第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

1. Determine whether the function $y=156{\left(0.825\right)}^t$ represents exponential growth, exponential decay, or neither. Explain

1. 関数 $y=156{\left(0.825\right)}^t$ が指数的な増加を表すか、指数的な減少を表すか、どちらでもないかを判定せよ。説明せよ。

2. The population of a herd of deer is represented by the function $A(t)=205{(1.13)}^t,$ where $t$ is given in years. To the nearest whole number, what will the herd population be after $6$ years?

2. ある鹿の群れの個体数は関数 $A(t)=205{(1.13)}^t$ で表される。ここで $t$ は年で与えられる。$6$ 年後、この群れの個体数は整数でいくらになるか。

3. Find an exponential equation that passes through the points $\text{(2, 2}\text{.25)}$ and $(5,60.75).$

3. 点 $\text{(2, 2}\text{.25)}$ と $(5,60.75)$ を通る指数の式を求めよ。

4. Determine whether Table 1 could represent a function that is linear, exponential, or neither. If it appears to be exponential, find a function that passes through the points.

4. 表1が一次関数を表しうるか、指数関数を表しうるか、どちらでもないかを判定せよ。指数関数に見えるなら、その点を通る関数を求めよ。

5. A retirement account is opened with an initial deposit of $8,500 and earns $8.12\%$ interest compounded monthly. What will the account be worth in $20$ years?

5. 初めに8,500ドルを預けて退職年金口座を開き、月ごとの複利で $8.12\%$ の利子がつく。$20$ 年後、この口座はいくらになるか。

6. Hsu-Mei wants to save $5,000 for a down payment on a car. To the nearest dollar, how much will she need to invest in an account now with $7.5\%$ APR, compounded daily, in order to reach her goal in $3$ years?

6. Hsu-Mei は車の頭金として5,000ドルを貯めたい。$3$ 年でこの目標に届くには、年利 $7.5\%$、毎日複利の口座に今いくら投じる必要があるか。ドル単位で答えよ。

7. Does the equation $y=2.294e^{-0.654t}$ represent continuous growth, continuous decay, or neither? Explain.

7. 式 $y=2.294e^{-0.654t}$ は連続の増加を表すか、連続の減少を表すか、どちらでもないか。説明せよ。

8. Suppose an investment account is opened with an initial deposit of $\text{\$10,500}$ earning $6.25\%$ interest, compounded continuously. How much will the account be worth after $25$ years?

8. 初めに $\text{\$10,500}$ を預けて投資口座を開き、$6.25\%$ の利子が連続複利でつくとする。$25$ 年後、この口座はいくらになるか。

9. Graph the function $f(x)=3.5{\left(2\right)}^x.$ State the domain and range and give the y-intercept.

9. 関数 $f(x)=3.5{\left(2\right)}^x$ のグラフを描け。定義域と値域を答え、y切片を示せ。

10. Graph the function $f(x)=4{\left(\frac{1}{8}\right)}^x$ and its reflection about the y-axis on the same axes, and give the y-intercept.

10. 関数 $f(x)=4{\left(\frac{1}{8}\right)}^x$ と、それを y軸に関して折り返したもののグラフを同じ座標軸に描き、y切片を示せ。

11. The graph of $f(x)={6.5}^x$ is reflected about the y-axis and stretched vertically by a factor of $7.$ What is the equation of the new function, $g(x)?$ State its y-intercept, domain, and range.

11. $f(x)={6.5}^x$ のグラフを y軸に関して折り返し、縦に $7.$ 倍に伸ばす。新しい関数 $g(x)?$ の式は何か。その y切片、定義域、値域を答えよ。

12. The graph below shows transformations of the graph of $f(x)=2^x.$ What is the equation for the transformation?

12. 下のグラフは $f(x)=2^x$ のグラフを変形したものを示している。この変形の式は何か。

13. Rewrite ${\log }_{17}\left(4913\right)=x$ as an equivalent exponential equation.

13. ${\log }_{17}\left(4913\right)=x$ を同値な指数の式に書き直せ。

14. Rewrite $\ln \left(s\right)=t$ as an equivalent exponential equation.

14. $\ln \left(s\right)=t$ を同値な指数の式に書き直せ。

15. Rewrite $a^{-\frac{2}{5}}=b$ as an equivalent logarithmic equation.

15. $a^{-\frac{2}{5}}=b$ を同値な対数の式に書き直せ。

16. Rewrite $e^{-3.5}=h$ as an equivalent logarithmic equation.

16. $e^{-3.5}=h$ を同値な対数の式に書き直せ。

17. Solve for x if ${\log }_{64}(x)=\frac{1}{3}$ by converting the logarithmic equation ${\log }_{64}(x)=\frac{1}{3}$ to exponential form.

17. ${\log }_{64}(x)=\frac{1}{3}$ のとき、対数の式 ${\log }_{64}(x)=\frac{1}{3}$ を指数の形に直して x について解け。

18. Evaluate ${\log }_5\left(\frac{1}{125}\right)$ without using a calculator.

18. 電卓を使わずに ${\log }_5\left(\frac{1}{125}\right)$ の値を求めよ。

19. Evaluate $\log \left(0.000001\right)$ without using a calculator.

19. 電卓を使わずに $\log \left(0.000001\right)$ の値を求めよ。

20. Evaluate $\log (4.005)$ using a calculator. Round to the nearest thousandth.

20. 電卓を使って $\log (4.005)$ の値を求めよ。小数第三位まで丸めよ。

21. Evaluate $\ln \left(e^{-0.8648}\right)$ without using a calculator.

21. 電卓を使わずに $\ln \left(e^{-0.8648}\right)$ の値を求めよ。

22. Evaluate $\ln \left(\sqrt[3]{18}\right)$ using a calculator. Round to the nearest thousandth.

22. 電卓を使って $\ln \left(\sqrt[3]{18}\right)$ の値を求めよ。小数第三位まで丸めよ。

23. Graph the function $g(x)=\log \left(7x+21\right)-4.$

23. 関数 $g(x)=\log \left(7x+21\right)-4.$ のグラフを描け。

24. Graph the function $h(x)=2\ln \left(9-3x\right)+1.$

24. 関数 $h(x)=2\ln \left(9-3x\right)+1.$ のグラフを描け。

25. State the domain, vertical asymptote, and end behavior of the function $g(x)=\ln \left(4x+20\right)-17.$

25. 関数 $g(x)=\ln \left(4x+20\right)-17.$ の定義域、垂直漸近線、端のふるまいを答えよ。

26. Rewrite $\ln \left(7r\cdot 11st\right)$ in expanded form.

26. $\ln \left(7r\cdot 11st\right)$ を展開した形に書き直せ。

27. Rewrite ${\log }_8\left(x\right)+{\log }_8\left(5\right)+{\log }_8\left(y\right)+{\log }_8\left(13\right)$ in compact form.

27. ${\log }_8\left(x\right)+{\log }_8\left(5\right)+{\log }_8\left(y\right)+{\log }_8\left(13\right)$ をまとめた形に書き直せ。

28. Rewrite ${\log }_m\left(\frac{67}{83}\right)$ in expanded form.

28. ${\log }_m\left(\frac{67}{83}\right)$ を展開した形に書き直せ。

29. Rewrite $\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)$ in compact form.

29. $\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)$ をまとめた形に書き直せ。

30. Rewrite $\ln \left(\frac{1}{x^5}\right)$ as a product.

30. $\ln \left(\frac{1}{x^5}\right)$ を積として書き直せ。

31. Rewrite $-{\log }_y\left(\frac{1}{12}\right)$ as a single logarithm.

31. $-{\log }_y\left(\frac{1}{12}\right)$ を一つの対数として書き直せ。

32. Use properties of logarithms to expand $\log \left(\frac{r^2{s}^{11}}{t^{14}}\right).$

32. 対数の性質を使って $\log \left(\frac{r^2{s}^{11}}{t^{14}}\right)$ を展開せよ。

33. Use properties of logarithms to expand $\ln \left(2b\sqrt{\frac{b+1}{b-1}}\right).$

33. 対数の性質を使って $\ln \left(2b\sqrt{\frac{b+1}{b-1}}\right)$ を展開せよ。

34. Condense the expression $5\ln \left(b\right)+\ln \left(c\right)+\frac{\ln \left(4-a\right)}{2}$ to a single logarithm.

34. 式 $5\ln \left(b\right)+\ln \left(c\right)+\frac{\ln \left(4-a\right)}{2}$ を一つの対数にまとめよ。

35. Condense the expression $3{\log }_{7}v+6{\log }_{7}w-\frac{{\log }_{7}u}{3}$ to a single logarithm.

35. 式 $3{\log }_{7}v+6{\log }_{7}w-\frac{{\log }_{7}u}{3}$ を一つの対数にまとめよ。

36. Rewrite ${\log }_3\left(12.75\right)$ to base $e.$

36. ${\log }_3\left(12.75\right)$ を底 $e$ に書き直せ。

37. Rewrite $5^{12x-17}=125$ as a logarithm. Then apply the change of base formula to solve for $x$ using the common log. Round to the nearest thousandth.

37. $5^{12x-17}=125$ を対数として書き直せ。そして底の変換公式を当てはめ、常用対数を使って $x$ について解け。小数第三位まで丸めよ。

38. Solve ${216}^{3x}\cdot {216}^x={36}^{3x+2}$ by rewriting each side with a common base.

38. 両辺を共通の底に書き直して ${216}^{3x}\cdot {216}^x={36}^{3x+2}$ を解け。

39. Solve $\frac{125}{{\left(\frac{1}{625}\right)}^{-x-3}}=5^3$ by rewriting each side with a common base.

39. 両辺を共通の底に書き直して $\frac{125}{{\left(\frac{1}{625}\right)}^{-x-3}}=5^3$ を解け。

40. Use logarithms to find the exact solution for $7\cdot {17}^{-9x}-7=49.$ If there is no solution, write no solution.

40. 対数を使って $7\cdot {17}^{-9x}-7=49.$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

41. Use logarithms to find the exact solution for $3e^{6n-2}+1=-60.$ If there is no solution, write no solution.

41. 対数を使って $3e^{6n-2}+1=-60.$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

42. Find the exact solution for $5e^{3x}-4=6$ . If there is no solution, write no solution.

42. $5e^{3x}-4=6$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

43. Find the exact solution for $2e^{5x-2}-9=-56.$ If there is no solution, write no solution.

43. $2e^{5x-2}-9=-56.$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

44. Find the exact solution for $5^{2x-3}=7^{x+1}.$ If there is no solution, write no solution.

44. $5^{2x-3}=7^{x+1}$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

45. Find the exact solution for $e^{2x}-e^x-110=0.$ If there is no solution, write no solution.

45. $e^{2x}-e^x-110=0.$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

46. Use the definition of a logarithm to solve. $-5{\log }_7\left(10n\right)=5.$

46. 対数の定義を使って解け。$-5{\log }_7\left(10n\right)=5.$

47. Use the definition of a logarithm to find the exact solution for $9+6\ln \left(a+3\right)=33.$

47. 対数の定義を使って $9+6\ln \left(a+3\right)=33.$ の厳密な解を求めよ。

48. Use the one-to-one property of logarithms to find an exact solution for ${\log }_8\left(7\right)+{\log }_8\left(-4x\right)={\log }_8\left(5\right).$ If there is no solution, write no solution.

48. 対数の一対一の性質を使って ${\log }_8\left(7\right)+{\log }_8\left(-4x\right)={\log }_8\left(5\right)$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

49. Use the one-to-one property of logarithms to find an exact solution for $\ln \left(5\right)+\ln \left(5x^2-5\right)=\ln \left(56\right).$ If there is no solution, write no solution.

49. 対数の一対一の性質を使って $\ln \left(5\right)+\ln \left(5x^2-5\right)=\ln \left(56\right)$ の厳密な解を求めよ。解が無ければ「解なし」と書け。

50. The formula for measuring sound intensity in decibels $D$ is defined by the equation $D=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right),$ where $I$ is the intensity of the sound in watts per square meter and $I_0={10}^{-12}$ is the lowest level of sound that the average person can hear. How many decibels are emitted from a large orchestra with a sound intensity of $6.3\cdot {10}^{-3}$ watts per square meter?

50. 音の強さをデシベル $D$ で測る公式は、式 $D=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$ で定められる。ここで $I$ は1平方メートルあたりのワットで表した音の強さ、$I_0={10}^{-12}$ はふつうの人が聞きとれる最も低い音の水準である。音の強さが1平方メートルあたり $6.3\cdot {10}^{-3}$ ワットの大編成の管弦楽団は、何デシベルを出しているか。

51. The population of a city is modeled by the equation $P(t)=256,114e^{0.25t}$ where $t$ is measured in years. If the city continues to grow at this rate, how many years will it take for the population to reach one million?

51. ある都市の人口は式 $P(t)=256,114e^{0.25t}$ でモデル化される。ここで $t$ は年で測る。この都市がこの調子で増え続けるなら、人口が100万人に達するのに何年かかるか。

52. Find the inverse function $f^{-1}$ for the exponential function $f\left(x\right)=2\cdot e^{x+1}-5.$

52. 指数関数 $f\left(x\right)=2\cdot e^{x+1}-5.$ の逆関数 $f^{-1}$ を求めよ。

53. Find the inverse function $f^{-1}$ for the logarithmic function $f\left(x\right)=0.25\cdot {\log }_2\left(x^3+1\right).$

53. 対数関数 $f\left(x\right)=0.25\cdot {\log }_2\left(x^3+1\right)$ の逆関数 $f^{-1}$ を求めよ。

54. To the nearest minute, what is the half-life of the drug?

54. この薬の半減期は、分単位でいくらか。

55. Write an exponential model representing the amount of the drug remaining in the patient’s system after $t$ hours. Then use the formula to find the amount of the drug that would remain in the patient’s system after $24$ hours. Round to the nearest hundredth of a gram.

55. $t$ 時間後に患者の体内に残る薬の量を表す指数のモデルを書け。そしてその式を使って、$24$ 時間後に患者の体内に残る薬の量を求めよ。グラムの小数第二位まで丸めよ。

56. Use Newton’s Law of Cooling to write a formula that models this situation.

56. ニュートンの冷却の法則を使って、この状況のモデルとなる式を書け。

57. How many minutes will it take the soup to cool to $\text{85°F?}$

57. スープが $\text{85°F?}$ まで冷めるのに何分かかるか。

58. How many people started the rumor?

58. 噂を始めたのは何人か。

59. To the nearest tenth, how many days will it be before the rumor spreads to half the carrying capacity?

59. 噂が環境収容力の半分まで広がるのに何日かかるか。小数第一位まで求めよ。

60. What is the carrying capacity?

60. 環境収容力はいくらか。

63. Find a formula for an exponential equation that goes through the points $\left(-2,100\right)$ and $\left(0,4\right).$ Then express the formula as an equivalent equation with base e.

63. 点 $\left(-2,100\right)$ と $\left(0,4\right)$ を通る指数の式を求めよ。そしてその式を、底 e の同値な式として表せ。

64. What is the carrying capacity for a population modeled by the logistic equation $P(t)=\frac{250,000}{1+499e^{-0.45t}}?$ What is the initial population for the model?

64. ロジスティックの式 $P(t)=\frac{250,000}{1+499e^{-0.45t}}?$ でモデル化される個体数の環境収容力はいくらか。このモデルの初めの個体数はいくらか。

65. The population of a culture of bacteria is modeled by the logistic equation $P(t)=\frac{14,250}{1+29e^{-0.62t}},$ where $t$ is in days. To the nearest tenth, how many days will it take the culture to reach $75\%$ of its carrying capacity?

65. ある細菌の培養の個体数は、ロジスティックの式 $P(t)=\frac{14,250}{1+29e^{-0.62t}}$ でモデル化される。ここで $t$ は日である。この培養が環境収容力の $75\%$ に達するのに何日かかるか。小数第一位まで求めよ。