3}{4} \\ (x + 3) & = & 0 \\ x & = & - 3 \end{matrix}

The solutions are $- \frac{3}{4},$ and $−3.$ See Figure 3.

解は $- \frac{3}{4}$ と $−3.$ である。図3を見よ。

Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 6 to 2 with every other tick mark labeled and the y-axis ranging from negative 6 to 2 with each tick mark numbered. The equation: four x squared plus fifteen x plus nine is graphed with its x-intercepts: (-3/4,0) and (-3,0) plotted as well.

Try It #4やってみよう4

Solve using factoring by grouping: $12 x^{2} + 11 x + 2 = 0.$

組み分けによる因数分解を使って $12 x^{2} + 11 x + 2 = 0.$ を解け。

Example 5例5

Solving a Polynomial of Higher Degree by Factoringより次数の高い多項式を因数分解で解く

Solve the equation by factoring: $−3 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x = 0.$

因数分解によって方程式 $−3 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x = 0.$ を解け。

Solution 解答

This equation does not look like a quadratic, as the highest power is 3, not 2. Recall that the first thing we want to do when solving any equation is to factor out the GCF, if one exists. And it does here. We can factor out $- x$ from all of the terms and then proceed with grouping.

最も高い乗数が2ではなく3なので、この方程式は二次には見えない。どんな方程式を解くときも、まずすべきは GCF があればそれをくくり出すことだったのを思い出そう。ここにはある。すべての項から $- x$ をくくり出し、そのうえで組み分けに進める。

\begin{matrix} −3 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x & = & 0 \\ - x (3 x^{2} + 5 x + 2) & = & 0 \end{matrix}

Use grouping on the expression in parentheses.

括弧の中の式に組み分けを使う。

\begin{matrix} - x (3 x^{2} + 3 x + 2 x + 2) & = & 0 \\ - x [3 x (x + 1) + 2 (x + 1)] & = & 0 \\ - x (3 x + 2) (x + 1) & = & 0 \end{matrix}

Now, we use the zero-product property. Notice that we have three factors.

ここで零因子の性質を使う。因数が三つあることに注意せよ。

\begin{matrix} - x & = & 0 \\ x & = & 0 \\ 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & - \frac{2}{3} \\ x + 1 & = & 0 \\ x & = & −1 \end{matrix}

The solutions are $0,$ $- \frac{2}{3},$ and $−1.$

解は $0$ 、 $- \frac{2}{3}$ 、 $−1.$ である。

Try It #5やってみよう5

Solve by factoring: $x^{3} + 11 x^{2} + 10 x = 0.$

因数分解によって $x^{3} + 11 x^{2} + 10 x = 0.$ を解け。

Using the Square Root Property平方根の性質を使う

When there is no linear term in the equation, another method of solving a quadratic equation is by using the square root property, in which we isolate the $x^{2}$ term and take the square root of the number on the other side of the equals sign. Keep in mind that sometimes we may have to manipulate the equation to isolate the $x^{2}$ term so that the square root property can be used.

方程式に一次の項が無いときは、二次方程式を解くもう一つの方法として平方根の性質が使える。 $x^{2}$ の項だけを片側に残し、等号の反対側の数の平方根をとる方法である。平方根の性質を使えるように $x^{2}$ の項だけを残すには、方程式を変形しなければならないこともあることを覚えておこう。

The Square Root Property 平方根の性質

With the $x^{2}$ term isolated, the square root property states that:

$x^{2}$ の項だけが残っているとき、平方根の性質は次を述べる。

if x^{2} = k, then x = \pm \sqrt{k}

where k is a nonzero real number.

ここで k は0でない実数である。

How To 手順

Given a quadratic equation with an $x^{2}$ term but no $x$ term, use the square root property to solve it.

$x^{2}$ の項はあるが $x$ の項が無い二次方程式が与えられたとき、平方根の性質を使ってそれを解く。

1. Isolate the $x^{2}$ term on one side of the equal sign.2. Take the square root of both sides of the equation, putting a $\pm$ sign before the expression on the side opposite the squared term.3. Simplify the numbers on the side with the $\pm$ sign.

1. 等号の片側に $x^{2}$ の項だけを残す。2. 方程式の両辺の平方根をとる。二乗の項と反対側の式の前に $\pm$ の記号を付ける。3. $\pm$ の記号が付いた側の数を簡単にする。

Example 6例6

Solving a Simple Quadratic Equation Using the Square Root Property平方根の性質を使って単純な二次方程式を解く

Solve the quadratic using the square root property: $x^{2} = 8.$

平方根の性質を使って二次方程式 $x^{2} = 8.$ を解け。

Solution 解答

Take the square root of both sides, and then simplify the radical. Remember to use a $\pm$ sign before the radical symbol.

両辺の平方根をとり、そのうえで根号を簡単にする。根号の記号の前に $\pm$ の記号を付けるのを忘れないこと。

\begin{matrix} x^{2} & = & 8 \\ x & = & \pm \sqrt{8} \\ = & \pm 2 \sqrt{2} \end{matrix}

The solutions are $2 \sqrt{2},$ $−2 \sqrt{2} .$

解は $2 \sqrt{2}$ 、 $−2 \sqrt{2}$ である。

Example 7例7

Solving a Quadratic Equation Using the Square Root Property平方根の性質を使って二次方程式を解く

Solve the quadratic equation: $4 x^{2} + 1 = 7.$

二次方程式 $4 x^{2} + 1 = 7.$ を解け。

Solution 解答

First, isolate the $x^{2}$ term. Then take the square root of both sides.

まず $x^{2}$ の項だけを残す。それから両辺の平方根をとる。

\begin{matrix} 4 x^{2} + 1 & = & 7 \\ 4 x^{2} & = & 6 \\ x^{2} & = & \frac{6}{4} \\ x & = & \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \end{matrix}

The solutions are $\frac{\sqrt{6}}{2},$ and $- \frac{\sqrt{6}}{2} .$

解は $\frac{\sqrt{6}}{2}$ と $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ である。

Try It #6やってみよう6

Solve the quadratic equation using the square root property: $3 {(x - 4)}^{2} = 15.$

平方根の性質を使って二次方程式 $3 {(x - 4)}^{2} = 15.$ を解け。

Completing the Square平方完成

Not all quadratic equations can be factored or can be solved in their original form using the square root property. In these cases, we may use a method for solving a quadratic equation known as completing the square. Using this method, we add or subtract terms to both sides of the equation until we have a perfect square trinomial on one side of the equal sign. We then apply the square root property. To complete the square, the leading coefficient, a, must equal 1. If it does not, then divide the entire equation by a. Then, we can use the following procedures to solve a quadratic equation by completing the square.

すべての二次方程式が因数分解できるわけではないし、もとの形のまま平方根の性質で解けるわけでもない。そうした場合には、平方完成という二次方程式の解き方が使える。この方法では、等号の片側が完全平方の三項式になるまで、両辺に項を足したり引いたりする。そのうえで平方根の性質を使う。平方完成するには、最高次係数 a が1でなければならない。そうでなければ、方程式全体を a で割る。そのうえで、次の手順で平方完成によって二次方程式を解ける。

We will use the example $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ to illustrate each step.

各手順を示すのに、例 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ を使う。

1. Given a quadratic equation that cannot be factored, and with $a = 1,$ first add or subtract the constant term to the right side of the equal sign. $x^{2} + 4 x = −1$ 2. Multiply the b term by $\frac{1}{2}$ and square it. $\begin{matrix} \frac{1}{2} (4) & = & 2 \\ 2^{2} & = & 4 \end{matrix}$ 3. Add ${(\frac{1}{2} b)}^{2}$ to both sides of the equal sign and simplify the right side. We have $\begin{matrix} x^{2} + 4 x + 4 & = & - 1 + 4 \\ x^{2} + 4 x + 4 & = & 3 \end{matrix}$ 4. The left side of the equation can now be factored as a perfect square. $\begin{matrix} x^{2} + 4 x + 4 & = & 3 \\ {(x + 2)}^{2} & = & 3 \end{matrix}$ 5. Use the square root property and solve. $\begin{matrix} \sqrt{{(x + 2)}^{2}} & = & \pm \sqrt{3} \\ x + 2 & = & \pm \sqrt{3} \\ x & = & −2 \pm \sqrt{3} \end{matrix}$ 6. The solutions are $−2 + \sqrt{3},$ and $−2 - \sqrt{3} .$

1. 因数分解できず $a = 1$ である二次方程式が与えられたとき、まず定数項を等号の右側へ足すか引くかして移す。 $x^{2} + 4 x = −1$ 2. b の項に $\frac{1}{2}$ を掛けて二乗する。 $\begin{matrix} \frac{1}{2} (4) & = & 2 \\ 2^{2} & = & 4 \end{matrix}$ 3. 等号の両側に ${(\frac{1}{2} b)}^{2}$ を足し、右側を簡単にする。 $\begin{matrix} x^{2} + 4 x + 4 & = & - 1 + 4 \\ x^{2} + 4 x + 4 & = & 3 \end{matrix}$ となる。4. これで方程式の左側を完全平方として因数分解できる。 $\begin{matrix} x^{2} + 4 x + 4 & = & 3 \\ {(x + 2)}^{2} & = & 3 \end{matrix}$ 5. 平方根の性質を使って解く。 $\begin{matrix} \sqrt{{(x + 2)}^{2}} & = & \pm \sqrt{3} \\ x + 2 & = & \pm \sqrt{3} \\ x & = & −2 \pm \sqrt{3} \end{matrix}$ 6. 解は $−2 + \sqrt{3},$ と $−2 - \sqrt{3}$ である。

Example 8例8

Solving a Quadratic by Completing the Square平方完成で二次方程式を解く

Solve the quadratic equation by completing the square: $x^{2} - 3 x - 5 = 0.$

平方完成によって二次方程式 $x^{2} - 3 x - 5 = 0.$ を解け。

Solution 解答

First, move the constant term to the right side of the equal sign.

まず定数項を等号の右側へ移す。

x^{2} - 3 x = 5

Then, take $\frac{1}{2}$ of the b term and square it.

次に b の項の $\frac{1}{2}$ をとって二乗する。

\begin{matrix} \frac{1}{2} (−3) & = & - \frac{3}{2} \\ {(- \frac{3}{2})}^{2} & = & \frac{9}{4} \end{matrix}

Add the result to both sides of the equal sign.

その結果を等号の両側に足す。

\begin{matrix} x^{2} - 3 x + {(- \frac{3}{2})}^{2} & = & 5 + {(- \frac{3}{2})}^{2} \\ x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} & = & 5 + \frac{9}{4} \end{matrix}

Factor the left side as a perfect square and simplify the right side.

左側を完全平方として因数分解し、右側を簡単にする。

{(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{29}{4}

Use the square root property and solve.

平方根の性質を使って解く。

\begin{matrix} \sqrt{{(x - \frac{3}{2})}^{2}} & = & \pm \sqrt{\frac{29}{4}} \\ (x - \frac{3}{2}) & = & \pm \frac{\sqrt{29}}{2} \\ x & = & \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{29}}{2} \end{matrix}

The solutions are $\frac{3 + \sqrt{29}}{2}$ and $\frac{3 - \sqrt{29}}{2}$ .

解は $\frac{3 + \sqrt{29}}{2}$ と $\frac{3 - \sqrt{29}}{2}$ である。

Try It #7やってみよう7

Solve by completing the square: $x^{2} - 6 x = 13.$

平方完成によって $x^{2} - 6 x = 13.$ を解け。

Using the Quadratic Formula二次方程式の解の公式を使う

The fourth method of solving a quadratic equation is by using the quadratic formula, a formula that will solve all quadratic equations. Although the quadratic formula works on any quadratic equation in standard form, it is easy to make errors in substituting the values into the formula. Pay close attention when substituting, and use parentheses when inserting a negative number.

二次方程式を解く四つ目の方法は、解の公式を使うことである。これはすべての二次方程式を解ける公式である。標準形の二次方程式ならどれにでも使えるが、値を公式に代入するときに間違えやすい。代入のときはよく気をつけ、負の数を入れるときは括弧を使うこと。

We can derive the quadratic formula by completing the square. We will assume that the leading coefficient is positive; if it is negative, we can multiply the equation by $−1$ and obtain a positive a. Given $a x^{2} + b x + c = 0,$ $a \neq 0,$ we will complete the square as follows:

解の公式は平方完成から導ける。最高次係数は正であるとしよう。負なら方程式に $−1$ を掛ければ a を正にできる。 $a x^{2} + b x + c = 0$ 、 $a \neq 0$ が与えられたとして、次のように平方完成する。

1. First, move the constant term to the right side of the equal sign: $a x^{2} + b x = - c$ 2. As we want the leading coefficient to equal 1, divide through by a: $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ 3. Then, find $\frac{1}{2}$ of the middle term, and add ${(\frac{1}{2} \frac{b}{a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$ to both sides of the equal sign: $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}$ 4. Next, write the left side as a perfect square. Find the common denominator of the right side and write it as a single fraction: ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ 5. Now, use the square root property, which gives $\begin{matrix} x + \frac{b}{2 a} & = & \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \\ x + \frac{b}{2 a} & = & \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$ 6. Finally, add $- \frac{b}{2 a}$ to both sides of the equation and combine the terms on the right side. Thus, $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

1. まず定数項を等号の右側へ移す。 $a x^{2} + b x = - c$ 2. 最高次係数を1にしたいので、全体を a で割る。 $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ 3. 次に、真ん中の項の $\frac{1}{2}$ を求め、等号の両側に ${(\frac{1}{2} \frac{b}{a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$ を足す。 $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}$ 4. 続いて左側を完全平方として書く。右側は共通の分母を求めて一つの分数として書く。 ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ 5. ここで平方根の性質を使うと $\begin{matrix} x + \frac{b}{2 a} & = & \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \\ x + \frac{b}{2 a} & = & \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$ が得られる。6. 最後に、方程式の両辺に $- \frac{b}{2 a}$ を足し、右側の項をまとめる。よって $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ となる。

The Quadratic Formula 二次方程式の解の公式

Written in standard form, $a x^{2} + b x + c = 0,$ any quadratic equation can be solved using the quadratic formula:

標準形 $a x^{2} + b x + c = 0$ で書けば、どんな二次方程式も解の公式で解ける。

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

where a, b, and c are real numbers and $a \neq 0.$

ここで a、b、c は実数で、 $a \neq 0.$ とする。

How To 手順

Given a quadratic equation, solve it using the quadratic formula

二次方程式が与えられたとき、解の公式を使ってそれを解く。

1. Make sure the equation is in standard form: $a x^{2} + b x + c = 0.$ 2. Make note of the values of the coefficients and constant term, $a, b,$ and $c .$ 3. Carefully substitute the values noted in step 2 into the equation. To avoid needless errors, use parentheses around each number input into the formula.4. Calculate and solve.

1. 方程式が標準形 $a x^{2} + b x + c = 0.$ になっていることを確かめる。2. 係数と定数項の値 $a, b$ と $c$ を書き留める。3. 手順2で書き留めた値を、注意して方程式に代入する。要らぬ間違いを避けるため、公式に入れる各数を括弧で囲むこと。4. 計算して解く。

Example 9例9

Solve the Quadratic Equation Using the Quadratic Formula解の公式を使って二次方程式を解く

Solve the quadratic equation: $x^{2} + 5 x + 1 = 0.$

二次方程式 $x^{2} + 5 x + 1 = 0.$ を解け。

Solution 解答

Identify the coefficients: $a = 1, b = 5, c = 1.$ Then use the quadratic formula.

係数を見分ける。 $a = 1, b = 5, c = 1.$ である。そのうえで解の公式を使う。

\begin{matrix} x & = & \frac{- (5) \pm \sqrt{{(5)}^{2} - 4 (1) (1)}}{2 (1)} \\ = & \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4}}{2} \\ = & \frac{- 5 \pm \sqrt{21}}{2} \end{matrix}

Example 10例10

Solving a Quadratic Equation with the Quadratic Formula解の公式で二次方程式を解く

Use the quadratic formula to solve $x^{2} + x + 2 = 0.$

解の公式を使って $x^{2} + x + 2 = 0.$ を解け。

Solution 解答

First, we identify the coefficients: $a = 1, b = 1,$ and $c = 2.$

まず係数を見分ける。 $a = 1, b = 1$ と $c = 2.$ である。

Substitute these values into the quadratic formula.

これらの値を解の公式に代入する。

\begin{matrix} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = & \frac{- (1) \pm \sqrt{{(1)}^{2} - (4) \cdot (1) \cdot (2)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} \\ = & \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2} \\ = & \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} \end{matrix}

The solutions to the equation are $\frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$ and $\frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

この方程式の解は $\frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$ と $\frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$ である。

Try It #8やってみよう8

Solve the quadratic equation using the quadratic formula: $9 x^{2} + 3 x - 2 = 0.$

解の公式を使って二次方程式 $9 x^{2} + 3 x - 2 = 0.$ を解け。

The Discriminant判別式

The quadratic formula not only generates the solutions to a quadratic equation, it tells us about the nature of the solutions when we consider the discriminant, or the expression under the radical, $b^{2} - 4 a c .$ The discriminant tells us whether the solutions are real numbers or complex numbers, and how many solutions of each type to expect. Table 1 relates the value of the discriminant to the solutions of a quadratic equation.

解の公式は二次方程式の解を出すだけではない。判別式、すなわち根号の下の式 $b^{2} - 4 a c$ を見れば、解がどんなものかも分かる。判別式は、解が実数か複素数か、そしてそれぞれ何個ずつあると見込まれるかを教えてくれる。表1に、判別式の値と二次方程式の解の対応を示す。

Value of Discriminant判別式の値	Results結果
$b^{2} - 4 a c = 0$	One rational solution (double solution)有理数の解が一つ(重解)
$b^{2} - 4 a c > 0,$ perfect square $b^{2} - 4 a c > 0$ 平方数	Two rational solutions有理数の解が二つ
$b^{2} - 4 a c > 0,$ not a perfect square $b^{2} - 4 a c > 0$ 平方数でない	Two irrational solutions無理数の解が二つ
$b^{2} - 4 a c < 0$	Two complex solutions複素数の解が二つ

The Discriminant 判別式

For $a x^{2} + b x + c = 0$ , where $a$ , $b$ , and $c$ are real numbers, the discriminant is the expression under the radical in the quadratic formula: $b^{2} - 4 a c .$ It tells us whether the solutions are real numbers or complex numbers and how many solutions of each type to expect.

$a$ 、 $b$ 、 $c$ を実数とする $a x^{2} + b x + c = 0$ について、判別式とは解の公式の根号の下にある式 $b^{2} - 4 a c$ である。判別式は、解が実数か複素数か、そしてそれぞれ何個ずつあると見込まれるかを教えてくれる。

Example 11例11

Using the Discriminant to Find the Nature of the Solutions to a Quadratic Equation判別式を使って二次方程式の解の種類を調べる

Use the discriminant to find the nature of the solutions to the following quadratic equations:

判別式を使って、次の二次方程式の解の種類を調べよ。

ⓐ $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ ⓑ $8 x^{2} + 14 x + 3 = 0$ ⓒ $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ ⓓ $3 x^{2} - 10 x + 15 = 0$

Solution 解答

Calculate the discriminant $b^{2} - 4 a c$ for each equation and state the expected type of solutions.

各方程式について判別式 $b^{2} - 4 a c$ を計算し、見込まれる解の種類を述べる。

ⓐ $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ $b^{2} - 4 a c = {(4)}^{2} - 4 (1) (4) = 0.$ There will be one rational double solution.ⓑ $8 x^{2} + 14 x + 3 = 0$ $b^{2} - 4 a c = {(14)}^{2} - 4 (8) (3) = 100.$ As $100$ is a perfect square, there will be two rational solutions.ⓒ $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ $b^{2} - 4 a c = {(−5)}^{2} - 4 (3) (−2) = 49.$ As $49$ is a perfect square, there will be two rational solutions.ⓓ $3 x^{2} −10 x + 15 = 0$ $b^{2} - 4 a c = {(−10)}^{2} - 4 (3) (15) = −80.$ There will be two complex solutions.

ⓐ $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ $b^{2} - 4 a c = {(4)}^{2} - 4 (1) (4) = 0.$ 有理数の重解が一つある。ⓑ $8 x^{2} + 14 x + 3 = 0$ $b^{2} - 4 a c = {(14)}^{2} - 4 (8) (3) = 100.$ $100$ は平方数なので、有理数の解が二つある。ⓒ $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ $b^{2} - 4 a c = {(−5)}^{2} - 4 (3) (−2) = 49.$ $49$ は平方数なので、有理数の解が二つある。ⓓ $3 x^{2} −10 x + 15 = 0$ $b^{2} - 4 a c = {(−10)}^{2} - 4 (3) (15) = −80.$ 複素数の解が二つある。

Using the Pythagorean Theoremピタゴラスの定理を使う

One of the most famous formulas in mathematics is the Pythagorean Theorem. It is based on a right triangle, and states the relationship among the lengths of the sides as $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ where $a$ and $b$ refer to the legs of a right triangle adjacent to the $90°$ angle, and $c$ refers to the hypotenuse. It has immeasurable uses in architecture, engineering, the sciences, geometry, trigonometry, and algebra, and in everyday applications.

数学でもっとも名高い公式の一つがピタゴラスの定理である。直角三角形をもとにしており、辺の長さのあいだの関係を $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ と述べる。ここで $a$ と $b$ は直角三角形の $90°$ の角をはさむ二辺、 $c$ は斜辺である。建築・工学・諸科学・幾何・三角法・代数、そして日々の場面で、計り知れないほど広く使われている。

We use the Pythagorean Theorem to solve for the length of one side of a triangle when we have the lengths of the other two. Because each of the terms is squared in the theorem, when we are solving for a side of a triangle, we have a quadratic equation. We can use the methods for solving quadratic equations that we learned in this section to solve for the missing side.

三角形の二辺の長さが分かっているとき、残る一辺の長さを求めるのにピタゴラスの定理を使う。定理では各項が二乗されているので、三角形の一辺を求めるときは二次方程式になる。この節で学んだ二次方程式の解き方を使って、分からない辺を求められる。

The Pythagorean Theorem is given as

ピタゴラスの定理は次で与えられる。

a^{2} + b^{2} = c^{2}

where $a$ and $b$ refer to the legs of a right triangle adjacent to the $90^{\circ}$ angle, and $c$ refers to the hypotenuse, as shown in Figure 4.

図4のように、 $a$ と $b$ は直角三角形の $90^{\circ}$ の角をはさむ二辺、 $c$ は斜辺である。

Right triangle with the base labeled: a, the height labeled: b, and the hypotenuse labeled: c

Example 12例12

Finding the Length of the Missing Side of a Right Triangle直角三角形の分からない辺の長さを求める

Find the length of the missing side of the right triangle in Figure 5.

図5の直角三角形の、分からない辺の長さを求めよ。

Right triangle with the base labeled: a, the height labeled: 4, and the hypotenuse labeled 12.

Solution 解答

As we have measurements for side b and the hypotenuse, the missing side is a.

辺 b と斜辺の長さが分かっているので、分からないのは辺 a である。

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} & = & c^{2} \\ a^{2} + {(4)}^{2} & = & {(12)}^{2} \\ a^{2} + 16 & = & 144 \\ a^{2} & = & 128 \\ a & = & \sqrt{128} \\ = & 8 \sqrt{2} \end{matrix}

Try It #9やってみよう9

Use the Pythagorean Theorem to solve the right triangle problem: Leg a measures 4 units, leg b measures 3 units. Find the length of the hypotenuse.

ピタゴラスの定理を使って直角三角形の問題を解け。直角をはさむ辺 a は4単位、辺 b は3単位である。斜辺の長さを求めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with quadratic equations.

二次方程式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Solving Quadratic Equations by Factoring• The Zero-Product Property• Completing the Square• Quadratic Formula with Two Rational Solutions• Length of a leg of a right triangle

・因数分解で二次方程式を解く・零因子の性質・平方完成・有理数の解が二つある解の公式・直角三角形の直角をはさむ辺の長さ

Verbal言葉で答える問題

1. How do we recognize when an equation is quadratic?

1. ある方程式が二次だと、どうすれば見分けられるか。

2. When we solve a quadratic equation, how many solutions should we always start out seeking? Explain why when solving a quadratic equation in the form $a x^{2} + b x + c = 0$ we may graph the equation $y = a x^{2} + b x + c$ and have no zeroes (x-intercepts).

2. 二次方程式を解くとき、はじめにいくつの解を探すべきか。 $a x^{2} + b x + c = 0$ の形の二次方程式を解くとき、方程式 $y = a x^{2} + b x + c$ をグラフに描いても零点(x切片)が無いことがあるのはなぜかを説明せよ。

3. When we solve a quadratic equation by factoring, why do we move all terms to one side, having zero on the other side?

3. 因数分解で二次方程式を解くとき、すべての項を片側に移し、もう一方を0にするのはなぜか。

4. In the quadratic formula, what is the name of the expression under the radical sign $b^{2} - 4 a c,$ and how does it determine the number of and nature of our solutions?

4. 解の公式において、根号の下の式 $b^{2} - 4 a c$ は何と呼ばれるか。またそれは、解の個数と種類をどう決めるか。

5. Describe two scenarios where using the square root property to solve a quadratic equation would be the most efficient method.

5. 平方根の性質で二次方程式を解くのがもっとも効率のよい場面を、二つ挙げて述べよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, solve the quadratic equation by factoring.

次の各問について、因数分解によって二次方程式を解け。

6. $x^{2} + 4 x - 21 = 0$

7. $x^{2} - 9 x + 18 = 0$

8. $2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$

9. $6 x^{2} + 17 x + 5 = 0$

10. $4 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

11. $3 x^{2} - 75 = 0$

12. $8 x^{2} + 6 x - 9 = 0$

13. $4 x^{2} = 9$

14. $2 x^{2} + 14 x = 36$

15. $5 x^{2} = 5 x + 30$

16. $4 x^{2} = 5 x$

17. $7 x^{2} + 3 x = 0$

18. $\frac{x}{3} - \frac{9}{x} = 2$

For the following exercises, solve the quadratic equation by using the square root property.

次の各問について、平方根の性質を使って二次方程式を解け。

19. $x^{2} = 36$

20. $x^{2} = 49$

21. ${(x - 1)}^{2} = 25$

22. ${(x - 3)}^{2} = 7$

23. ${(2 x + 1)}^{2} = 9$

24. ${(x - 5)}^{2} = 4$

For the following exercises, solve the quadratic equation by completing the square. Show each step.

次の各問について、平方完成によって二次方程式を解け。各手順を示せ。

25. $x^{2} - 9 x - 22 = 0$

26. $2 x^{2} - 8 x - 5 = 0$

27. $x^{2} - 6 x = 13$

28. $x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} = 0$

29. $2 + z = 6 z^{2}$

30. $6 p^{2} + 7 p - 20 = 0$

31. $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

For the following exercises, determine the discriminant, and then state how many solutions there are and the nature of the solutions. Do not solve.

次の各問について、判別式を求め、そのうえで解が何個あり、どんな種類の解かを述べよ。解く必要はない。

32. $2 x^{2} - 6 x + 7 = 0$

33. $x^{2} + 4 x + 7 = 0$

34. $3 x^{2} + 5 x - 8 = 0$

35. $9 x^{2} - 30 x + 25 = 0$

36. $2 x^{2} - 3 x - 7 = 0$

37. $6 x^{2} - x - 2 = 0$

For the following exercises, solve the quadratic equation by using the quadratic formula. If the solutions are not real, state No Real Solution.

次の各問について、解の公式を使って二次方程式を解け。解が実数でない場合は「実数解なし」と述べよ。

38. $2 x^{2} + 5 x + 3 = 0$

39. $x^{2} + x = 4$

40. $2 x^{2} - 8 x - 5 = 0$

41. $3 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

42. $x^{2} + 4 x + 2 = 0$

43. $4 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, enter the expressions into your graphing utility and find the zeroes to the equation (the x-intercepts) by using 2^nd CALC 2:zero. Recall finding zeroes will ask left bound (move your cursor to the left of the zero,enter), then right bound (move your cursor to the right of the zero,enter), then guess (move your cursor between the bounds near the zero, enter). Round your answers to the nearest thousandth.

次の各問について、式をグラフ作成ツールに入力し、2nd CALC 2:zero を使って方程式の零点(x切片)を求めよ。零点を求めるときは、まず left bound(印を零点の左へ動かして enter)、次に right bound(印を零点の右へ動かして enter)、最後に guess(印を左右の境のあいだ、零点の近くへ動かして enter)と聞かれることを思い出そう。答えは小数第三位まで四捨五入せよ。

44. $Y_{1} = 4 x^{2} + 3 x - 2$

45. $Y_{1} = −3 x^{2} + 8 x - 1$

46. $Y_{1} = 0.5 x^{2} + x - 7$

47. To solve the quadratic equation $x^{2} + 5 x - 7 = 4,$ we can graph these two equations

47. 二次方程式 $x^{2} + 5 x - 7 = 4$ を解くには、次の二つの方程式のグラフを描き、

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} Y_{1} = x^{2} + 5 x - 7 \\ Y_{2} = 4 \end{array} \end{array}$

and find the points of intersection. Recall 2^nd CALC 5:intersection. Do this and find the solutions to the nearest tenth.

その交点を求めればよい。2nd CALC 5:intersection を使うことを思い出そう。これを行い、解を小数第一位まで求めよ。

48. To solve the quadratic equation $0.3 x^{2} + 2 x - 4 = 2,$ we can graph these two equations

48. 二次方程式 $0.3 x^{2} + 2 x - 4 = 2$ を解くには、次の二つの方程式のグラフを描き、

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} Y_{1} = 0.3 x^{2} + 2 x - 4 \\ Y_{2} = 2 \end{array} \end{array}$

and find the points of intersection. Recall 2^nd CALC 5:intersection. Do this and find the solutions to the nearest tenth.

その交点を求めればよい。2nd CALC 5:intersection を使うことを思い出そう。これを行い、解を小数第一位まで求めよ。

Extensions発展問題

49. Beginning with the general form of a quadratic equation, $a x^{2} + b x + c = 0,$ solve for x by using the completing the square method, thus deriving the quadratic formula.

49. 二次方程式の一般形 $a x^{2} + b x + c = 0$ から始めて、平方完成の方法で x について解き、解の公式を導け。

50. Show that the sum of the two solutions to the quadratic equation is $- \frac{b}{a}$ .

50. 二次方程式の二つの解の和が $- \frac{b}{a}$ であることを示せ。

51. A person has a garden that has a length 10 feet longer than the width. Set up a quadratic equation to find the dimensions of the garden if its area is 119 ft.². Solve the quadratic equation to find the length and width.

51. ある人の庭は、縦が横より10フィート長い。面積が119平方フィートのとき、庭の寸法を求める二次方程式を立てよ。その二次方程式を解いて縦と横を求めよ。

52. Abercrombie and Fitch stock had a price given as $P = 0.2 t^{2} - 5.6 t + 50.2,$ where $t$ is the time in months from 1999 to 2001. ( $t = 1$ is January 1999). Find the two months in which the price of the stock was $30.

52. Abercrombie and Fitch の株価は $P = 0.2 t^{2} - 5.6 t + 50.2$ で与えられた。ここで $t$ は1999年から2001年までの月数である( $t = 1$ が1999年1月)。株価が30ドルだった二つの月を求めよ。

53. Suppose that an equation is given $p = −2 x^{2} + 280 x - 1000,$ where $x$ represents the number of items sold at an auction and $p$ is the profit made by the business that ran the auction. How many items sold would make this profit a maximum? Solve this by graphing the expression in your graphing utility and finding the maximum using 2^nd CALC maximum. To obtain a good window for the curve, set $x$ [0,200] and $y$ [0,10000].

53. 方程式 $p = −2 x^{2} + 280 x - 1000$ が与えられているとする。ここで $x$ は競売で売れた品数、 $p$ は競売を開いた業者の利益である。品数がいくつのとき、この利益は最大になるか。グラフ作成ツールに式のグラフを描き、2nd CALC maximum で最大値を求めて解け。曲線がよく見える表示窓にするには、 $x$ を [0,200]、 $y$ を [0,10000] に設定せよ。

Real-World Applications応用問題

54. A formula for the normal systolic blood pressure for a man age $A,$ measured in mmHg, is given as $P = 0.006 A^{2} - 0.02 A + 120.$ Find the age to the nearest year of a man whose normal blood pressure measures 125 mmHg.

54. 年齢 $A$ の男性の正常な収縮期血圧(mmHg)の公式は $P = 0.006 A^{2} - 0.02 A + 120.$ で与えられる。正常な血圧が125mmHg である男性の年齢を、1歳単位で求めよ。

55. The cost function for a certain company is $C = 60 x + 300$ and the revenue is given by $R = 100 x - 0.5 x^{2} .$ Recall that profit is revenue minus cost. Set up a quadratic equation and find two values of x (production level) that will create a profit of $300.

55. ある会社の費用の関数は $C = 60 x + 300$ 、収入は $R = 100 x - 0.5 x^{2}$ で与えられる。利益は収入から費用を引いたものであることを思い出そう。二次方程式を立て、利益が300ドルになる x(生産量)の値を二つ求めよ。

56. A falling object travels a distance given by the formula $d = 5 t + 16 t^{2}$ ft, where $t$ is measured in seconds. How long will it take for the object to travel 74 ft?

56. 落下する物体は公式 $d = 5 t + 16 t^{2}$ フィートで与えられる距離を進む。ここで $t$ は秒で測る。この物体が74フィート進むのにかかる時間はいくらか。

57. A vacant lot is being converted into a community garden. The garden and the walkway around its perimeter have an area of 378 ft². Find the width of the walkway if the garden is 12 ft. wide by 15 ft. long.

57. 空き地を共同の菜園に作り替えている。菜園と、その周りを囲む通路とを合わせた面積は378平方フィートである。菜園が横12フィート、縦15フィートのとき、通路の幅を求めよ。

A rectangle inside of a larger rectangle. The smaller rectangle has the length labeled: 15 feet and the width labeled: 12 feet. The distance between the two rectangles is labeled as x on all four sides.

58. An epidemiological study of the spread of a certain influenza strain that hit a small school population found that the total number of students, $P$ , who contracted the flu $t$ days after it broke out is given by the model $P = - t^{2} + 13 t + 130,$ where $1 \leq t \leq 6.$ Find the day that 160 students had the flu. Recall that the restriction on $t$ is at most 6.

58. 小規模な学校で流行したあるインフルエンザについての疫学の研究によると、流行が始まってから $t$ 日後にかかった学生の総数 $P$ は、式 $P = - t^{2} + 13 t + 130$ で表される。ここで $1 \leq t \leq 6.$ である。160人がかかった日を求めよ。 $t$ の上限は6であることを思い出せ。