第1章物理学とは何かWhat is Physics?原書 p.5–54

Most results in science are presented in scientific journal articles using graphs. Graphs present data in a way that is easy to visualize for humans in general, especially someone unfamiliar with what is being studied. They are also useful for presenting large amounts of data or data with complicated trends in an easily-readable way.

科学の成果のほとんどは、学術論文の中でグラフを使って示される。グラフはデータを、人間一般にとって、とりわけ研究対象をよく知らない人にとって、思い描きやすい形で示してくれる。大量のデータや、込み入った傾向をもつデータを、読み取りやすい形で示すのにも役立つ。

One commonly-used graph in physics and other sciences is the line graph, probably because it is the best graph for showing how one quantity changes in response to the other. Let’s build a line graph based on the data in Table 1.5, which shows the measured distance that a train travels from its station versus time. Our two variables, or things that change along the graph, are time in minutes, and distance from the station, in kilometers. Remember that measured data may not have perfect accuracy.

物理をはじめとする科学でよく使われるグラフの一つが折れ線グラフである。おそらく、ある量が別の量に応じてどう変わるかを示すのに、最も適したグラフだからだろう。表1.5のデータをもとに折れ線グラフを作ってみよう。この表は、列車が駅から進んだ距離を時間に対して測ったものである。グラフに沿って変わるもの、すなわち二つの変数は、分で表した時間と、キロメートルで表した駅からの距離である。測定されたデータが完全に正確とは限らないことを忘れずに。

In general, you want to pick a scale for both axes that 1) shows all of your data, and 2) makes it easy to identify trends in your data. If you make your scale too large, it will be harder to see how your data change. Likewise, the smaller and more fine you make your scale, the more space you will need to make the graph. The number of significant figures in the axis values should be coarser than the number of significant figures in the measurements.

一般に、両方の軸の目盛りは、1)データがすべて入り、2)データの傾向を読み取りやすい、ものを選びたい。目盛りを大きくとりすぎると、データの変化が見えにくくなる。逆に目盛りを細かくするほど、グラフを描くのに広い場所が要る。軸の値の有効数字は、測定値の有効数字より粗くすべきである。

4. Now that your axes are ready, you can begin plotting your data. For the first data point, count along the x-axis until you find the 10 min tick mark. Then, count up from that point to the 10 km tick mark on the y-axis, and approximate where 22 km is along the y-axis. Place a dot at this location. Repeat for the other six data points (Figure 1.26).

4. 軸が用意できたら、データを打点しはじめられる。最初のデータ点なら、x軸に沿って10分の目盛りまで進む。次にその点からy軸の10 kmの目盛りまで上がり、y軸に沿って22 kmがどこかを見当づける。その位置に点を打つ。残り6個のデータ点についても同じことを繰り返す(図1.26)。

Analyzing a Graph Using Its Equation One way to get a quick snapshot of a dataset is to look at the equation of its trend line. If the graph produces a straight line, the equation of the trend line takes the form

式を使ってグラフを読み解く データの全体像を手早くつかむ一つの方法は、その傾向線の式を見ることである。グラフが直線になるなら、傾向線の式は次の形をとる。

The b in the equation is the y-intercept while the m in the equation is the slope. The y-intercept tells you at what y value the line intersects the y-axis. In the case of the graph above, the y-intercept occurs at 0, at the very beginning of the graph. The y-intercept, therefore, lets you know immediately where on the y-axis the plot line begins.

式のbはy切片、mは傾きである。y切片は、その直線がy軸と交わるyの値を教えてくれる。上のグラフの場合、y切片はグラフのいちばん始めの0にある。したがってy切片を見れば、グラフの線がy軸のどこから始まるかがすぐにわかる。

The m in the equation is the slope. This value describes how much the line on the graph moves up or down on the y-axis along the line’s length. The slope is found using the following equation

式のmは傾きである。この値は、グラフ上の線がその長さに沿ってy軸方向にどれだけ上がる(下がる)かを表す。傾きは次の式で求める。

In order to solve this equation, you need to pick two points on the line (preferably far apart on the line so the slope you calculate describes the line accurately). The quantities Y₂ and Y₁ represent the y-values from the two points on the line (not data points) that you picked, while X₂ and X₁ represent the two x-values of the those points.

この式を解くには、線上の2点を選ぶ必要がある(計算した傾きが線を正しく表すよう、なるべく離れた2点を選ぶのがよい)。Y₂とY₁は、選んだ線上の2点(データ点ではない)のy座標を、X₂とX₁はその2点のx座標を表す。

What can the slope value tell you about the graph? The slope of a perfectly horizontal line will equal zero, while the slope of a perfectly vertical line will be undefined because you cannot divide by zero. A positive slope indicates that the line moves up the y-axis as the x-value increases while a negative slope means that the line moves down the y-axis. The more negative or positive the slope is, the steeper the line moves up or down, respectively. The slope of our graph in Figure 1.26 is calculated below based on the two endpoints of the line

傾きの値はグラフについて何を教えてくれるのか。完全に水平な線の傾きは0であり、完全に垂直な線の傾きは、0で割ることができないので定義されない。傾きが正なら、xの値が増えるにつれて線がy軸方向に上がっていくことを示し、傾きが負なら線が下がっていくことを示す。傾きが正または負の方向に大きいほど、線はそれぞれ急に上がる、あるいは急に下がる。図1.26のグラフの傾きを、線の両端の2点にもとづいて以下に計算する。

Because the x axis is time in minutes, we would actually be more likely to use the time t as the independent (x-axis) variable and write the equation as

x軸は分単位の時間なので、実際には時間tを独立変数(x軸)として使い、式を次のように書くほうが自然だろう。

The formula $y=mx+b$ only applies to linear relationships, or ones that produce a straight line. Another common type of line in physics is the quadratic relationship, which occurs when one of the variables is squared. One quadratic relationship in physics is the relation between the speed of an object its centripetal acceleration, which is used to determine the force needed to keep an object moving in a circle. Another common relationship in physics is the inverse relationship, in which one variable decreases whenever the other variable increases. An example in physics is Coulomb’s law. As the distance between two charged objects increases, the electrical force between the two charged objects decreases. Inverse proportionality, such the relation between x and y in the equation

$y=mx+b$という式は、一次の関係、すなわち直線になる関係にしか当てはまらない。物理でよく出るもう一つの型が二次の関係で、変数の一方が2乗されるときに現れる。物理における二次の関係の一例が、物体の速さとその向心加速度の関係で、これは物体を円運動させ続けるのに必要な力を求めるのに使われる。物理でよく出るもう一つの関係が反比例の関係で、一方の変数が増えるともう一方が減る。物理での例がクーロンの法則である。二つの帯電した物体の距離が増えると、その間にはたらく電気的な力は小さくなる。次の式でxとyの間に表されるような反比例、

for some number k, is one particular kind of inverse relationship. A third commonly-seen relationship is the exponential relationship, in which a change in the independent variable produces a proportional change in the dependent variable. As the value of the dependent variable gets larger, its rate of growth also increases. For example, bacteria often reproduce at an exponential rate when grown under ideal conditions. As each generation passes, there are more and more bacteria to reproduce. As a result, the growth rate of the bacterial population increases every generation (Figure 1.28).

すなわち、xとyが変わってもkが一定に保たれる関係は、反比例の関係の中でも特別な一つの形である。三つ目のよく見る関係が指数関係で、独立変数の変化が従属変数に比例した変化を生むものである。従属変数の値が大きくなるにつれ、その増え方も速くなる。たとえば細菌は、理想的な条件のもとで育てられるとしばしば指数的な速さで増える。世代が進むごとに、増殖する細菌の数がどんどん多くなる。その結果、細菌集団の増加率は世代ごとに大きくなる(図1.28)。

Using Logarithmic Scales in Graphing Sometimes a variable can have a very large range of values. This presents a problem when you’re trying to figure out the best scale to use for your graph’s axes. One option is to use a logarithmic (log) scale. In a logarithmic scale, the value each mark labels is the previous mark’s value multiplied by some constant. For a log base 10 scale, each mark labels a value that is 10 times the value of the mark before it. Therefore, a base 10 logarithmic scale would be numbered: 0, 10, 100, 1,000, etc. You can see how the logarithmic scale covers a much larger range of values than the corresponding linear scale, in which the marks would label the values 0, 10, 20, 30, and so on.

グラフに対数目盛りを使う 変数の値の範囲がとても広いことがある。これは、グラフの軸にどんな目盛りを使うのがよいかを決めるときに困りものである。一つの選択肢が対数目盛りを使うことである。対数目盛りでは、各目盛りが表す値は、一つ前の目盛りの値に一定の数を掛けたものになる。底が10の対数目盛りなら、各目盛りは一つ前の目盛りの10倍の値を表す。したがって底10の対数目盛りには、0、10、100、1,000……と数値が振られる。目盛りが0、10、20、30……となる対応する線形目盛りに比べ、対数目盛りがはるかに広い値の範囲を覆えることがわかるだろう。

If you use a logarithmic scale on one axis of the graph and a linear scale on the other axis, you are using a semi-log plot. The Richter scale, which measures the strength of earthquakes, uses a semi-log plot. The degree of ground movement is plotted on a logarithmic scale against the assigned intensity level of the earthquake, which ranges linearly from 1-10 (Figure 1.29 (a)).

グラフの一方の軸に対数目盛り、もう一方に線形目盛りを使うと、片対数プロットになる。地震の強さを測るリヒター・スケールは片対数プロットを使っている。地面の動きの大きさを対数目盛りにとり、1から10まで線形に割り振られた地震の強さの階級に対して描く(図1.29(a))。

If a graph has both axes in a logarithmic scale, then it is referred to as a log-log plot. The relationship between the wavelength and frequency of electromagnetic radiation such as light is usually shown as a log-log plot (Figure 1.29 (b)). Log-log plots are also commonly used to describe exponential functions, such as radioactive decay.

グラフの両方の軸が対数目盛りなら、それは両対数プロットと呼ばれる。光のような電磁波の波長と振動数の関係は、ふつう両対数プロットで示される(図1.29(b))。両対数プロットは、放射性崩壊のような指数関数を表すのにもよく使われる。

Method of Adding Percents: Shingling Your Roof A series of shingles are used to protect the roof of a home. Using a measuring tape, you measure one shingle and find its dimensions to be 44 cm by 100 cm. Knowing that your measurements are not perfect, you estimate an uncertainty of ±0.5 cm. Following the method of adding percents, what is the area of the shingle, including uncertainty?Strategy

百分率を足し合わせる方法:屋根を葺く 家の屋根を守るために、屋根板を何枚も使う。巻き尺で1枚を測ったところ、寸法は44 cm×100 cmだった。測定が完全ではないと知っているので、不確かさを±0.5 cmと見積もる。百分率を足し合わせる方法に従うと、不確かさを含めた屋根板の面積はいくらか。方針

While calculating the area of the shingle is straightforward (44 cm x 100 cm = 4400 cm²), determining the percent uncertainty is more challenging. In order to use the method of adding percents, you must first calculate the percent uncertainty of each measurement.

屋根板の面積の計算そのものは単純である(44 cm×100 cm = 4400 cm²)が、百分率の不確かさを求めるほうは少し難しい。百分率を足し合わせる方法を使うには、まず各測定の百分率の不確かさを計算しなければならない。

Length % Uncertainty: ⯑A/A x 100% = 0.5/44 x 100% = 1.1% Width % Uncertainty: ⯑A/A x 100% = 0.5/100 x 100% = 0.5%

長さの百分率の不確かさ:δA/A×100% = 0.5/44×100% = 1.1% 幅の百分率の不確かさ:δA/A×100% = 0.5/100×100% = 0.5%

Adding Percents: 1.1% + 0.5% = 1.6% uncertainty

百分率を足す:1.1% + 0.5% = 1.6%の不確かさ

Area of the Shingle: 4400 cm² ± 1.6%

屋根板の面積:4400 cm² ± 1.6%

Note that this uncertainty can also be expressed in metric terms.

この不確かさは、メートル法の量としても表せる。

1.6% x 4400 cm² = 70.4 cm²

1.6%×4400 cm² = 70.4 cm²

Area of the Shingle: 4400 ± 70.4 cm²

屋根板の面積:4400 ± 70.4 cm²

Knowing the percent uncertainty of a shingle can help a contractor determine the number of shingles needed, and therefore the cost, of roofing a new home. Consider how using smaller shingles would affect this uncertainty, and what role this would play in the cost estimation process.

屋根板の百分率の不確かさを知っていれば、施工業者は新築の屋根を葺くのに必要な枚数、したがって費用を見積もれる。もっと小さい屋根板を使ったらこの不確かさはどうなるか、そしてそれが費用の見積もりにどう効いてくるかを考えてみよう。