第5章二次元の運動Motion in Two Dimensions原書 p.151–204

• The graphical method of adding vectors $\text{A}$ and $B$ involves drawing vectors on a graph and adding them by using the head-to-tail method. The resultant vector $R$ is defined such that A + B = R. The magnitude and direction of $\text{R}$ are then determined with a ruler and protractor.• The graphical method of subtracting vectors A and B involves adding the opposite of vector B, which is defined as −B. In this case,

・ベクトル$\text{A}$と$B$を図で足す方法は、ベクトルをグラフに描き、頭尾法で足すことである。合成ベクトル$R$は A + B = R となるように定められる。$\text{R}$の大きさと向きは、定規と分度器で決める。・ベクトルAとBを図で引く方法は、ベクトルBの逆、すなわち−Bを足すことである。この場合、

Next, use the head-to-tail method as for vector addition to obtain the resultant vector . • Addition of vectors is independent of the order in

である。あとはベクトルの加法と同じく頭尾法を使って、合成ベクトルを得る。 ・ベクトルの加法は、足す順序に

which they are added; A + B = B + A.• The head-to-tail method of adding vectors involves drawing the first vector on a graph and then placing the tail of each subsequent vector at the head of the previous vector. The resultant vector is then drawn from the tail of the first vector to the head of the final vector.• Variables in physics problems, such as force or velocity, can be represented with vectors by making the length of the vector proportional to the magnitude of the force or velocity.• Problems involving displacement, force, or velocity may be solved graphically by measuring the resultant vector’s magnitude with a ruler and measuring the direction with a protractor.

よらない。A + B = B + A である。・頭尾法によるベクトルの加法では、まず一つ目のベクトルをグラフに描き、以降の各ベクトルの尾を前のベクトルの頭に置いていく。そのうえで、一つ目のベクトルの尾から最後のベクトルの頭へ合成ベクトルを描く。・力や速度のような物理の問題に出てくる変数は、ベクトルの長さを力や速度の大きさに比例させることでベクトルとして表せる。・変位・力・速度に関する問題は、合成ベクトルの大きさを定規で、向きを分度器で測ることによって図から解ける。

• The analytical method of vector addition and subtraction uses the Pythagorean theorem and trigonometric identities to determine the magnitude and direction of a resultant vector.• The steps to add vectors $\text{A}$ and $\text{B}$ using the analytical method are as follows:

・ベクトルの加減の解析的な方法は、ピタゴラスの定理と三角比を使って、合成ベクトルの大きさと向きを決める。・解析的な方法でベクトル$\text{A}$と$\text{B}$を足す手順は次のとおりである。

1. Determine the coordinate system for the vectors. Then, determine the horizontal and vertical components of each vector using the equations

1. ベクトルの座標系を決める。次に、次の式を使って各ベクトルの水平成分と鉛直成分を求める。

and

また、

2. Add the horizontal and vertical components of each vector to determine the components $R_x$ and $R_y$ of the resultant vector, $\text{R.}$

2. 各ベクトルの水平成分どうし、鉛直成分どうしを足して、合成ベクトル$\text{R.}$の成分$R_x$と$R_y$を求める。

and

また、

3. Use the Pythagorean theorem to determine the magnitude, $R$, of the resultant vector $\text{R.}$

3. ピタゴラスの定理を使って、合成ベクトル$\text{R.}$の大きさ$R$を求める。

4. Use a trigonometric identity to determine the direction, $\theta$, of $\text{R.}$

4. 三角比を使って、$\text{R.}$の向き$\theta$を求める。

• Projectile motion is the motion of an object through the air that is subject only to the acceleration of gravity.• Projectile motion in the horizontal and vertical directions are independent of one another.• The maximum height of an projectile is the

・放物運動とは、重力加速度だけを受けて空中を進む物体の運動である。・放物運動の水平方向と鉛直方向は互いに独立である。・放物体の最高点の高さとは、

highest altitude, or maximum displacement in the vertical position reached in the path of a projectile.• The range is the maximum horizontal distance traveled by a projectile.• To solve projectile problems: choose a coordinate system; analyze the motion in the vertical and horizontal direction separately; then, recombine the horizontal and vertical components using vector addition equations.

放物体の道筋の中で達する最も高い高度、すなわち鉛直方向の最大の変位である。・水平到達距離とは、放物体が進む最大の水平距離である。・放物運動の問題を解くには、座標系を選び、鉛直方向と水平方向の運動を別々に分析し、そのうえでベクトルの加法の式を使って水平成分と鉛直成分を合成し直す。

• Friction is a contact force between systems that opposes the motion or attempted motion between them. Simple friction is proportional to the normal force N pushing the systems together. A normal force is always perpendicular to the contact surface between systems. Friction depends on both of the materials involved.• µ_s is the coefficient of static friction, which depends on both of the materials.• µ_k is the coefficient of kinetic friction, which also depends on both materials.• When objects rest on an inclined plane that makes an angle $\theta$ with the horizontal surface, the weight of the object can be broken into components that act perpendicular $(w_{\perp })$ and parallel ( $w_{\left|\right|}$ ) to the surface of the plane.

・摩擦は、接触する系どうしの間にはたらく接触力であり、両者の運動、あるいは運動しようとする動きを妨げる。単純な摩擦は、系どうしを押し付ける垂直抗力Nに比例する。垂直抗力はつねに系どうしの接触面に垂直である。摩擦は関わる二つの材料の両方によって決まる。・µ_sは静止摩擦係数で、両方の材料によって決まる。・µ_kは動摩擦係数で、これも両方の材料によって決まる。・物体が水平面と角$\theta$をなす斜面の上に置かれているとき、その物体の重さは、面に垂直な成分$(w_{\perp })$と面に平行な成分($w_{\left|\right|}$)に分けられる。

• An oscillation is a back and forth motion of an object between two points of deformation.• The simplest type of oscillations are related to systems that can be described by Hooke’s law.• Periodic motion is a repetitious oscillation.• The time for one oscillation is the period T.• The number of oscillations per unit time is the frequency• A mass m suspended by a wire of length L is a simple pendulum and undergoes simple harmonic motion for amplitudes less than about 15 degrees.

・振動とは、変形した二つの点の間を物体が行ったり来たりする運動である。・最も単純な振動は、フックの法則で表せる系に関わるものである。・周期運動とは繰り返される振動である。・一回の振動にかかる時間が周期Tである。・単位時間あたりの振動の回数が振動数である。・長さLの針金でつるされた質量mは単振り子であり、約15度未満の振幅では単振動をする。