第8章運動量Momentum原書 p.259–286

SECTION LEARNING OBJECTIVES By the end of this section, you will be able to do the following:

この節の学習目標 この節を終えると、次のことができるようになる。

• Describe the law of conservation of momentum verbally and mathematically

・運動量保存の法則を言葉でも数式でも述べる

It is important we realize that momentum is conserved during collisions, explosions, and other events involving objects in motion. To say that a quantity is conserved means that it is constant throughout the event. In the case of conservation of momentum, the total momentum in the system remains the same before and after the collision.

衝突や爆発など、動く物体の関わる出来事で運動量が保存されることを理解しておくのが大切である。ある量が保存されるとは、その出来事を通じてその量が一定だという意味である。運動量の保存の場合、系の全運動量が衝突の前後で変わらない。

You may have noticed that momentum was not conserved in some of the examples previously presented in this chapter. where forces acting on the objects produced large changes in momentum. Why is this? The systems of interest considered in those problems were not inclusive enough. If the systems were expanded to include more objects, then momentum would in fact be conserved in those sample problems. It is always possible to find a larger system where momentum is conserved, even though momentum changes for individual objects within the system.

この章でこれまで示した例のいくつかでは、運動量が保存されていないことに気づいたかもしれない。物体にはたらく力が運動量を大きく変えていたからである。なぜそうなるのか。それらの問題で考えた関心のある系が、十分に広く取られていなかったのである。系をもっと多くの物体を含むように広げれば、それらの例題でも実は運動量は保存される。系の中の個々の物体では運動量が変わっても、運動量が保存されるより大きな系はつねに見つけられる。

For example, if a football player runs into the goalpost in the end zone, a force will cause him to bounce backward. His momentum is obviously greatly changed, and considering only the football player, we would find that momentum is not conserved. However, the system can be expanded to contain the entire Earth. Surprisingly, Earth also recoils—conserving momentum—because of the force applied to it through the goalpost. The effect on Earth is not noticeable because it is so much more massive than the player, but the effect is real.

たとえばフットボール選手がエンドゾーンでゴールポストにぶつかれば、力を受けて跳ね返される。彼の運動量は明らかに大きく変わっており、選手だけを見れば運動量は保存されていない。しかし系を地球全体を含むように広げることができる。驚いたことに、地球もまた——運動量を保つために——反跳する。ゴールポストを通じて地球に力が加わるからである。地球は選手よりはるかに重いので、その効果は目に見えないが、効果自体は本物である。

Next, consider what happens if the masses of two colliding objects are more similar than the masses of a football player and Earth—in the example shown in Figure 8.4 of one car bumping into another. Both cars are coasting in the same direction when the lead car, labeled m₂, is bumped by the trailing car, labeled m₁. The only unbalanced force on each car is the force of the collision, assuming that the effects due to friction are negligible. Car m1 slows down as a result of the collision, losing some momentum, while car m2 speeds up and gains some momentum. If we choose the system to include both cars and assume that friction is negligible, then the momentum of the two-car system should remain constant. Now we will prove that the total momentum of the two-car system does in fact remain constant, and is therefore conserved.

次に、衝突する二つの物体の質量が、フットボール選手と地球より近い場合に何が起こるかを考えよう。図8.4に示す、一台の車がもう一台に追突する例である。二台の車は同じ向きに惰性で走っており、そこへ後ろの車m₁が前の車m₂に追突する。摩擦の影響が無視できるとすると、各車にはたらくつり合っていない力は衝突の力だけである。車m₁は衝突の結果として遅くなり、運動量をいくらか失う。一方、車m₂は速くなり運動量をいくらか得る。系として二台の車の両方をとり、摩擦が無視できるとすれば、二台からなる系の運動量は一定に保たれるはずである。ここで、二台の車の系の全運動量が実際に一定に保たれること、すなわち保存されることを示そう。

Using the impulse-momentum theorem, the change in momentum of car 1 is given by

力積・運動量定理を使うと、車1の運動量の変化は次で与えられる。

where F₁ is the force on car 1 due to car 2, and $\text{Δ}t$ is the time the force acts, or the duration of the collision.

ここでF₁は車2が車1に及ぼす力、$\text{Δ}t$はその力がはたらく時間、すなわち衝突の続く時間である。

Similarly, the change in momentum of car 2 is $\text{Δ}{p}_2=F_2\text{Δ}t$ where F₂ is the force on car 2 due to car 1, and we assume the duration of the collision $\text{Δ}t$ is the same for both cars. We know from Newton’s third law of motion that F₂ = –F₁, and so $\text{Δ}{p}_2=-F_1\text{Δ}t=-\text{Δ}{p}_1$ .

同じように、車2の運動量の変化は$\text{Δ}{p}_2=F_2\text{Δ}t$である。ここでF₂は車1が車2に及ぼす力であり、衝突の続く時間$\text{Δ}t$は両方の車で同じだとする。ニュートンの運動の第三法則から F₂ = −F₁ だと分かっているので、$\text{Δ}{p}_2=-F_1\text{Δ}t=-\text{Δ}{p}_1$となる。

Therefore, the changes in momentum are equal and opposite, and $\text{Δ}{p}_1+\text{Δ}{p}_2=0$ .

したがって運動量の変化は大きさが等しく向きが逆であり、$\text{Δ}{p}_1+\text{Δ}{p}_2=0$である。

Because the changes in momentum add to zero, the total momentum of the two-car system is constant. That is,

運動量の変化が足して0になるので、二台の車の系の全運動量は一定である。すなわち、

where p′₁ and p′₂ are the momenta of cars 1 and 2 after the collision.

ここでp′₁とp′₂は、衝突後の車1と車2の運動量である。

This result that momentum is conserved is true not only for this example involving the two cars, but for any system where the net external force is zero, which is known as an isolated system. The law of conservation of momentum states that for an isolated system with any number of objects in it, the total momentum is conserved. In equation form, the law of conservation of momentum for an isolated system is written as

運動量が保存されるというこの結果は、この二台の車の例だけでなく、外力の合力が0であるどんな系についても成り立つ。そのような系を孤立系という。運動量保存の法則は、いくつの物体を含む孤立系についても、全運動量が保存されると述べる。式で書けば、孤立系についての運動量保存の法則は次のように書かれる。

or

すなわち、

where p_tot is the total momentum, or the sum of the momenta of the individual objects in the system at a given time, and p′_tot is the total momentum some time later.

ここでp_totは全運動量、すなわちある時刻における系内の個々の物体の運動量の和であり、p′_totはしばらくあとの全運動量である。

The conservation of momentum principle can be applied to systems as diverse as a comet striking the Earth or a gas containing huge numbers of atoms and molecules. Conservation of momentum appears to be violated only when the net external force is not zero. But another larger system can always be considered in which momentum is conserved by simply including the source of the external force. For example, in the collision of two cars considered above, the two-car system conserves momentum while each one-car system does not.

運動量保存の原理は、地球に衝突する彗星から、莫大な数の原子や分子を含む気体まで、さまざまな系に当てはめられる。運動量の保存が破られるように見えるのは、外力の合力が0でないときだけである。しかしその場合も、外力の源を含めるだけで運動量が保存されるより大きな系をつねに考えられる。たとえば上で考えた二台の車の衝突では、二台からなる系では運動量が保存されるが、一台ずつの系では保存されない。

Angular Momentum in Figure Skating So far we have covered linear momentum, which describes the inertia of objects traveling in a straight line. But we know that many objects in nature have a curved or circular path. Just as linear motion has linear momentum to describe its tendency to move forward, circular motion has the equivalent angular momentum to describe how rotational motion is carried forward.

フィギュアスケートにおける角運動量 ここまで、直線に沿って進む物体の慣性を表す運動量を扱ってきた。しかし自然界の多くの物は曲がった、あるいは円の道筋をたどる。直線運動に、前へ進み続けようとする傾向を表す運動量があるのと同じく、円運動には、回転運動がどう引き継がれていくかを表す角運動量がある。

This is similar to how torque is analogous to force, angular acceleration is analogous to translational acceleration, and mr² is analogous to mass or inertia. You may recall learning that the quantity mr² is called the rotational inertia or moment of inertia of a point mass m at a distance r from the center of rotation.

回転運動と並進運動には、このような対応関係がある。トルクは力に、角加速度は加速度に、mr² は質量に対応する。回転中心から距離 r の位置にある質量 m の質点について、mr² を慣性モーメントと呼んだことを思い出そう。

We already know the equation for linear momentum, p = mv. Since angular momentum is analogous to linear momentum, the moment of inertia (I) is analogous to mass, and angular velocity $(\text{ω})$ is analogous to linear velocity, it makes sense that angular momentum (L) is defined as

運動量の式 p = mv はすでに知っている。角運動量は運動量に対応し、慣性モーメント(I)は質量に、角速度$(\text{ω})$は直線の速度に対応するのだから、角運動量(L)が次のように定義されるのは筋が通っている。

Angular momentum is conserved when the net external torque ( $\tau$ ) is zero, just as linear momentum is conserved when the net external force is zero.

運動量が外力の合力が0のときに保存されるのと同じく、角運動量は正味の外部トルク($\tau$)が0のときに保存される。

Figure skaters take advantage of the conservation of angular momentum, likely without even realizing it. In Figure 8.5, a figure skater is executing a spin. The net torque on her is very close to zero, because there is relatively little friction between her skates and the ice, and because the friction is exerted very close to the pivot point. Both F and r are small, and so $\tau$ is negligibly small.

フィギュアスケーターは、おそらくそれと気づかないまま、角運動量の保存を利用している。図8.5では、フィギュアスケーターがスピンをしている。彼女にはたらく正味のトルクは0にきわめて近い。スケート靴と氷の間の摩擦が比較的小さく、しかもその摩擦が回転の中心のごく近くではたらいているからである。Fもrも小さいので、$\tau$は無視できるほど小さい。

Consequently, she can spin for quite some time. She can do something else, too. She can increase her rate of spin by pulling her arms and legs in. Why does pulling her arms and legs in increase her rate of spin? The answer is that her angular momentum is constant, so that L = L′.

だから彼女はかなり長い間回り続けられる。彼女にはもう一つできることがある。腕と脚を引き寄せることで、回転の速さを上げられるのだ。なぜ腕と脚を引き寄せると回転が速くなるのか。答えは、彼女の角運動量が一定なので L = L′ となるからである。

Expressing this equation in terms of the moment of inertia,

この式を慣性モーメントで表すと、

where the primed quantities refer to conditions after she has pulled in her arms and reduced her moment of inertia. Because I′ is smaller, the angular velocity ${\omega }^{\prime }$ must increase to keep the angular momentum constant. This allows her to spin much faster without exerting any extra torque.

となる。ダッシュの付いた量は、彼女が腕を引き寄せて慣性モーメントを小さくしたあとの状態を指す。I′が小さいので、角運動量を一定に保つには角速度${\omega }^{\prime }$が大きくならねばならない。だから彼女は、余分なトルクをまったく加えずにずっと速く回れるのである。

A video (https://openstax.org/l/28figureskater) is also available that shows a real figure skater executing a spin. It discusses the physics of spins in figure skating.

実際のフィギュアスケーターがスピンをする動画(https://openstax.org/l/28figureskater)もある。フィギュアスケートのスピンの物理を論じている。