第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Recall that the base of an exponential function must be a positive real number other than $1.$ Why do we limit the base $b$ to positive values? To ensure that the outputs will be real numbers. Observe what happens if the base is not positive:

指数関数の底は、$1.$ 以外の正の実数でなければならないのを思い出そう。なぜ底 $b$ を正の値に限るのか。出力が実数になるようにするためである。底が正でないと何が起こるかを見よう。

• Let $b=-9$ and $x=\frac{1}{2}.$ Then $f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)={\left(-9\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-9},$ which is not a real number.

・$b=-9$、$x=\frac{1}{2}$ とする。すると $f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)={\left(-9\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-9}$ となり、これは実数ではない。

Why do we limit the base to positive values other than $1?$ Because base $1$ results in the constant function. Observe what happens if the base is $1:$

なぜ底を $1?$ 以外の正の値に限るのか。底が $1$ だと定数関数になるからである。底が $1:$ のとき何が起こるかを見よう。

• Let $b=1.$ Then $f(x)=1^x=1$ for any value of $x.$

・$b=1.$ とする。すると $x$ のどんな値についても $f(x)=1^x=1$ となる。

To evaluate an exponential function with the form $f(x)=b^x,$ we simply substitute $x$ with the given value, and calculate the resulting power. For example:

$f(x)=b^x$ の形の指数関数の値を求めるには、$x$ を与えられた値に置き換えて、その累乗を計算するだけでよい。たとえば次のとおりである。

Let $f(x)=2^x.$ What is $f(3)?$

$f(x)=2^x$ とする。$f(3)?$ はいくらか。

To evaluate an exponential function with a form other than the basic form, it is important to follow the order of operations. For example:

基本の形以外の形をした指数関数の値を求めるには、計算の順序に従うことが大切である。たとえば次のとおりである。

Let $f(x)=30{\left(2\right)}^x.$ What is $f(3)?$

$f(x)=30{\left(2\right)}^x$ とする。$f(3)?$ はいくらか。

Note that if the order of operations were not followed, the result would be incorrect:

計算の順序に従わないと、結果が間違うことに注意しよう。

Because the output of exponential functions increases very rapidly, the term “exponential growth” is often used in everyday language to describe anything that grows or increases rapidly. However, exponential growth can be defined more precisely in a mathematical sense. If the growth rate is proportional to the amount present, the function models exponential growth.

指数関数の出力はとても速く増えるので、「指数的な増加」という言葉は、速く育つもの・増えるものを述べるのに日常の言葉でしばしば使われる。だが指数的な増加は、数学の意味ではもっと精しく定められる。増加の割合が現在の量に比例するなら、その関数は指数的な増加のモデルになる。

In more general terms, we have an exponential function, in which a constant base is raised to a variable exponent. To differentiate between linear and exponential functions, let’s consider two companies, A and B. Company A has 100 stores and expands by opening 50 new stores a year, so its growth can be represented by the function $A\left(x\right)=100+50x.$ Company B has 100 stores and expands by increasing the number of stores by 50% each year, so its growth can be represented by the function $B(x)=100{\left(1+0.5\right)}^x.$

より一般には、定数の底を変数の指数で累乗した指数関数がある。一次関数と指数関数を見分けるために、二つの会社AとBを考えよう。会社Aは100店舗を持ち、年に50店ずつ新しく開いて広がるので、その成長は関数 $A\left(x\right)=100+50x$ で表せる。会社Bは100店舗を持ち、毎年店舗数を50%ずつ増やして広がるので、その成長は関数 $B(x)=100{\left(1+0.5\right)}^x$ で表せる。

A few years of growth for these companies are illustrated in Table 3.

この二つの会社の数年分の成長を表3に示す。

The graphs comparing the number of stores for each company over a five-year period are shown in Figure 2. We can see that, with exponential growth, the number of stores increases much more rapidly than with linear growth.

5年間の各社の店舗数を比べたグラフを図2に示す。指数的な増加では、一次の増加よりずっと速く店舗数が増えるのが見てとれる。

Notice that the domain for both functions is $[0,\infty ),$ and the range for both functions is $[100,\infty ).$ After year 1, Company B always has more stores than Company A.

どちらの関数も定義域は $[0,\infty )$、値域は $[100,\infty )$ であることに注目しよう。1年目より後は、会社Bの店舗数がつねに会社Aより多い。

Now we will turn our attention to the function representing the number of stores for Company B, $B(x)=100{\left(1+0.5\right)}^x.$ In this exponential function, 100 represents the initial number of stores, 0.50 represents the growth rate, and $1+0.5=1.5$ represents the growth factor. Generalizing further, we can write this function as $B(x)=100{\left(1.5\right)}^x,$ where 100 is the initial value, $1.5$ is called the base, and $x$ is called the exponent.

次に、会社Bの店舗数を表す関数 $B(x)=100{\left(1+0.5\right)}^x$ に目を向ける。この指数関数で、100は初めの店舗数、0.50は増加の割合、$1+0.5=1.5$ は増加因子を表す。さらに一般化すれば、この関数は $B(x)=100{\left(1.5\right)}^x$ と書ける。100が初期値、$1.5$ が底、$x$ が指数と呼ばれる。