第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Applying the Compound-Interest Formula複利の公式を当てはめる

Savings instruments in which earnings are continually reinvested, such as mutual funds and retirement accounts, use compound interest. The term compounding refers to interest earned not only on the original value, but on the accumulated value of the account.

投資信託や退職年金口座のように、得た利益を続けて再び投資する貯蓄の仕組みは、複利を使う。複利という言葉は、元の値だけでなく、口座に積み上がった値にも利子がつくことをいう。

The annual percentage rate (APR) of an account, also called the nominal rate, is the yearly interest rate earned by an investment account. The term nominal is used when the compounding occurs a number of times other than once per year. In fact, when interest is compounded more than once a year, the effective interest rate ends up being greater than the nominal rate! This is a powerful tool for investing.

口座の年利(APR)は名目利率とも呼ばれ、投資口座が1年に得る利率である。名目という言葉は、複利の計算が年1回以外の回数で行われるときに使われる。実際、利子が年に2回以上つくと、実質の利率は名目利率より大きくなる。これは投資の強力な道具である。

We can calculate the compound interest using the compound interest formula, which is an exponential function of the variables time $t,$ principal $P,$ APR $r,$ and number of compounding periods in a year $n :$

複利は複利の公式で計算できる。これは、時間 $t$ 、元金 $P$ 、年利 $r$ 、1年あたりの複利の回数 $n :$ を変数とする指数関数である。

A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t}

For example, observe Table 4, which shows the result of investing $1,000 at 10% for one year. Notice how the value of the account increases as the compounding frequency increases.

たとえば表4を見よ。1,000ドルを10%で1年間投資した結果を示している。複利の回数が増えるにつれて口座の値が増えるようすに注目しよう。

Frequency回数	Value after 1 year1年後の値
Annually年1回	$1100
Semiannually年2回	$1102.50
Quarterly四半期ごと	$1103.81
Monthly毎月	$1104.71
Daily毎日	$1105.16

The Compound Interest Formula 複利の公式

Compound interest can be calculated using the formula

複利は次の公式で計算できる。

A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t}

where

ここで

• $A (t)$ is the account value,• $t$ is measured in years,• $P$ is the starting amount of the account, often called the principal, or more generally present value,• $r$ is the annual percentage rate (APR) expressed as a decimal, and• $n$ is the number of compounding periods in one year.

・ $A (t)$ は口座の値、・ $t$ は年で測った時間、・ $P$ は口座の初めの金額で、しばしば元金、より一般には現在価値と呼ばれ、・ $r$ は小数で表した年利(APR)、・ $n$ は1年あたりの複利の回数である。

Example 8例8

Calculating Compound Interest複利を計算する

If we invest $3,000 in an investment account paying 3% interest compounded quarterly, how much will the account be worth in 10 years?

3,000ドルを、四半期ごとに複利で3%の利子がつく投資口座に投資すると、10年後この口座はいくらになるか。

Solution 解答

Because we are starting with $3,000, $P = 3000.$ Our interest rate is 3%, so $r = 0.03.$ Because we are compounding quarterly, we are compounding 4 times per year, so $n = 4.$ We want to know the value of the account in 10 years, so we are looking for $A (10),$ the value when $t = 10.$

3,000ドルから始めるので $P = 3000.$ である。利率は3%なので $r = 0.03.$ である。四半期ごとの複利なので、年に4回複利がつき $n = 4.$ である。10年後の口座の値を知りたいので、 $t = 10.$ のときの値 $A (10)$ を求める。

\begin{array}{l} A (t) & = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} & Use the compound interest formula . \\ A (10) & = 3000 {(1 + \frac{0.03}{4})}^{4⋅10} \begin{matrix}  \end{matrix} & Substitute using given values . \\ \approx $ 4045.05 & Round to two decimal places . \end{array}

The account will be worth about $4,045.05 in 10 years.

この口座は10年後におよそ4,045.05ドルになる。

Try It #8やってみよう8

An initial investment of $100,000 at 12% interest is compounded weekly (use 52 weeks in a year). What will the investment be worth in 30 years?

100,000ドルを初めに投資し、12%の利子が週ごとに複利でつく(1年を52週とする)。30年後、この投資はいくらになるか。

Example 9例9

Using the Compound Interest Formula to Solve for the Principal複利の公式を使って元金を求める

A 529 Plan is a college-savings plan that allows relatives to invest money to pay for a child’s future college tuition; the account grows tax-free. Lily wants to set up a 529 account for her new granddaughter and wants the account to grow to $40,000 over 18 years. She believes the account will earn 6% compounded semi-annually (twice a year). To the nearest dollar, how much will Lily need to invest in the account now?

529プランは大学のための貯蓄の仕組みで、親族が子の将来の大学の学費のために資金を投じられる。この口座は非課税で増える。Lily は生まれたばかりの孫娘のために529口座を作りたく、18年で口座を40,000ドルまで育てたい。この口座には、年2回の複利で6%の利子がつくと考えている。ドル単位で、Lily は今この口座にいくら投じる必要があるか。

Solution 解答

The nominal interest rate is 6%, so $r = 0.06.$ Interest is compounded twice a year, so $n = 2.$

名目利率は6%なので $r = 0.06.$ である。利子は年2回複利でつくので $n = 2.$ である。

We want to find the initial investment, $P,$ needed so that the value of the account will be worth $40,000 in $18$ years. Substitute the given values into the compound interest formula, and solve for $P .$

$18$ 年後に口座の値が40,000ドルになるのに必要な初めの投資額 $P$ を求めたい。与えられた値を複利の公式に代入して、 $P$ について解く。

\begin{array}{l} A (t) & = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} & Use the compound interest formula . \\ 40,000 & = P {(1 + \frac{0.06}{2})}^{2 (18)} \begin{matrix}  \end{matrix} & Substitute using given values A, r, n, and t . \\ 40,000 & = P {(1.03)}^{36} & Simplify . \\ \frac{40,000}{{(1.03)}^{36}} & = P & Isolate P . \\ P & \approx $ 13, 801 & Divide and round to the nearest dollar . \end{array}

Lily will need to invest $13,801 to have $40,000 in 18 years.

18年で40,000ドルにするには、Lily は13,801ドル投じる必要がある。

Try It #9やってみよう9

Refer to Example 9. To the nearest dollar, how much would Lily need to invest if the account is compounded quarterly?

例9を参照せよ。四半期ごとの複利なら、Lily はドル単位でいくら投じる必要があるか。