第10章三角法のさらなる応用Further Applications of Trigonometry

A Geometric View of Vectorsベクトルを図形として捉える

A vector is a specific quantity drawn as a line segment with an arrowhead at one end. It has an initial point, where it begins, and a terminal point, where it ends. A vector is defined by its magnitude, or the length of the line, and its direction, indicated by an arrowhead at the terminal point. Thus, a vector is a directed line segment. There are various symbols that distinguish vectors from other quantities:

ベクトルとは、一端に矢じりを付けた線分として描かれる特定の量である。始まりである始点と、終わりである終点を持つ。ベクトルは、その大きさすなわち線の長さと、終点の矢じりが示すその向きで定まる。よってベクトルは向きを持つ線分である。ベクトルをほかの量と区別する記号がいくつかある。

• Lower case, boldfaced type, with or without an arrow on top such as $v,$ $u,$ $w,$ $\vec{v},$ $\vec{u}, \vec{w} .$ • Given initial point $P$ and terminal point $Q,$ a vector can be represented as $\vec{P Q} .$ The arrowhead on top is what indicates that it is not just a line, but a directed line segment.• Given an initial point of $(0, 0)$ and terminal point $(a b),$ a vector may be represented as $〈 a, b 〉 .$

・ $v$ $u$ $w$ $\vec{v}$ $\vec{u}, \vec{w}$ のような、上に矢印を付けたり付けなかったりする小文字の太字。・始点 $P$ と終点 $Q$ が与えられたとき、ベクトルは $\vec{P Q}$ と表せる。上の矢じりは、これがただの線ではなく向きを持つ線分であることを示す。・始点 $(0, 0)$ と終点 $(a b)$ が与えられたとき、ベクトルは $〈 a, b 〉$ と表せる。

This last symbol $〈 a, b 〉$ has special significance. It is called the standard position. The position vector has an initial point $(0, 0)$ and a terminal point $(a, b) .$ To change any vector into the position vector, we think about the change in the x-coordinates and the change in the y-coordinates. Thus, if the initial point of a vector $\vec{C D}$ is $C (x_{1}, y_{1})$ and the terminal point is $D (x_{2}, y_{2}),$ then the position vector is found by calculating

この最後の記号 $〈 a, b 〉$ には特別な意味がある。これを標準位置という。位置ベクトルは始点 $(0, 0)$ と終点 $(a, b)$ を持つ。どんなベクトルも位置ベクトルに変えるには、x座標の変化と y座標の変化を考える。よってベクトル $\vec{C D}$ の始点が $C (x_{1}, y_{1})$ 、終点が $D (x_{2}, y_{2})$ なら、位置ベクトルは次を計算すれば求まる。

\begin{array}{l} \vec{A B} = 〈 x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1} 〉 \\ = 〈 a, b 〉 \end{array}

In Figure 2, we see the original vector $\vec{C D}$ and the position vector $\vec{A B} .$

図2に、元のベクトル $\vec{C D}$ と位置ベクトル $\vec{A B}$ を示す。

Plot of the original vector CD in blue and the position vector AB in orange extending from the origin.

Note重要事項

Properties of Vectorsベクトルの性質

A vector is a directed line segment with an initial point and a terminal point. Vectors are identified by magnitude, or the length of the line, and direction, represented by the arrowhead pointing toward the terminal point. The position vector has an initial point at $(0, 0)$ and is identified by its terminal point $(a, b) .$

ベクトルとは、始点と終点を持つ向きを持つ線分である。ベクトルは、大きさすなわち線の長さと、終点へ向かう矢じりが表す向きで見分けられる。位置ベクトルは始点が $(0, 0)$ にあり、終点 $(a, b)$ で見分けられる。

Example 1例1

Find the Position Vector位置ベクトルを求める

Consider the vector whose initial point is $P (2, 3)$ and terminal point is $Q (6, 4) .$ Find the position vector.

始点が $P (2, 3)$ 、終点が $Q (6, 4)$ のベクトルを考えよ。位置ベクトルを求めよ。

Solution 解答

The position vector is found by subtracting one x-coordinate from the other x-coordinate, and one y-coordinate from the other y-coordinate. Thus

位置ベクトルは、一方の x座標からもう一方の x座標を引き、一方の y座標からもう一方の y座標を引けば求まる。したがって、

\begin{array}{l} v = 〈 6 - 2, 4 - 3 〉 \\ = 〈 4, 1 〉 \end{array}

The position vector begins at $(0, 0)$ and terminates at $(4, 1) .$ The graphs of both vectors are shown in Figure 3.

この位置ベクトルは $(0, 0)$ から始まり $(4, 1)$ で終わる。両方のベクトルのグラフを図3に示す。

Plot of the original vector in blue and the position vector in orange extending from the origin.

We see that the position vector is $〈 4, 1 〉 .$

位置ベクトルは $〈 4, 1 〉$ だと分かる。

Example 2例2

Drawing a Vector with the Given Criteria and Its Equivalent Position Vector与えられた条件のベクトルと、それと同値な位置ベクトルを描く

Find the position vector given that vector $v$ has an initial point at $(- 3, 2)$ and a terminal point at $(4, 5),$ then graph both vectors in the same plane.

ベクトル $v$ の始点が $(- 3, 2)$ 、終点が $(4, 5)$ であるとして位置ベクトルを求め、両方のベクトルを同じ平面にグラフに描け。

Solution 解答

The position vector is found using the following calculation:

位置ベクトルは次の計算で求まる。

\begin{array}{l} v = 〈 4 - (- 3), 5 - 2 〉 \\ = 〈 7, 3 〉 \end{array}

Thus, the position vector begins at $(0, 0)$ and terminates at $(7, 3) .$ See Figure 4.

よってこの位置ベクトルは $(0, 0)$ から始まり $(7, 3)$ で終わる。図4を見よ。

Plot of the two given vectors their same position vector.

Try It #1やってみよう1

Draw a vector $v$ that connects from the origin to the point $(3, 5) .$

原点から点 $(3, 5)$ へつなぐベクトル $v$ を描け。