第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

Performing Operations with Vectors in Terms of i and j i と j でベクトルの演算を行う

So far, we have investigated the basics of vectors: magnitude and direction, vector addition and subtraction, scalar multiplication, the components of vectors, and the representation of vectors geometrically. Now that we are familiar with the general strategies used in working with vectors, we will represent vectors in rectangular coordinates in terms of i and j.

ここまで、ベクトルの基本を調べてきた。大きさと向き、ベクトルの加法と引き算、スカラー倍、ベクトルの成分、ベクトルを幾何的に表すことである。ベクトルを扱う一般のやり方に慣れたので、これからは直交座標でベクトルを i と j で表す。

Note重要事項

Vectors in the Rectangular Plane直交平面のベクトル

Given a vector $v$ with initial point $P = (x_{1}, y_{1})$ and terminal point $Q = (x_{2}, y_{2}),$ v is written as

始点 $P = (x_{1}, y_{1})$ 、終点 $Q = (x_{2}, y_{2}),$ のベクトル $v$ が与えられたとき、v は次のように書く。

v = (x_{2} - x_{1}) i + (y_{2} - y_{1}) j

The position vector from $(0, 0)$ to $(a, b),$ where $(x_{2} - x_{1}) = a$ and $(y_{2} - y_{1}) = b,$ is written as v = ai + bj. This vector sum is called a linear combination of the vectors i and j.

$(x_{2} - x_{1}) = a$ かつ $(y_{2} - y_{1}) = b$ として、 $(0, 0)$ から $(a, b)$ への位置ベクトルは v = ai + bj と書く。このベクトルの和を、ベクトル i と j の一次結合という。

The magnitude of v = ai + bj is given as $| v | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ See Figure 16.

v = ai + bj の大きさは $| v | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ で与えられる。図16を見よ。

Plot showing vectors in rectangular coordinates in terms of i and j. The position vector v (in orange) extends from the origin to some point (a,b) in Q1. The horizontal (ai) and vertical (bj) components are shown.

Example 10例10

Writing a Vector in Terms of i and ji と j でベクトルを書く

Given a vector $v$ with initial point $P = (2, −6)$ and terminal point $Q = (−6, 6),$ write the vector in terms of $i$ and $j .$

始点 $P = (2, −6)$ 、終点 $Q = (−6, 6)$ のベクトル $v$ が与えられたとき、このベクトルを $i$ と $j$ で書け。

Solution 解答

Begin by writing the general form of the vector. Then replace the coordinates with the given values.

まずベクトルの一般の形を書く。そして座標を与えられた値に置き換える。

\begin{array}{l} v = (x_{2} - x_{1}) i + (y_{2} - y_{1}) j \\ = (- 6 - 2) i + (6 - (- 6)) j \\ = - 8 i + 12 j \end{array}

Example 11例11

Writing a Vector in Terms of i and j Using Initial and Terminal Points始点と終点を使って i と j でベクトルを書く

Given initial point $P_{1} = (- 1, 3)$ and terminal point $P_{2} = (2, 7),$ write the vector $v$ in terms of $i$ and $j .$

始点 $P_{1} = (- 1, 3)$ と終点 $P_{2} = (2, 7)$ が与えられたとき、ベクトル $v$ を $i$ と $j$ で書け。

Solution 解答

Begin by writing the general form of the vector. Then replace the coordinates with the given values.

まずベクトルの一般の形を書く。そして座標を与えられた値に置き換える。

\begin{array}{l} v = (x_{2} - x_{1}) i + (y_{2} - y_{1}) j \\ v = (2 - (- 1)) i + (7 - 3) j \\ = 3 i + 4 j \end{array}

Try It #3やってみよう3

Write the vector $u$ with initial point $P = (- 1, 6)$ and terminal point $Q = (7, - 5)$ in terms of $i$ and $j .$

始点 $P = (- 1, 6)$ 、終点 $Q = (7, - 5)$ のベクトル $u$ を $i$ と $j$ で書け。