第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Key Equations重要な式

definition of the exponential function指数関数の定義	$f (x) = b^{x}, where b > 0, b \neq 1$
definition of exponential growth指数的な増加の定義	$f (x) = a b^{x}, where a > 0, b > 0, b \neq 1$
compound interest formula複利の公式	$\begin{array}{l} A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t}, where \\ A (t) is the account value at time t \\ t is the number of years \\ P is the initial investment, often called the principal \\ r is the annual percentage rate (APR), or nominal rate \\ n is the number of compounding periods in one year \end{array}$
continuous growth formula連続の増加の公式	$A (t) = a e^{r t}, where$ $t$ is the number of unit time periods of growth $a$ is the starting amount (in the continuous compounding formula a is replaced with P, the principal) $e$ is the mathematical constant, $e \approx 2.718282$ $A (t) = a e^{r t}, ここで$ $t$ は増加する単位時間の期間の数、 $a$ は出発点の量(連続複利の公式では a が元金 P に置き換わる)、 $e$ は数学の定数 $e \approx 2.718282$ である。

General Form for the Translation of the Parent Function

f (x) = b^{x}

親関数

f (x) = b^{x}

の平行移動の一般形

f (x) = a b^{x + c} + d

Definition of the logarithmic function対数関数の定義	For $x > 0, b > 0, b \neq 1,$ $y = \log_{b} (x)$ if and only if $b^{y} = x .$ $x > 0, b > 0, b \neq 1$ について、 $y = \log_{b} (x)$ であるのは $b^{y} = x$ であるとき、かつそのときに限る。
Definition of the common logarithm常用対数の定義	For $x > 0,$ $y = \log (x)$ if and only if $10^{y} = x .$ $x > 0$ について、 $y = \log (x)$ であるのは $10^{y} = x$ であるとき、かつそのときに限る。
Definition of the natural logarithm自然対数の定義	For $x > 0,$ $y = \ln (x)$ if and only if $e^{y} = x .$ $x > 0$ について、 $y = \ln (x)$ であるのは $e^{y} = x$ であるとき、かつそのときに限る。

General Form for the Translation of the Parent Logarithmic Function

f (x) = \log_{b} (x)

親の対数関数

f (x) = \log_{b} (x)

の平行移動の一般形

f (x) = a \log_{b} (x + c) + d

The Product Rule for Logarithms対数の積の法則	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$
The Quotient Rule for Logarithms対数の商の法則	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} M - \log_{b} N$
The Power Rule for Logarithms対数の累乗の法則	$\log_{b} (M^{n}) = n \log_{b} M$
The Change-of-Base Formula底の変換公式	$\log_{b} M = \frac{\log_{n} M}{\log_{n} b} n > 0, n \neq 1, b \neq 1$

One-to-one property for exponential functions指数関数の一対一の性質	For any algebraic expressions $S$ and $T$ and any positive real number $b,$ where $b^{S} = b^{T}$ if and only if $S = T .$ 任意の代数の式 $S$ 、 $T$ と、 $b^{S} = b^{T}$ を満たす任意の正の実数 $b$ について、これが成り立つのは $S = T$ であるとき、かつそのときに限る。
Definition of a logarithm対数の定義	For any algebraic expression S and positive real numbers $b$ and $c,$ where $b \neq 1,$ $\log_{b} (S) = c$ if and only if $b^{c} = S .$ 任意の代数の式 S と、 $b \neq 1$ を満たす正の実数 $b$ 、 $c$ について、 $\log_{b} (S) = c$ であるのは $b^{c} = S$ であるとき、かつそのときに限る。
One-to-one property for logarithmic functions対数関数の一対一の性質	For any algebraic expressions S and T and any positive real number $b,$ where $b \neq 1,$ $\log_{b} S = \log_{b} T$ if and only if $S = T .$ 任意の代数の式 S、T と、 $b \neq 1$ を満たす任意の正の実数 $b$ について、 $\log_{b} S = \log_{b} T$ であるのは $S = T$ であるとき、かつそのときに限る。

Half-life formula半減期の公式	If $A = A_{0} e^{k t},$ $k < 0,$ the half-life is $t = - \frac{\ln (2)}{k} .$ $A = A_{0} e^{k t}$ 、 $k < 0$ なら、半減期は $t = - \frac{\ln (2)}{k}$ である。
Carbon-14 dating炭素14年代測定	$t = \frac{\ln (\frac{A}{A_{0}})}{- 0.000121} .$ $A_{0}$ is the amount of carbon-14 when the plant or animal died $A$ is the amount of carbon-14 remaining today $t$ is the age of the fossil in years $t = \frac{\ln (\frac{A}{A_{0}})}{- 0.000121}$ $A_{0}$ は植物や動物が死んだときの炭素14の量、 $A$ は今日残っている炭素14の量、 $t$ は化石の年代(年)である。
Doubling time formula倍加時間の公式	If $A = A_{0} e^{k t},$ $k > 0,$ the doubling time is $t = \frac{\ln 2}{k}$ $A = A_{0} e^{k t}$ 、 $k > 0$ なら、倍加時間は $t = \frac{\ln 2}{k}$ である。
Newton’s Law of Coolingニュートンの冷却の法則	$T (t) = A e^{k t} + T_{s},$ where $T_{s}$ is the ambient temperature, $A = T (0) - T_{s},$ and $k$ is the continuous rate of cooling. $T (t) = A e^{k t} + T_{s}$ 。ここで $T_{s}$ は周りの温度、 $A = T (0) - T_{s}$ であり、 $k$ は連続の冷却の割合である。

Key Concepts要点

• An exponential function is defined as a function with a positive constant other than $1$ raised to a variable exponent. See Example 1.• A function is evaluated by solving at a specific value. See Example 2 and Example 3.• An exponential model can be found when the growth rate and initial value are known. See Example 4.• An exponential model can be found when the two data points from the model are known. See Example 5.• An exponential model can be found using two data points from the graph of the model. See Example 6.• An exponential model can be found using two data points from the graph and a calculator. See Example 7.• The value of an account at any time $t$ can be calculated using the compound interest formula when the principal, annual interest rate, and compounding periods are known. See Example 8.• The initial investment of an account can be found using the compound interest formula when the value of the account, annual interest rate, compounding periods, and life span of the account are known. See Example 9.• The number $e$ is a mathematical constant often used as the base of real world exponential growth and decay models. Its decimal approximation is $e \approx 2.718282.$ • Scientific and graphing calculators have the key $[e^{x}]$ or $[\exp (x)]$ for calculating powers of $e .$ See Example 10.• Continuous growth or decay models are exponential models that use $e$ as the base. Continuous growth and decay models can be found when the initial value and growth or decay rate are known. See Example 11 and Example 12.

・指数関数は、 $1$ 以外の正の定数を変数の指数で累乗した関数として定められる。例1を見よ。・関数の値は、ある値で解いて求める。例2と例3を見よ。・増加の割合と初期値が分かっていれば、指数のモデルが求められる。例4を見よ。・モデルの資料の点が二つ分かっていれば、指数のモデルが求められる。例5を見よ。・モデルのグラフから資料の点を二つとれば、指数のモデルが求められる。例6を見よ。・グラフから資料の点を二つとり、電卓を使えば、指数のモデルが求められる。例7を見よ。・元金、年の利率、複利の回数が分かっていれば、複利の公式を使って任意の時刻 $t$ の口座の値が計算できる。例8を見よ。・口座の値、年の利率、複利の回数、口座の期間が分かっていれば、複利の公式を使って口座の初めの投資額が求められる。例9を見よ。・数 $e$ は数学の定数で、現実の指数的な増加と減少のモデルの底としてしばしば使われる。その小数の近似は $e \approx 2.718282.$ である。・関数電卓とグラフ電卓には、 $e$ の累乗を計算する $[e^{x}]$ または $[\exp (x)]$ のキーがある。例10を見よ。・連続の増加や減少のモデルは、 $e$ を底とする指数のモデルである。初期値と増加または減少の割合が分かっていれば、連続の増加と減少のモデルが求められる。例11と例12を見よ。

• The graph of the function $f (x) = b^{x}$ has a y-intercept at $(0, 1),$ domain $(- \infty, \infty),$ range $(0, \infty),$ and horizontal asymptote $y = 0.$ See Example 1.• If $b > 1,$ the function is increasing. The left tail of the graph will approach the asymptote $y = 0,$ and the right tail will increase without bound.• If $0 < b < 1,$ the function is decreasing. The left tail of the graph will increase without bound, and the right tail will approach the asymptote $y = 0.$ • The equation $f (x) = b^{x} + d$ represents a vertical shift of the parent function $f (x) = b^{x} .$ • The equation $f (x) = b^{x + c}$ represents a horizontal shift of the parent function $f (x) = b^{x} .$ See Example 2.• Approximate solutions of the equation $f (x) = b^{x + c} + d$ can be found using a graphing calculator. See Example 3.• The equation $f (x) = a b^{x},$ where $a > 0,$ represents a vertical stretch if $| a | > 1$ or compression if $0 < | a | < 1$ of the parent function $f (x) = b^{x} .$ See Example 4.• When the parent function $f (x) = b^{x}$ is multiplied by $- 1,$ the result, $f (x) = - b^{x},$ is a reflection about the x-axis. When the input is multiplied by $- 1,$ the result, $f (x) = b^{- x},$ is a reflection about the y-axis. See Example 5.• All translations of the exponential function can be summarized by the general equation $f (x) = a b^{x + c} + d .$ See Table 3.• Using the general equation $f (x) = a b^{x + c} + d,$ we can write the equation of a function given its description. See Example 6.

・関数 $f (x) = b^{x}$ のグラフは、 $(0, 1)$ に y切片、定義域 $(- \infty, \infty)$ 、値域 $(0, \infty)$ 、水平漸近線 $y = 0.$ を持つ。例1を見よ。・ $b > 1$ なら、この関数は増加する。グラフの左の裾は漸近線 $y = 0$ に近づき、右の裾は限りなく増える。・ $0 < b < 1$ なら、この関数は減少する。グラフの左の裾は限りなく増え、右の裾は漸近線 $y = 0.$ に近づく。・式 $f (x) = b^{x} + d$ は親関数 $f (x) = b^{x}$ の縦の移動を表す。・式 $f (x) = b^{x + c}$ は親関数 $f (x) = b^{x}$ の横の移動を表す。例2を見よ。・方程式 $f (x) = b^{x + c} + d$ の近似の解は、グラフ電卓を使えば求められる。例3を見よ。・ $a > 0$ である式 $f (x) = a b^{x}$ は、 $| a | > 1$ なら親関数 $f (x) = b^{x}$ の縦の伸長を、 $0 < | a | < 1$ なら縦の圧縮を表す。例4を見よ。・親関数 $f (x) = b^{x}$ に $- 1$ を掛けると、結果 $f (x) = - b^{x}$ は x軸に関する折り返しになる。入力に $- 1$ を掛けると、結果 $f (x) = b^{- x}$ は y軸に関する折り返しになる。例5を見よ。・指数関数の平行移動はすべて、一般の式 $f (x) = a b^{x + c} + d$ にまとめられる。表3を見よ。・一般の式 $f (x) = a b^{x + c} + d$ を使えば、記述から関数の式が書ける。例6を見よ。

• The inverse of an exponential function is a logarithmic function, and the inverse of a logarithmic function is an exponential function.• Logarithmic equations can be written in an equivalent exponential form, using the definition of a logarithm. See Example 1.• Exponential equations can be written in their equivalent logarithmic form using the definition of a logarithm See Example 2.• Logarithmic functions with base $b$ can be evaluated mentally using previous knowledge of powers of $b .$ See Example 3 and Example 4.• Common logarithms can be evaluated mentally using previous knowledge of powers of $10.$ See Example 5.• When common logarithms cannot be evaluated mentally, a calculator can be used. See Example 6.• Real-world exponential problems with base $10$ can be rewritten as a common logarithm and then evaluated using a calculator. See Example 7.• Natural logarithms can be evaluated using a calculator Example 8.

・指数関数の逆関数は対数関数であり、対数関数の逆関数は指数関数である。・対数の定義を使えば、対数の方程式は同値な指数の形で書ける。例1を見よ。・対数の定義を使えば、指数の方程式は同値な対数の形で書ける。例2を見よ。・底 $b$ の対数関数は、 $b$ の累乗についてすでに知っていることを使って暗算で値を求められる。例3と例4を見よ。・常用対数は、 $10.$ の累乗についてすでに知っていることを使って暗算で値を求められる。例5を見よ。・常用対数を暗算で求められないときは、電卓が使える。例6を見よ。・底 $10$ の現実の指数の問題は、常用対数に書き直してから電卓で値を求められる。例7を見よ。・自然対数は電卓で値を求められる。例8を見よ。

• To find the domain of a logarithmic function, set up an inequality showing the argument greater than zero, and solve for $x .$ See Example 1 and Example 2• The graph of the parent function $f (x) = \log_{b} (x)$ has an x-intercept at $(1, 0),$ domain $(0, \infty),$ range $(- \infty, \infty),$ vertical asymptote $x = 0,$ and if $b > 1,$ the function is increasing. if $0 < b < 1,$ the function is decreasing. See Example 3.• The equation $f (x) = \log_{b} (x + c)$ shifts the parent function $y = \log_{b} (x)$ horizontally left $c$ units if $c > 0.$ right $c$ units if $c < 0.$ See Example 4.• The equation $f (x) = \log_{b} (x) + d$ shifts the parent function $y = \log_{b} (x)$ vertically up $d$ units if $d > 0.$ down $d$ units if $d < 0.$ See Example 5.• For any constant $a > 0,$ the equation $f (x) = a \log_{b} (x)$ stretches the parent function $y = \log_{b} (x)$ vertically by a factor of $a$ if $| a | > 1.$ compresses the parent function $y = \log_{b} (x)$ vertically by a factor of $a$ if $| a | < 1.$ See Example 6 and Example 7.• When the parent function $y = \log_{b} (x)$ is multiplied by $- 1,$ the result is a reflection about the x-axis. When the input is multiplied by $- 1,$ the result is a reflection about the y-axis. The equation $f (x) = - \log_{b} (x)$ represents a reflection of the parent function about the x-axis. The equation $f (x) = \log_{b} (- x)$ represents a reflection of the parent function about the y-axis. See Example 8. A graphing calculator may be used to approximate solutions to some logarithmic equations See Example 9.• All translations of the logarithmic function can be summarized by the general equation $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d .$ See Table 4.• Given an equation with the general form $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d,$ we can identify the vertical asymptote $x = - c$ for the transformation. See Example 10.• Using the general equation $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d,$ we can write the equation of a logarithmic function given its graph. See Example 11.

・対数関数の定義域を求めるには、真数が0より大きいという不等式を立てて $x$ について解く。例1と例2を見よ。・親関数 $f (x) = \log_{b} (x)$ のグラフは、 $(1, 0)$ に x切片、定義域 $(0, \infty)$ 、値域 $(- \infty, \infty)$ 、垂直漸近線 $x = 0$ を持ち、 $b > 1$ なら増加、 $0 < b < 1$ なら減少する。例3を見よ。・式 $f (x) = \log_{b} (x + c)$ は、 $c > 0.$ なら親関数 $y = \log_{b} (x)$ を横に左へ $c$ 単位、 $c < 0.$ なら右へ $c$ 単位移す。例4を見よ。・式 $f (x) = \log_{b} (x) + d$ は、 $d > 0.$ なら親関数 $y = \log_{b} (x)$ を縦に上へ $d$ 単位、 $d < 0.$ なら下へ $d$ 単位移す。例5を見よ。・任意の定数 $a > 0$ について、式 $f (x) = a \log_{b} (x)$ は、 $| a | > 1.$ なら親関数 $y = \log_{b} (x)$ を縦に $a$ 倍に伸ばし、 $| a | < 1.$ なら親関数 $y = \log_{b} (x)$ を縦に $a$ 倍に縮める。例6と例7を見よ。・親関数 $y = \log_{b} (x)$ に $- 1$ を掛けると、x軸に関する折り返しになる。入力に $- 1$ を掛けると、y軸に関する折り返しになる。式 $f (x) = - \log_{b} (x)$ は親関数の x軸に関する折り返しを表す。式 $f (x) = \log_{b} (- x)$ は親関数の y軸に関する折り返しを表す。例8を見よ。対数の方程式によっては、グラフ電卓で解を近似できる。例9を見よ。・対数関数の平行移動はすべて、一般の式 $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d$ にまとめられる。表4を見よ。・一般形 $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d$ の式が与えられれば、その変形の垂直漸近線 $x = - c$ が見分けられる。例10を見よ。・一般の式 $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d$ を使えば、グラフから対数関数の式が書ける。例11を見よ。

• We can use the product rule of logarithms to rewrite the log of a product as a sum of logarithms. See Example 1.• We can use the quotient rule of logarithms to rewrite the log of a quotient as a difference of logarithms. See Example 2.• We can use the power rule for logarithms to rewrite the log of a power as the product of the exponent and the log of its base. See Example 3, Example 4, and Example 5.• We can use the product rule, the quotient rule, and the power rule together to combine or expand a logarithm with a complex input. See Example 6, Example 7, and Example 8.• The rules of logarithms can also be used to condense sums, differences, and products with the same base as a single logarithm. See Example 9, Example 10, Example 11, and Example 12.• We can convert a logarithm with any base to a quotient of logarithms with any other base using the change-of-base formula. See Example 13.• The change-of-base formula is often used to rewrite a logarithm with a base other than 10 and $e$ as the quotient of natural or common logs. That way a calculator can be used to evaluate. See Example 14.

・対数の積の法則を使えば、積の対数を対数の和に書き直せる。例1を見よ。・対数の商の法則を使えば、商の対数を対数の差に書き直せる。例2を見よ。・対数の累乗の法則を使えば、累乗の対数を、指数と底の対数の積に書き直せる。例3、例4、例5を見よ。・積の法則、商の法則、累乗の法則を合わせて使えば、込み入った真数を持つ対数をまとめたり展開したりできる。例6、例7、例8を見よ。・対数の法則を使えば、底が同じ和・差・積を一つの対数にまとめることもできる。例9、例10、例11、例12を見よ。・底の変換公式を使えば、どんな底の対数も、ほかの任意の底の対数の商に直せる。例13を見よ。・底の変換公式は、底が10でも $e$ でもない対数を、自然対数や常用対数の商に書き直すのにしばしば使われる。そうすれば電卓で値を求められる。例14を見よ。

• We can solve many exponential equations by using the rules of exponents to rewrite each side as a power with the same base. Then we use the fact that exponential functions are one-to-one to set the exponents equal to one another and solve for the unknown.• When we are given an exponential equation where the bases are explicitly shown as being equal, set the exponents equal to one another and solve for the unknown. See Example 1.• When we are given an exponential equation where the bases are not explicitly shown as being equal, rewrite each side of the equation as powers of the same base, then set the exponents equal to one another and solve for the unknown. See Example 2, Example 3, and Example 4.• When an exponential equation cannot be rewritten with a common base, solve by taking the logarithm of each side. See Example 5.• We can solve exponential equations with base $e,$ by applying the natural logarithm of both sides because exponential and logarithmic functions are inverses of each other. See Example 6 and Example 7.• After solving an exponential equation, check each solution in the original equation to find and eliminate any extraneous solutions. See Example 8.• When given an equation of the form $\log_{b} (S) = c,$ where $S$ is an algebraic expression, we can use the definition of a logarithm to rewrite the equation as the equivalent exponential equation $b^{c} = S,$ and solve for the unknown. See Example 9 and Example 10.• We can also use graphing to solve equations with the form $\log_{b} (S) = c .$ We graph both equations $y = \log_{b} (S)$ and $y = c$ on the same coordinate plane and identify the solution as the x-value of the intersecting point. See Example 11.• When given an equation of the form $\log_{b} S = \log_{b} T,$ where $S$ and $T$ are algebraic expressions, we can use the one-to-one property of logarithms to solve the equation $S = T$ for the unknown. See Example 12.• Combining the skills learned in this and previous sections, we can solve equations that model real world situations, whether the unknown is in an exponent or in the argument of a logarithm. See Example 13.

・指数の法則を使って両辺を同じ底の累乗に書き直せば、多くの指数の方程式が解ける。そして、指数関数が一対一であることを使って指数どうしを等しいとおき、未知の値について解く。・両辺の底が等しいとはっきり示された指数の方程式が与えられたら、指数どうしを等しいとおいて未知の値について解く。例1を見よ。・両辺の底が等しいとはっきり示されていない指数の方程式が与えられたら、方程式の両辺を同じ底の累乗に書き直し、それから指数どうしを等しいとおいて未知の値について解く。例2、例3、例4を見よ。・指数の方程式を共通の底に書き直せないときは、両辺の対数をとって解く。例5を見よ。・指数関数と対数関数は互いに逆関数なので、底 $e$ の指数の方程式は両辺に自然対数を当てはめれば解ける。例6と例7を見よ。・指数の方程式を解いた後は、各解を元の方程式で確かめ、無縁解を見つけて取り除く。例8を見よ。・ $S$ が代数の式である $\log_{b} (S) = c$ の形の方程式が与えられたら、対数の定義を使って同値な指数の方程式 $b^{c} = S$ に書き直し、未知の値について解ける。例9と例10を見よ。・ $\log_{b} (S) = c$ の形の方程式は、グラフを使っても解ける。二つの式 $y = \log_{b} (S)$ と $y = c$ を同じ座標平面に描き、交点の x の値を解と見分ける。例11を見よ。・ $S$ と $T$ が代数の式である $\log_{b} S = \log_{b} T$ の形の方程式が与えられたら、対数の一対一の性質を使って方程式 $S = T$ を未知の値について解ける。例12を見よ。・この節とそれまでの節で身につけた技を合わせれば、未知数が指数にあっても対数の真数にあっても、現実の状況のモデルとなる方程式が解ける。例13を見よ。

• The basic exponential function is $f (x) = a b^{x} .$ If $b > 1,$ we have exponential growth; if $0 < b < 1,$ we have exponential decay.• We can also write this formula in terms of continuous growth as $A = A_{0} e^{k x},$ where $A_{0}$ is the starting value. If $A_{0}$ is positive, then we have exponential growth when $k > 0$ and exponential decay when $k < 0.$ See Example 1.• In general, we solve problems involving exponential growth or decay in two steps. First, we set up a model and use the model to find the parameters. Then we use the formula with these parameters to predict growth and decay. See Example 2.• We can find the age, $t,$ of an organic artifact by measuring the amount, $k,$ of carbon-14 remaining in the artifact and using the formula $t = \frac{\ln (k)}{- 0.000121}$ to solve for $t .$ See Example 3.• Given a substance’s doubling time or half-time, we can find a function that represents its exponential growth or decay. See Example 4.• We can use Newton’s Law of Cooling to find how long it will take for a cooling object to reach a desired temperature, or to find what temperature an object will be after a given time. See Example 5.• We can use logistic growth functions to model real-world situations where the rate of growth changes over time, such as population growth, spread of disease, and spread of rumors. See Example 6.• We can use real-world data gathered over time to observe trends. Knowledge of linear, exponential, logarithmic, and logistic graphs help us to develop models that best fit our data. See Example 7.• Any exponential function with the form $y = a b^{x}$ can be rewritten as an equivalent exponential function with the form $y = A_{0} e^{k x}$ where $k = \ln b .$ See Example 8.

・基本の指数関数は $f (x) = a b^{x}$ である。 $b > 1$ なら指数的な増加、 $0 < b < 1$ なら指数的な減少になる。・この公式は、連続の増加を使って $A = A_{0} e^{k x}$ とも書ける。ここで $A_{0}$ は出発点の値である。 $A_{0}$ が正なら、 $k > 0$ のとき指数的な増加、 $k < 0.$ のとき指数的な減少になる。例1を見よ。・一般に、指数的な増加や減少を含む問題は二段階で解く。まずモデルを立て、そのモデルを使って母数を求める。次にその母数を入れた公式を使って、増加や減少を予測する。例2を見よ。・遺物に残る炭素14の量 $k$ を測り、公式 $t = \frac{\ln (k)}{- 0.000121}$ を $t$ について解けば、有機物の遺物の年代 $t$ が求められる。例3を見よ。・ある物質の倍加時間や半減期が与えられれば、その指数的な増加や減少を表す関数が求められる。例4を見よ。・ニュートンの冷却の法則を使えば、冷めていく物が望みの温度に達するまでにどれだけかかるか、あるいは与えられた時間の後に物が何度になるかが求められる。例5を見よ。・ロジスティック増加の関数を使えば、個体数の増加、病気の広がり、噂の広がりのように、増加の割合が時間とともに変わる現実の状況のモデルが作れる。例6を見よ。・時間をかけて集めた現実の資料を使えば、傾向が見てとれる。一次・指数・対数・ロジスティックのグラフについての知識は、手元の資料に最もよく当てはまるモデルを組み立てるのに役立つ。例7を見よ。・ $y = a b^{x}$ の形のどの指数関数も、 $k = \ln b$ として $y = A_{0} e^{k x}$ の形の同値な指数関数に書き直せる。例8を見よ。

• Exponential regression is used to model situations where growth begins slowly and then accelerates rapidly without bound, or where decay begins rapidly and then slows down to get closer and closer to zero.• We use the command “ExpReg” on a graphing utility to fit function of the form $y = a b^{x}$ to a set of data points. See Example 1.• Logarithmic regression is used to model situations where growth or decay accelerates rapidly at first and then slows over time.• We use the command “LnReg” on a graphing utility to fit a function of the form $y = a + b \ln (x)$ to a set of data points. See Example 2.• Logistic regression is used to model situations where growth accelerates rapidly at first and then steadily slows as the function approaches an upper limit.• We use the command “Logistic” on a graphing utility to fit a function of the form $y = \frac{c}{1 + a e^{- b x}}$ to a set of data points. See Example 3.

・指数回帰は、増加が初めゆっくりで、それから限りなく速まる状況や、減少が初め速く、それから緩んで0にどんどん近づく状況のモデルを作るのに使う。・グラフ作成ツールで「ExpReg」の命令を使えば、資料の点の組に $y = a b^{x}$ の形の関数を当てはめられる。例1を見よ。・対数回帰は、増加や減少が初め速く進み、それから時とともに緩む状況のモデルを作るのに使う。・グラフ作成ツールで「LnReg」の命令を使えば、資料の点の組に $y = a + b \ln (x)$ の形の関数を当てはめられる。例2を見よ。・ロジスティック回帰は、増加が初め速く進み、それから関数が上限に近づくにつれて着実に緩む状況のモデルを作るのに使う。・グラフ作成ツールで「Logistic」の命令を使えば、資料の点の組に $y = \frac{c}{1 + a e^{- b x}}$ の形の関数を当てはめられる。例3を見よ。