第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

1. The population of a pod of bottlenose dolphins is modeled by the function $A(t)=8{(1.17)}^t,$ where $t$ is given in years. To the nearest whole number, what will the pod population be after $3$ years?

1. あるハンドウイルカの群れの個体数は、関数 $A(t)=8{(1.17)}^t$ でモデル化される。ここで $t$ は年で与えられる。$3$ 年後、この群れの個体数は整数でいくらになるか。

2. Find an exponential equation that passes through the points $\text{(0, 4)}$ and $\text{(2, 9)}\text{.}$

2. 点 $\text{(0, 4)}$ と $\text{(2, 9)}$ を通る指数の式を求めよ。

3. Drew wants to save $2,500 to go to the next World Cup. To the nearest dollar, how much will he need to invest in an account now with $6.25\%$ APR, compounding daily, in order to reach his goal in $4$ years?

3. Drew は次のワールドカップに行くために2,500ドルを貯めたい。$4$ 年でこの目標に届くには、年利 $6.25\%$、毎日複利の口座に今いくら投じる必要があるか。ドル単位で答えよ。

4. An investment account was opened with an initial deposit of $9,600 and earns $7.4\%$ interest, compounded continuously. How much will the account be worth after $15$ years?

4. 初めに9,600ドルを預けて投資口座を開き、$7.4\%$ の利子が連続複利でつく。$15$ 年後、この口座はいくらになるか。

5. Graph the function $f(x)=5{\left(0.5\right)}^{-x}$ and its reflection across the y-axis on the same axes, and give the y-intercept.

5. 関数 $f(x)=5{\left(0.5\right)}^{-x}$ と、それを y軸に関して折り返したもののグラフを同じ座標軸に描き、y切片を示せ。

6. The graph shows transformations of the graph of $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.$ What is the equation for the transformation?

6. このグラフは $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ のグラフを変形したものを示している。この変形の式は何か。

7. Rewrite ${\log }_{8.5}\left(614.125\right)=a$ as an equivalent exponential equation.

7. ${\log }_{8.5}\left(614.125\right)=a$ を同値な指数の式に書き直せ。

8. Rewrite $e^{\frac{1}{2}}=m$ as an equivalent logarithmic equation.

8. $e^{\frac{1}{2}}=m$ を同値な対数の式に書き直せ。

9. Solve for $x$ by converting the logarithmic equation $lo{g}_{\frac{1}{7}}(x)=2$ to exponential form.

9. 対数の式 $lo{g}_{\frac{1}{7}}(x)=2$ を指数の形に直して $x$ について解け。

10. Evaluate $\log (\mathrm{10,000,000})$ without using a calculator.

10. 電卓を使わずに $\log (\mathrm{10,000,000})$ の値を求めよ。

11. Evaluate $\ln \left(0.716\right)$ using a calculator. Round to the nearest thousandth.

11. 電卓を使って $\ln \left(0.716\right)$ の値を求めよ。小数第三位まで丸めよ。

12. Graph the function $g(x)=\log \left(12-6x\right)+3.$

12. 関数 $g(x)=\log \left(12-6x\right)+3.$ のグラフを描け。

13. State the domain, vertical asymptote, and end behavior of the function $f(x)={\log }_5\left(39-13x\right)+7.$

13. 関数 $f(x)={\log }_5\left(39-13x\right)+7.$ の定義域、垂直漸近線、端のふるまいを答えよ。

14. Rewrite $\log \left(17a\cdot 2b\right)$ as a sum.

14. $\log \left(17a\cdot 2b\right)$ を和として書き直せ。

15. Rewrite ${\log }_t\left(96\right)-{\log }_t\left(8\right)$ in compact form.

15. ${\log }_t\left(96\right)-{\log }_t\left(8\right)$ をまとめた形に書き直せ。

16. Rewrite ${\log }_8\left(a^{\frac{1}{b}}\right)$ as a product.

16. ${\log }_8\left(a^{\frac{1}{b}}\right)$ を積として書き直せ。

17. Use properties of logarithm to expand $\ln \left(y^3{z}^2\cdot \sqrt[3]{x-4}\right).$

17. 対数の性質を使って $\ln \left(y^3{z}^2\cdot \sqrt[3]{x-4}\right)$ を展開せよ。

18. Condense the expression $4\ln (c)+\ln (d)+\frac{\ln \left(a\right)}{3}+\frac{\ln \left(b+3\right)}{3}$ to a single logarithm.

18. 式 $4\ln (c)+\ln (d)+\frac{\ln \left(a\right)}{3}+\frac{\ln \left(b+3\right)}{3}$ を一つの対数にまとめよ。

19. Rewrite ${16}^{3x-5}=1000$ as a logarithm. Then apply the change of base formula to solve for $x$ using the natural log. Round to the nearest thousandth.

19. ${16}^{3x-5}=1000$ を対数として書き直せ。そして底の変換公式を当てはめ、自然対数を使って $x$ について解け。小数第三位まで丸めよ。

20. Solve ${\left(\frac{1}{81}\right)}^x\cdot \frac{1}{243}={\left(\frac{1}{9}\right)}^{-3x-1}$ by rewriting each side with a common base.

20. 両辺を共通の底に書き直して ${\left(\frac{1}{81}\right)}^x\cdot \frac{1}{243}={\left(\frac{1}{9}\right)}^{-3x-1}$ を解け。

21. Use logarithms to find the exact solution for $-9e^{10a-8}-5=-41$ . If there is no solution, write no solution.

21. 対数を使って $-9e^{10a-8}-5=-41$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

22. Find the exact solution for $10e^{4x+2}+5=56.$ If there is no solution, write no solution.

22. $10e^{4x+2}+5=56.$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

23. Find the exact solution for $-5e^{-4x-1}-4=64.$ If there is no solution, write no solution.

23. $-5e^{-4x-1}-4=64.$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

24. Find the exact solution for $2^{x-3}=6^{2x-1}.$ If there is no solution, write no solution.

24. $2^{x-3}=6^{2x-1}$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

25. Find the exact solution for $e^{2x}-e^x-72=0.$ If there is no solution, write no solution.

25. $e^{2x}-e^x-72=0.$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

26. Use the definition of a logarithm to find the exact solution for $4\log \left(2n\right)-7=-11$

26. 対数の定義を使って $4\log \left(2n\right)-7=-11$ の厳密な解を求めよ。

27. Use the one-to-one property of logarithms to find an exact solution for $\log \left(4x^2-10\right)+\log \left(3\right)=\log \left(51\right)$ If there is no solution, write no solution.

27. 対数の一対一の性質を使って $\log \left(4x^2-10\right)+\log \left(3\right)=\log \left(51\right)$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

28. The formula for measuring sound intensity in decibels $D$ is defined by the equation $D=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right),$ where $I$ is the intensity of the sound in watts per square meter and $I_0={10}^{-12}$ is the lowest level of sound that the average person can hear. How many decibels are emitted from a rock concert with a sound intensity of $4.7\cdot {10}^{-1}$ watts per square meter?

28. 音の強さをデシベル $D$ で測る公式は、式 $D=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$ で定められる。ここで $I$ は1平方メートルあたりのワットで表した音の強さ、$I_0={10}^{-12}$ はふつうの人が聞きとれる最も低い音の水準である。音の強さが1平方メートルあたり $4.7\cdot {10}^{-1}$ ワットのロックの演奏会は、何デシベルを出しているか。

29. A radiation safety officer is working with $112$ grams of a radioactive substance. After $17$ days, the sample has decayed to $80$ grams. Rounding to five significant digits, write an exponential equation representing this situation. To the nearest day, what is the half-life of this substance?

29. ある放射線安全管理者が、放射性物質 $112$ グラムを扱っている。$17$ 日後、その試料は $80$ グラムに減っている。有効数字5桁に丸めて、この状況を表す指数の式を書け。この物質の半減期は、日単位でいくらか。

30. Write the formula found in the previous exercise as an equivalent equation with base $e.$ Express the exponent to five significant digits.

30. 前問で求めた公式を、底 $e$ の同値な式として書け。指数は有効数字5桁で表せ。

31. A bottle of soda with a temperature of $\text{71°}$ Fahrenheit was taken off a shelf and placed in a refrigerator with an internal temperature of $\text{35° F}\text{.}$ After ten minutes, the internal temperature of the soda was $\text{63° F}\text{.}$ Use Newton’s Law of Cooling to write a formula that models this situation. To the nearest degree, what will the temperature of the soda be after one hour?

31. 温度が華氏 $\text{71°}$ 度の炭酸飲料の瓶を棚から下ろし、庫内温度 $\text{35° F}$ の冷蔵庫に入れた。10分後、この飲料の中心温度は $\text{63° F}$ だった。ニュートンの冷却の法則を使って、この状況のモデルとなる式を書け。1時間後、この飲料の温度は度単位でいくらになるか。

32. The population of a wildlife habitat is modeled by the equation $P\left(t\right)=\frac{360}{1+6.2e^{-0.35t}},$ where $t$ is given in years. How many animals were originally transported to the habitat? How many years will it take before the habitat reaches half its capacity?

32. ある野生生物の生息地の個体数は、式 $P\left(t\right)=\frac{360}{1+6.2e^{-0.35t}}$ でモデル化される。ここで $t$ は年で与えられる。もともと何頭がこの生息地に移されたか。この生息地が収容力の半分に達するのに何年かかるか。

33. Enter the data from Table 1 into a graphing calculator and graph the resulting scatter plot. Determine whether the data from the table would likely represent a function that is linear, exponential, or logarithmic.

33. 表1の資料をグラフ電卓に入れ、できあがった散布図を描け。表の資料が一次・指数・対数のどの関数を表しそうかを判定せよ。

34. The population of a lake of fish is modeled by the logistic equation $P(t)=\frac{16,120}{1+25e^{-0.75t}},$ where $t$ is time in years. To the nearest hundredth, how many years will it take the lake to reach $80\%$ of its carrying capacity?

34. ある湖の魚の個体数は、ロジスティックの式 $P(t)=\frac{16,120}{1+25e^{-0.75t}}$ でモデル化される。ここで $t$ は年単位の時間である。この湖が環境収容力の $80\%$ に達するのに何年かかるか。小数第二位まで求めよ。