第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

Calculating the Component Form of a Vector: Directionベクトルの成分表示を計算する: 向き

We have seen how to draw vectors according to their initial and terminal points and how to find the position vector. We have also examined notation for vectors drawn specifically in the Cartesian coordinate plane using $i and j .$ For any of these vectors, we can calculate the magnitude. Now, we want to combine the key points, and look further at the ideas of magnitude and direction.

始点と終点に従ってベクトルを描くしかたと、位置ベクトルを求めるしかたを見た。 $i および j$ を使ってデカルト座標平面に描いたベクトルの表記も調べた。これらのどのベクトルについても大きさが計算できる。ここで要点をまとめ、大きさと向きの考えをさらに見ていこう。

Calculating direction follows the same straightforward process we used for polar coordinates. We find the direction of the vector by finding the angle to the horizontal. We do this by using the basic trigonometric identities, but with $| v |$ replacing $r .$

向きの計算は、極座標で使ったのと同じ素直な手順に従う。水平からの角を求めることでベクトルの向きを求める。そのために基本の三角関数の恒等式を使うが、 $r$ の代わりに $| v |$ を置く。

Note重要事項

Vector Components in Terms of Magnitude and Direction大きさと向きで表したベクトルの成分

Given a position vector $v = 〈 x, y 〉$ and a direction angle $θ,$

位置ベクトル $v = 〈 x, y 〉$ と向きの角 $θ$ が与えられたとき、

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{| v |} & and \begin{matrix}  \end{matrix} & \sin θ = \frac{y}{| v |} \\ x = | v | \cos θ \begin{matrix}  \end{matrix} & y = | v | \sin θ \end{array}

Thus, $v = x i + y j = | v | \cos θ i + | v | \sin θ j,$ and magnitude is expressed as $| v | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

よって $v = x i + y j = | v | \cos θ i + | v | \sin θ j$ であり、大きさは $| v | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ と表される。

Example 13例13

Writing a Vector in Component Form When It Is Given in Magnitude and Direction Form大きさと向きの形で与えられたベクトルを成分表示で書く

Given a vector with length 7 and an angle of 135°, write it in component form.

長さ7、角135°のベクトルが与えられたとき、これを成分表示で書け。

Solution 解答

Using the conversion formulas $x = | v | \cos θ$ and $y = | v | \sin θ,$ we find that

換算の公式 $x = | v | \cos θ$ と $y = | v | \sin θ$ を使うと、次が分かる。

\begin{array}{l} x = 7 \cos (135°) \\ = - \frac{7 \sqrt{2}}{2} \\ y = 7 \sin (135°) \\ = \frac{7 \sqrt{2}}{2} \end{array}

This vector can be written as $v = 7 \cos (135°) + 7 \sin (135°)$ or simplified as

このベクトルは $v = 7 \cos (135°) + 7 \sin (135°)$ と書け、あるいは次のように簡単にできる。

v = - \frac{7 \sqrt{2}}{2} i + \frac{7 \sqrt{2}}{2} j

trey it feature #4確認問題 4

A vector travels from the origin to the point $(3, 5) .$ Write the vector in terms of magnitude and direction.

あるベクトルが原点から点 $(3, 5)$ へ進む。このベクトルを大きさと向きで書け。