第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

Finding Component Form成分表示を求める

In some applications involving vectors, it is helpful for us to be able to break a vector down into its components. Vectors are comprised of two components: the horizontal component is the $x$ direction, and the vertical component is the $y$ direction. For example, we can see in the graph in Figure 12 that the position vector $〈 2, 3 〉$ comes from adding the vectors v₁ and v₂. We have v₁ with initial point $(0, 0)$ and terminal point $(2, 0) .$

ベクトルを含むいくつかの応用では、ベクトルを成分に分けられると助かる。ベクトルは二つの成分からなる。水平成分は $x$ の向き、鉛直成分は $y$ の向きである。たとえば図12のグラフでは、位置ベクトル $〈 2, 3 〉$ がベクトル v1 と v2 を足して生まれるのが分かる。v1 は始点 $(0, 0)$ 、終点 $(2, 0)$ である。

\begin{array}{l} v_{1} = 〈 2 - 0, 0 - 0 〉 \\ = 〈 2, 0 〉 \end{array}

We also have v₂ with initial point $(0, 0)$ and terminal point $(0, 3) .$

v2 は始点 $(0, 0)$ 、終点 $(0, 3)$ である。

\begin{array}{l} v_{2} = 〈 0 - 0, 3 - 0 〉 \\ = 〈 0, 3 〉 \end{array}

Therefore, the position vector is

したがって、位置ベクトルは次である。

\begin{array}{l} v = 〈 2 + 0, 3 + 0 〉 \\ = 〈 2, 3 〉 \end{array}

Using the Pythagorean Theorem, the magnitude of v₁ is 2, and the magnitude of v₂ is 3. To find the magnitude of v, use the formula with the position vector.

ピタゴラスの定理を使うと、v1 の大きさは2、v2 の大きさは3である。v の大きさを求めるには、位置ベクトルに公式を使う。

\begin{array}{l} | v | = \sqrt{| v_{1} |^{2} + | v_{2} |^{2}} \\ \begin{array}{l} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} \\ = \sqrt{13} \end{array} \end{array}

The magnitude of v is $\sqrt{13} .$ To find the direction, we use the tangent function $\tan θ = \frac{y}{x} .$

v の大きさは $\sqrt{13}$ である。向きを求めるには、正接関数 $\tan θ = \frac{y}{x}$ を使う。

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{(v_{2})}{(v_{1})} \\ \tan θ = \frac{3}{2} \\ θ = \tan^{- 1} (\frac{3}{2}) = 56.3° \end{array}

Diagram of a vector in root position with its horizontal and vertical components.

Thus, the magnitude of $v$ is $\sqrt{13}$ and the direction is ${56.3}^{\circ}$ off the horizontal.

よって $v$ の大きさは $\sqrt{13}$ 、向きは水平から ${56.3}^{\circ}$ である。

Example 8例8

Finding the Components of the Vectorベクトルの成分を求める

Find the components of the vector $v$ with initial point $(3, 2)$ and terminal point $(7, 4) .$

始点 $(3, 2)$ 、終点 $(7, 4)$ のベクトル $v$ の成分を求めよ。

Solution 解答

First find the standard position.

まず標準位置を求める。

\begin{array}{l} v = 〈 7 - 3, 4 - 2 〉 \\ = 〈 4, 2 〉 \end{array}

See the illustration in Figure 13.

図13の図解を見よ。

Diagram of a vector in root position with its horizontal (4,0) and vertical (0,2) components.

The horizontal component is $v_{1}$ $= 〈 4, 0 〉$ and the vertical component is $v_{2}$ $= 〈 0, 2 〉.$

水平成分は $v_{1}$ $= 〈 4, 0 〉$ 、鉛直成分は $v_{2}$ $= 〈 0, 2 〉.$ である。