第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

In chemistry, pH is used as a measure of the acidity or alkalinity of a substance. The pH scale runs from 0 to 14. Substances with a pH less than 7 are considered acidic, and substances with a pH greater than 7 are said to be basic. Our bodies, for instance, must maintain a pH close to 7.35 in order for enzymes to work properly. To get a feel for what is acidic and what is basic, consider the following pH levels of some common substances:

化学では、物質の酸性度やアルカリ度を測るものとして pH を使う。pH の尺度は0から14まで走る。pH が7より小さい物質は酸性、7より大きい物質は塩基性とされる。たとえば私たちの体は、酵素がきちんとはたらくために pH を7.35近くに保たなければならない。何が酸性で何が塩基性かをつかむために、身近な物質の次の pH の値を見よう。

• Battery acid: 0.8• Stomach acid: 2.7• Orange juice: 3.3• Pure water: 7 (at 25° C)• Human blood: 7.35• Fresh coconut: 7.8• Sodium hydroxide (lye): 14

・電池の酸: 0.8・胃酸: 2.7・オレンジジュース: 3.3・純水: 7(25°Cで)・人の血液: 7.35・新鮮なココナッツ: 7.8・水酸化ナトリウム(苛性ソーダ): 14

To determine whether a solution is acidic or basic, we find its pH, which is a measure of the number of active positive hydrogen ions in the solution. The pH is defined by the following formula, where $H^{+}$ is the concentration of hydrogen ion in the solution

ある溶液が酸性か塩基性かを決めるには、その pH を求める。pH は溶液中の活性な水素の陽イオンの数を測ったものである。pH は次の公式で定められる。ここで $H^{+}$ は溶液中の水素イオンの濃度である。

The equivalence of $-\log \left(\left[H^{+}\right]\right)$ and $\log \left(\frac{1}{\left[H^{+}\right]}\right)$ is one of the logarithm properties we will examine in this section.

$-\log \left(\left[H^{+}\right]\right)$ と $\log \left(\frac{1}{\left[H^{+}\right]}\right)$ が等しいことは、この節で調べる対数の性質の一つである。

Recall that the logarithmic and exponential functions “undo” each other. This means that logarithms have similar properties to exponents. Some important properties of logarithms are given here. First, the following properties are easy to prove.

対数関数と指数関数が互いに相手を「元に戻す」ことを思い出そう。つまり対数は指数と似た性質を持つ。対数の大切な性質のいくつかをここに挙げる。まず、次の性質は簡単に証明できる。

For example, ${\log }_{5}1=0$ since $5^0=1.$ And ${\log }_{5}5=1$ since $5^1=5.$

たとえば $5^0=1.$ なので ${\log }_{5}1=0$ である。また $5^1=5.$ なので ${\log }_{5}5=1$ である。

Next, we have the inverse property.

次に、逆の性質がある。

For example, to evaluate $\log \left(100\right),$ we can rewrite the logarithm as ${\log }_{10}\left({10}^2\right),$ and then apply the inverse property ${\log }_b\left(b^x\right)=x$ to get ${\log }_{10}\left({10}^2\right)=2.$

たとえば $\log \left(100\right)$ の値を求めるには、この対数を ${\log }_{10}\left({10}^2\right)$ と書き直し、逆の性質 ${\log }_b\left(b^x\right)=x$ を当てはめて ${\log }_{10}\left({10}^2\right)=2.$ を得ればよい。

To evaluate $e^{\ln \left(7\right)},$ we can rewrite the logarithm as $e^{{\log }_{e}7},$ and then apply the inverse property $b^{{\log }_{b}x}=x$ to get $e^{{\log }_{e}7}=7.$

$e^{\ln \left(7\right)}$ の値を求めるには、この対数を $e^{{\log }_{e}7}$ と書き直し、逆の性質 $b^{{\log }_{b}x}=x$ を当てはめて $e^{{\log }_{e}7}=7.$ を得ればよい。

Finally, we have the one-to-one property.

最後に、一対一の性質がある。

We can use the one-to-one property to solve the equation ${\log }_3\left(3x\right)={\log }_3\left(2x+5\right)$ for $x.$ Since the bases are the same, we can apply the one-to-one property by setting the arguments equal and solving for $x:$

一対一の性質を使えば、方程式 ${\log }_3\left(3x\right)={\log }_3\left(2x+5\right)$ を $x$ について解ける。底が同じなので、一対一の性質を当てはめて真数どうしを等しいとおき、$x:$ について解けばよい。

But what about the equation ${\log }_3\left(3x\right)+{\log }_3\left(2x+5\right)=2?$ The one-to-one property does not help us in this instance. Before we can solve an equation like this, we need a method for combining terms on the left side of the equation.

だが方程式 ${\log }_3\left(3x\right)+{\log }_3\left(2x+5\right)=2?$ はどうか。この場合、一対一の性質は役に立たない。このような方程式を解く前に、左辺の項をまとめる方法が要る。

Recall that we use the product rule of exponents to combine the product of powers by adding exponents: $x^a{x}^b=x^{a+b}.$ We have a similar property for logarithms, called the product rule for logarithms, which says that the logarithm of a product is equal to a sum of logarithms. Because logs are exponents, and we multiply like bases, we can add the exponents. We will use the inverse property to derive the product rule below.

指数の積の法則を使い、指数を足して累乗の積をまとめたことを思い出そう: $x^a{x}^b=x^{a+b}$。対数にも似た性質があり、対数の積の法則と呼ばれる。それは、積の対数は対数の和に等しいと述べる。対数は指数であり、同じ底どうしを掛けるので、指数を足せる。下では、逆の性質を使ってこの積の法則を導く。

Given any real number $x$ and positive real numbers $M,N,$ and $b,$ where $b\ne 1,$ we will show

任意の実数 $x$ と、$b\ne 1$ を満たす正の実数 $M,N$、$b$ について、次を示す。

Let $m={\log }_{b}M$ and $n={\log }_{b}N.$ In exponential form, these equations are $b^m=M$ and $b^n=N.$ It follows that

$m={\log }_{b}M$、$n={\log }_{b}N$ とする。指数の形では、これらの式は $b^m=M$ と $b^n=N$ である。したがって次が成り立つ。

Note that repeated applications of the product rule for logarithms allow us to simplify the logarithm of the product of any number of factors. For example, consider ${\log }_b(wxyz).$ Using the product rule for logarithms, we can rewrite this logarithm of a product as the sum of logarithms of its factors:

対数の積の法則を繰り返し当てはめれば、いくつの因数の積の対数でも簡単にできることに注意しよう。たとえば ${\log }_b(wxyz)$ を考えよう。対数の積の法則を使えば、この積の対数を、その各因数の対数の和として書き直せる。

For quotients, we have a similar rule for logarithms. Recall that we use the quotient rule of exponents to combine the quotient of exponents by subtracting: $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}.$ The quotient rule for logarithms says that the logarithm of a quotient is equal to a difference of logarithms. Just as with the product rule, we can use the inverse property to derive the quotient rule.

商についても、対数に似た法則がある。指数の商の法則を使い、指数を引いて累乗の商をまとめたことを思い出そう: $\frac{x^a}{x^b}$=x a−b .。対数の商の法則は、商の対数は対数の差に等しいと述べる。積の法則と同じく、逆の性質を使ってこの商の法則を導ける。

Given any real number $x$ and positive real numbers $M,$ $N,$ and $b,$ where $b\ne 1,$ we will show

任意の実数 $x$ と、$b\ne 1$ を満たす正の実数 $M$、$N$、$b$ について、次を示す。

Let $m={\log }_{b}M$ and $n={\log }_{b}N.$ In exponential form, these equations are $b^m=M$ and $b^n=N.$ It follows that

$m={\log }_{b}M$、$n={\log }_{b}N$ とする。指数の形では、これらの式は $b^m=M$ と $b^n=N$ である。したがって次が成り立つ。

For example, to expand $\log \left(\frac{2x^2+6x}{3x+9}\right),$ we must first express the quotient in lowest terms. Factoring and canceling we get,

たとえば $\log \left(\frac{2x^2+6x}{3x+9}\right)$ を展開するには、まずこの商を約分しなければならない。因数分解して約分すると、次が得られる。

Next we apply the quotient rule by subtracting the logarithm of the denominator from the logarithm of the numerator. Then we apply the product rule.

次に、分子の対数から分母の対数を引いて商の法則を当てはめる。それから積の法則を当てはめる。

We’ve explored the product rule and the quotient rule, but how can we take the logarithm of a power, such as $x^2?$ One method is as follows:

積の法則と商の法則を調べたが、$x^2?$ のような累乗の対数はどうとればよいか。一つの方法は次のとおりである。

Notice that we used the product rule for logarithms to find a solution for the example above. By doing so, we have derived the power rule for logarithms, which says that the log of a power is equal to the exponent times the log of the base. Keep in mind that, although the input to a logarithm may not be written as a power, we may be able to change it to a power. For example,

上の例の答えを求めるのに対数の積の法則を使ったことに注目しよう。そうすることで、対数の累乗の法則を導いた。それは、累乗の対数は指数と底の対数の積に等しいと述べる。対数の入力が累乗の形で書かれていなくても、累乗に直せることがあるのを覚えておこう。たとえば次のとおりである。

Taken together, the product rule, quotient rule, and power rule are often called “laws of logs.” Sometimes we apply more than one rule in order to simplify an expression. For example:

積の法則、商の法則、累乗の法則を合わせて、しばしば「対数の法則」と呼ぶ。式を簡単にするために、二つ以上の法則を当てはめることもある。たとえば次のとおりである。

We can use the power rule to expand logarithmic expressions involving negative and fractional exponents. Here is an alternate proof of the quotient rule for logarithms using the fact that a reciprocal is a negative power:

累乗の法則を使えば、負の指数や分数の指数を含む対数の式を展開できる。逆数が負の累乗であることを使った、対数の商の法則の別の証明を次に示す。

We can also apply the product rule to express a sum or difference of logarithms as the logarithm of a product.

積の法則を当てはめて、対数の和や差を積の対数として表すこともできる。

With practice, we can look at a logarithmic expression and expand it mentally, writing the final answer. Remember, however, that we can only do this with products, quotients, powers, and roots—never with addition or subtraction inside the argument of the logarithm.

慣れれば、対数の式を見て暗算で展開し、最後の答えを書けるようになる。だが、これができるのは積・商・累乗・根に対してだけで、対数の真数の中の足し算や引き算には決してできないことを忘れないでほしい。

We can use the rules of logarithms we just learned to condense sums, differences, and products with the same base as a single logarithm. It is important to remember that the logarithms must have the same base to be combined. We will learn later how to change the base of any logarithm before condensing.

今学んだ対数の法則を使えば、底が同じ対数の和・差・積を一つの対数にまとめられる。まとめるには対数の底が同じでなければならないことを忘れないのが大切である。まとめる前に対数の底を変える方法は、後で学ぶ。

Most calculators can evaluate only common and natural logs. In order to evaluate logarithms with a base other than 10 or $e,$ we use the change-of-base formula to rewrite the logarithm as the quotient of logarithms of any other base; when using a calculator, we would change them to common or natural logs.

ほとんどの電卓は常用対数と自然対数の値しか求められない。底が10でも $e$ でもない対数の値を求めるには、底の変換公式を使って、その対数をほかの任意の底の対数の商に書き直す。電卓を使うときは、常用対数か自然対数に変えることになる。

To derive the change-of-base formula, we use the one-to-one property and power rule for logarithms.

底の変換公式を導くには、対数の一対一の性質と累乗の法則を使う。

Given any positive real numbers $M,b,$ and $n,$ where $n\ne 1$ and $b\ne 1,$ we show

$n\ne 1$ かつ $b\ne 1$ を満たす任意の正の実数 $M,b$、$n$ について、次を示す。

Let $y={\log }_{b}M.$By exponentiating both sides with base$b$, we arrive at an exponential form, namely $b^y=M.$ It follows that

$y={\log }_{b}M$ とする。両辺を底 $b$ で累乗すれば指数の形、すなわち $b^y=M$ が得られる。したがって次が成り立つ。

For example, to evaluate ${\log }_{5}36$ using a calculator, we must first rewrite the expression as a quotient of common or natural logs. We will use the common log.

たとえば電卓を使って ${\log }_{5}36$ の値を求めるには、まずこの式を常用対数か自然対数の商に書き直さなければならない。ここでは常用対数を使う。