プリンピキア

第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

10.8 ベクトル

Multiplying By a Scalarスカラーを掛ける

While adding and subtracting vectors gives us a new vector with a different magnitude and direction, the process of multiplying a vector by a scalar, a constant, changes only the magnitude of the vector or the length of the line. Scalar multiplication has no effect on the direction unless the scalar is negative, in which case the direction of the resulting vector is opposite the direction of the original vector.

ベクトルの加法と引き算は大きさも向きも違う新しいベクトルを与えるが、ベクトルにスカラーすなわち定数を掛ける操作は、ベクトルの大きさすなわち線の長さだけを変える。スカラーが負でないかぎり、スカラー倍は向きに影響しない。負の場合は、できるベクトルの向きは元のベクトルの向きの逆になる。

Note重要事項

Scalar Multiplicationスカラー倍

Scalar multiplication involves the product of a vector and a scalar. Each component of the vector is multiplied by the scalar. Thus, to multiply v =〈 a,b 〉 by k, we have

スカラー倍とは、ベクトルとスカラーの積である。ベクトルの各成分にスカラーを掛ける。よって v =〈 a,b 〉 に k を掛けると、次を得る。

kv=〈 ka,kb 〉

Only the magnitude changes, unless k is negative, and then the vector reverses direction.

k が負でないかぎり大きさだけが変わり、負のときはベクトルの向きが逆になる。

Example 6例6

Performing Scalar Multiplicationスカラー倍を行う

Given vector v =〈 3,1 〉, find 3v, 1 2 v, and −v.

ベクトル v =〈 3,1 〉 が与えられたとき、3v、1 2 v、−v を求めよ。

Solution 解答

See Figure 11 for a geometric interpretation. If v =〈 3,1 〉, then

幾何的な解釈は図11を見よ。v =〈 3,1 〉 なら、次を得る。

3v=〈 3⋅3,3⋅1 〉 =〈 9,3 〉 1 2 v=〈 1 2 ⋅3,1 2 ⋅1 〉 =〈 3 2 ,1 2 〉 −v=〈 −3,−1 〉
Showing the effect of scaling a vector: 3x, 1x, .5x, and -1x. The 3x is three times as long, the 1x stays the same, the .5x halves the length, and the -1x reverses the direction of the vector but keeps the length the same. The rest keep the same direction; only the magnitude changes.

Analysis 考察

Notice that the vector 3v is three times the length of v, 1 2 v is half the length of v, and –v is the same length of v, but in the opposite direction.

ベクトル 3v は v の長さの3倍、1 2 v は v の長さの半分、–v は v と同じ長さだが向きが逆であることに注意せよ。

Try It #2やってみよう2

Find the scalar multiple 3 u given u =〈 5,4 〉.

u =〈 5,4 〉 が与えられたとき、スカラー倍 3 u を求めよ。

Example 7例7

Using Vector Addition and Scalar Multiplication to Find a New Vectorベクトルの加法とスカラー倍を使って新しいベクトルを求める

Given u =〈 3,−2 〉 and v =〈 −1,4 〉, find a new vector w = 3u + 2v.

u =〈 3,−2 〉 と v =〈 −1,4 〉 が与えられたとき、新しいベクトル w = 3u + 2v を求めよ。

Solution 解答

First, we must multiply each vector by the scalar.

まず、各ベクトルにスカラーを掛けなければならない。

3u=3〈 3,−2 〉 =〈 9,−6 〉 2v=2〈 −1,4 〉 =〈 −2,8 〉

Then, add the two together.

そして、二つを足し合わせる。

w=3u+2v =〈 9,−6 〉+〈 −2,8 〉 =〈 9−2,−6+8 〉 =〈 7,2 〉

So, w =〈 7,2 〉.

よって w =〈 7,2 〉 である。