第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Answer Key解答

Solution 1解答 1

$g (x) = {0.875}^{x}$ and $j (x) = {1095.6}^{- 2 x}$ represent exponential functions.

$g (x) = {0.875}^{x}$ と $j (x) = {1095.6}^{- 2 x}$ が指数関数を表す。

Solution 2解答 2

$5.5556$

Solution 3解答 3

About $1.548$ billion people; by the year 2031, India’s population will exceed China’s by about 0.001 billion, or 1 million people.

およそ $1.548$ 十億人。2031年までに、インドの人口は中国をおよそ0.001十億人、すなわち100万人上回る。

Solution 4解答 4

$(0, 129)$ and $(2, 236); N (t) = 129 {(1 .3526)}^{t}$

$(0, 129)$ と $(2, 236); N (t) = 129 {(1 .3526)}^{t}$

Solution 5解答 5

$f (x) = 2 {(1.5)}^{x}$

Solution 6解答 6

$f (x) = \sqrt{2} {(\sqrt{2})}^{x} .$ Answers may vary due to round-off error. The answer should be very close to $1.4142 {(1.4142)}^{x} .$

$f (x) = \sqrt{2} {(\sqrt{2})}^{x}$ 。丸めの誤差で答えが違うことがある。答えは $1.4142 {(1.4142)}^{x}$ にきわめて近くなるはずである。

Solution 7解答 7

$y \approx 12 \cdot {1.85}^{x}$

Solution 8解答 8

about $3,644,675.88

およそ3,644,675.88ドル

Solution 9解答 9

$13,693

Solution 10解答 10

$e^{- 0.5} \approx 0.60653$

Solution 11解答 11

$3,659,823.44

Solution 12解答 12

3.77E-26 (This is calculator notation for the number written as $3.77 \times 10^{- 26}$ in scientific notation. While the output of an exponential function is never zero, this number is so close to zero that for all practical purposes we can accept zero as the answer.)

3.77E-26(これは、科学的記数法で $3.77 \times 10^{- 26}$ と書かれる数の電卓での表記である。指数関数の出力が0になることは決して無いが、この数は0にきわめて近いので、実用上は0を答えとしてよい。)

Solution 1解答 1

The domain is $(- \infty, \infty);$ the range is $(0, \infty);$ the horizontal asymptote is $y = 0.$

定義域は $(- \infty, \infty);$ 、値域は $(0, \infty);$ 、水平漸近線は $y = 0.$ である。

Graph of the increasing exponential function f(x) = 4^x with labeled points at (-1, 0.25), (0, 1), and (1, 4).

Solution 2解答 2

The domain is $(- \infty, \infty);$ the range is $(3, \infty);$ the horizontal asymptote is $y = 3.$

定義域は $(- \infty, \infty);$ 、値域は $(3, \infty);$ 、水平漸近線は $y = 3.$ である。

Graph of the function, f(x) = 2^(x-1)+3, with an asymptote at y=3. Labeled points in the graph are (-1, 3.25), (0, 3.5), and (1, 4).

Solution 3解答 3

$x \approx - 1.608$

Solution 4解答 4

The domain is $(- \infty, \infty);$ the range is $(0, \infty);$ the horizontal asymptote is $y = 0.$

定義域は $(- \infty, \infty);$ 、値域は $(0, \infty);$ 、水平漸近線は $y = 0.$ である。

Graph of the function, f(x) = (1/2)(4)^(x), with an asymptote at y=0. Labeled points in the graph are (-1, 0.125), (0, 0.5), and (1, 2).

Solution 5解答 5

The domain is $(- \infty, \infty);$ the range is $(0, \infty);$ the horizontal asymptote is $y = 0.$

定義域は $(- \infty, \infty);$ 、値域は $(0, \infty);$ 、水平漸近線は $y = 0.$ である。

Graph of the function, g(x) = -(1.25)^(-x), with an asymptote at y=0. Labeled points in the graph are (-1, 1.25), (0, 1), and (1, 0.8).

Solution 6解答 6

$f (x) = - \frac{1}{3} e^{x} - 2;$ the domain is $(- \infty, \infty);$ the range is $(- \infty, −2);$ the horizontal asymptote is $y = −2.$

$f (x) = - \frac{1}{3} e^{x} - 2;$ 。定義域は $(- \infty, \infty);$ 、値域は $(- \infty, −2);$ 、水平漸近線は $y = −2.$ である。

Solution 1解答 1

ⓐ $\log_{10} (1, 000, 000) = 6$ is equivalent to $10^{6} = 1, 000, 000$ ⓑ $\log_{5} (25) = 2$ is equivalent to $5^{2} = 25$

ⓐ $\log_{10} (1, 000, 000) = 6$ は $10^{6} = 1, 000, 000$ と同値である。ⓑ $\log_{5} (25) = 2$ は $5^{2} = 25$ と同値である。

Solution 2解答 2

ⓐ $3^{2} = 9$ is equivalent to $\log_{3} (9) = 2$ ⓑ $5^{3} = 125$ is equivalent to $\log_{5} (125) = 3$ ⓒ $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ is equivalent to ${log}_{2} (\frac{1}{2}) = - 1$

ⓐ $3^{2} = 9$ は $\log_{3} (9) = 2$ と同値である。ⓑ $5^{3} = 125$ は $\log_{5} (125) = 3$ と同値である。ⓒ $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ は ${log}_{2} (\frac{1}{2}) = - 1$ と同値である。

Solution 3解答 3

$\log_{121} (11) = \frac{1}{2}$ (recalling that $\sqrt{121} = {(121)}^{\frac{1}{2}} = 11$ )

$\log_{121} (11) = \frac{1}{2}$ ( $\sqrt{121} = {(121)}^{\frac{1}{2}} = 11$ を思い出そう)

Solution 4解答 4

$\log_{2} (\frac{1}{32}) = - 5$

Solution 5解答 5

$\log (1, 000, 000) = 6$

Solution 6解答 6

$\log (123) \approx 2.0899$

Solution 7解答 7

The difference in magnitudes was about $3.929.$

規模の差はおよそ $3.929.$ だった。

Solution 8解答 8

It is not possible to take the logarithm of a negative number in the set of real numbers.

実数の範囲で負の数の対数をとることはできない。

Solution 1解答 1

$(2, \infty)$

Solution 2解答 2

$(5, \infty)$

Solution 3解答 3

Graph of f(x)=log_(1/5)(x) with labeled points at (1/5, 1) and (1, 0). The y-axis is the asymptote.

The domain is $(0, \infty),$ the range is $(- \infty, \infty),$ and the vertical asymptote is $x = 0.$

定義域は $(0, \infty)$ 、値域は $(- \infty, \infty)$ 、垂直漸近線は $x = 0.$ である。

Solution 4解答 4

Graph of two functions. The parent function is y=log_3(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0), and (3, 1).The translation function f(x)=log_3(x+4) has an asymptote at x=-4 and labeled points at (-3, 0) and (-1, 1).

The domain is $(- 4, \infty),$ the range $(- \infty, \infty),$ and the asymptote $x = - 4.$

定義域は $(- 4, \infty)$ 、値域は $(- \infty, \infty)$ 、漸近線は $x = - 4.$ である。

Solution 5解答 5

Graph of two functions. The parent function is y=log_2(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0), and (2, 1).The translation function f(x)=log_2(x)+2 has an asymptote at x=0 and labeled points at (0.25, 0) and (0.5, 1).

The domain is $(0, \infty),$ the range is $(- \infty, \infty),$ and the vertical asymptote is $x = 0.$

定義域は $(0, \infty)$ 、値域は $(- \infty, \infty)$ 、垂直漸近線は $x = 0.$ である。

Solution 6解答 6

Graph of two functions. The parent function is y=log_4(x), with an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0), and (4, 1).The translation function f(x)=(1/2)log_4(x) has an asymptote at x=0 and labeled points at (1, 0) and (16, 1).

The domain is $(0, \infty),$ the range is $(- \infty, \infty),$ and the vertical asymptote is $x = 0.$

定義域は $(0, \infty)$ 、値域は $(- \infty, \infty)$ 、垂直漸近線は $x = 0.$ である。

Solution 7解答 7

Graph of f(x)=3log(x-2)+1 with an asymptote at x=2.

The domain is $(2, \infty),$ the range is $(- \infty, \infty),$ and the vertical asymptote is $x = 2.$

定義域は $(2, \infty)$ 、値域は $(- \infty, \infty)$ 、垂直漸近線は $x = 2.$ である。

Solution 8解答 8

Graph of f(x)=-log(-x) with an asymptote at x=0.

The domain is $(- \infty, 0),$ the range is $(- \infty, \infty),$ and the vertical asymptote is $x = 0.$

定義域は $(- \infty, 0)$ 、値域は $(- \infty, \infty)$ 、垂直漸近線は $x = 0.$ である。

Solution 9解答 9

$x \approx 3.049$

Solution 10解答 10

$x = 1$

Solution 11解答 11

$f (x) = 2 \ln (x + 3) - 1$

Solution 1解答 1

$\log_{b} 2 + \log_{b} 2 + \log_{b} 2 + \log_{b} k = 3 \log_{b} 2 + \log_{b} k$

Solution 2解答 2

$\log_{3} (x + 3) - \log_{3} (x - 1) - \log_{3} (x - 2)$

Solution 3解答 3

$2 \ln x$

Solution 4解答 4

$- 2 \ln (x)$

Solution 5解答 5

$\log_{3} 16$

Solution 6解答 6

$2 \log x + 3 \log y - 4 \log z$

Solution 7解答 7

$\frac{2}{3} \ln x$

Solution 8解答 8

$\frac{1}{2} \ln (x - 1) + \ln (2 x + 1) - \ln (x + 3) - \ln (x - 3)$

Solution 9解答 9

$\log (\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6});$ can also be written $\log (\frac{5}{8})$ by reducing the fraction to lowest terms.

$\log (\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6});$ は、分数を約せば $\log (\frac{5}{8})$ とも書ける。

Solution 10解答 10

$\log (\frac{5 {(x - 1)}^{3} \sqrt{x}}{(7 x - 1)})$

Solution 11解答 11

$\log \frac{x^{12} {(x + 5)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{4}};$ this answer could also be written $\log {(\frac{x^{3} (x + 5)}{(2 x + 3)})}^{4} .$

$\log \frac{x^{12} {(x + 5)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{4}};$ 。この答えは $\log {(\frac{x^{3} (x + 5)}{(2 x + 3)})}^{4}$ とも書ける。

Solution 12解答 12

The pH increases by about 0.301.

pH はおよそ0.301上がる。

Solution 13解答 13

$\frac{\ln 8}{\ln 0.5}$

Solution 14解答 14

$\frac{\ln 100}{\ln 5} \approx \frac{4.6051}{1.6094} = 2.861$

Solution 1解答 1

$x = - 2$

Solution 2解答 2

$x = - 1$

Solution 3解答 3

$x = \frac{1}{2}$

Solution 4解答 4

The equation has no solution.

この方程式に解は無い。

Solution 5解答 5

$x = \frac{\ln 3}{\ln (\frac{2}{3})}$

Solution 6解答 6

$t = 2 \ln (\frac{11}{3})$ or $\ln {(\frac{11}{3})}^{2}$

$t = 2 \ln (\frac{11}{3})$ または $\ln {(\frac{11}{3})}^{2}$

Solution 7解答 7

$t = \ln (\frac{1}{\sqrt{2}}) = - \frac{1}{2} \ln (2)$

Solution 8解答 8

$x = \ln 2$

Solution 9解答 9

$x = e^{4}$

Solution 10解答 10

$x = e^{5} - 1$

Solution 11解答 11

$x \approx 9.97$

Solution 12解答 12

$x = 1$ or $x = - 1$

$x = 1$ または $x = - 1$

Solution 13解答 13

$t = 703, 800, 000 \times \frac{\ln (0.8)}{\ln (0.5)} years \approx 226, 572, 993 years .$

式中の英語：years：年

Solution 1解答 1

$f (t) = A_{0} e^{- 0.0000000087 t}$

Solution 2解答 2

less than 230 years, 229.3157 to be exact

230年より短い。正確には229.3157年。

Solution 3解答 3

$f (t) = A_{0} e^{\frac{\ln 2}{3} t}$

Solution 4解答 4

6.026 hours

6.026時間

Solution 5解答 5

895 cases on day 15

15日目に895人

Solution 6解答 6

Exponential. $y = 2 e^{0.5 x} .$

指数。 $y = 2 e^{0.5 x}$

Solution 7解答 7

$y = 3 e^{(\ln 0.5) x}$

Solution 1解答 1

ⓐThe exponential regression model that fits these data is $y = 522.88585984 {(1.19645256)}^{x} .$ ⓑIf spending continues at this rate, the graduate’s credit card debt will be $4,499.38 after one year.

ⓐこの資料に当てはまる指数回帰のモデルは $y = 522.88585984 {(1.19645256)}^{x}$ である。ⓑこの調子で使い続けると、卒業した人のクレジットカードの負債は1年後に4,499.38ドルになる。

Solution 2解答 2

ⓐThe logarithmic regression model that fits these data is $y = 141.91242949 + 10.45366573 \ln (x)$ ⓑIf sales continue at this rate, about 171,000 games will be sold in the year 2015.

ⓐこの資料に当てはまる対数回帰のモデルは $y = 141.91242949 + 10.45366573 \ln (x)$ である。ⓑこの調子で売れ続けるなら、2015年にはおよそ171,000本売れる。

Solution 3解答 3

ⓐThe logistic regression model that fits these data is $y = \frac{25.65665979}{1 + 6.113686306 e^{- 0.3852149008 x}} .$ ⓑIf the population continues to grow at this rate, there will be about $25,634$ seals in 2020.ⓒTo the nearest whole number, the carrying capacity is 25,657.

ⓐこの資料に当てはまるロジスティック回帰のモデルは $y = \frac{25.65665979}{1 + 6.113686306 e^{- 0.3852149008 x}}$ である。ⓑこの調子で個体数が増え続けるなら、2020年にはアザラシがおよそ $25,634$ 頭になる。ⓒ環境収容力は、整数で25,657である。

6.1 Section Exercises6.1 節末問題

Solution 1解答 1

Linear functions have a constant rate of change. Exponential functions increase based on a percent of the original.

一次関数は変化の割合が一定である。指数関数は元の量の百分率にもとづいて増える。

Solution 3解答 3

When interest is compounded, the percentage of interest earned to principal ends up being greater than the annual percentage rate for the investment account. Thus, the annual percentage rate does not necessarily correspond to the real interest earned, which is the very definition of nominal.

利子が複利でつくと、元金に対する利子の割合は、その投資口座の年利より大きくなる。よって年利は、実際に得られる利子と必ずしも一致しない。これがまさに名目という語の意味である。

Solution 5解答 5

exponential; the population decreases by a proportional rate. .

指数。個体数が比例した割合で減る。

Solution 7解答 7

not exponential; the charge decreases by a constant amount each visit, so the statement represents a linear function. .

指数でない。1回ごとに料金が一定の額だけ減るので、この記述は一次関数を表す。

Solution 9解答 9

The forest represented by the function $B (t) = 82 {(1.029)}^{t} .$

関数 $B (t) = 82 {(1.029)}^{t}$ で表される森

Solution 11解答 11

After $t = 20$ years, forest A will have $43$ more trees than forest B.

$t = 20$ 年後、森Aは森Bより木が $43$ 本多い。

Solution 13解答 13

Answers will vary. Sample response: For a number of years, the population of forest A will increasingly exceed forest B, but because forest B actually grows at a faster rate, the population will eventually become larger than forest A and will remain that way as long as the population growth models hold. Some factors that might influence the long-term validity of the exponential growth model are drought, an epidemic that culls the population, and other environmental and biological factors.

答えはさまざまでよい。答えの例: 何年かのあいだ、森Aの本数は森Bをますます上回る。だが森Bのほうが実際には速く育つので、いずれ本数は森Aより多くなり、この個体数の増加のモデルが成り立つかぎりそのままである。指数的な増加のモデルが長い目で見て通用するかどうかに関わる要因には、干ばつ、個体数を減らす流行病、そのほかの環境と生物の要因などがある。

Solution 15解答 15

exponential growth; The growth factor, $1.06,$ is greater than $1.$

指数的な増加。増加因子 $1.06$ が $1.$ より大きい。

Solution 17解答 17

exponential decay; The decay factor, $0.97,$ is between $0$ and $1.$

指数的な減少。減少因子 $0.97$ が $0$ と $1.$ のあいだにある。

Solution 19解答 19

$f (x) = 2000 {(0.1)}^{x}$

Solution 21解答 21

$f (x) = {(\frac{1}{6})}^{- \frac{3}{5}} {(\frac{1}{6})}^{\frac{x}{5}} \approx 2.93 {(0.699)}^{x}$

Solution 23解答 23

Linear

一次

Solution 25解答 25

Neither

どちらでもない

Solution 27解答 27

Linear

一次

Solution 29解答 29

$$ 10, 250$

Solution 31解答 31

$$ 13, 268.58$

Solution 33解答 33

$P = A (t) \cdot {(1 + \frac{r}{n})}^{- n t}$

Solution 35解答 35

$$ 4,572.56$

Solution 37解答 37

$4 %$

Solution 39解答 39

continuous growth; the growth rate is greater than $0.$

連続の増加。増加の割合が $0.$ より大きい。

Solution 41解答 41

continuous decay; the growth rate is less than $0.$

連続の減少。増加の割合が $0.$ より小さい。

Solution 43解答 43

$$ 669.42$

Solution 45解答 45

$f (- 1) = - 4$

Solution 47解答 47

$f (- 1) \approx - 0.2707$

Solution 49解答 49

$f (3) \approx 483.8146$

Solution 51解答 51

$y = 3 \cdot 5^{x}$

Solution 53解答 53

$y \approx 18 \cdot {1.025}^{x}$

Solution 55解答 55

$y \approx 0.2 \cdot {1.95}^{x}$

Solution 57解答 57

$APY = \frac{A (t) - a}{a} = \frac{a {(1 + \frac{r}{365})}^{365 (1)} - a}{a} = \frac{a [{(1 + \frac{r}{365})}^{365} - 1]}{a} = {(1 + \frac{r}{365})}^{365} - 1;$ $I (n) = {(1 + \frac{r}{n})}^{n} - 1$

Solution 59解答 59

Let $f$ be the exponential decay function $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{b})}^{x}$ such that $b > 1.$ Then for some number $n > 0,$ $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{b})}^{x} = a {(b^{- 1})}^{x} = a {({(e^{n})}^{- 1})}^{x} = a {(e^{- n})}^{x} = a {(e)}^{- n x} .$

$f$ を $b > 1.$ を満たす指数的な減少の関数 $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{b})}^{x}$ とする。すると、ある数 $n > 0$ について $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{b})}^{x} = a {(b^{- 1})}^{x} = a {({(e^{n})}^{- 1})}^{x} = a {(e^{- n})}^{x} = a {(e)}^{- n x}$ となる。

Solution 61解答 61

$47, 622$ fox

$47, 622$ 頭の狐

Solution 63解答 63

$1.39 %;$ $$ 155, 368.09$

Solution 65解答 65

$$ 35, 838.76$

Solution 67解答 67

$$ 82, 247.78;$ $$ 449.75$

6.2 Section Exercises6.2 節末問題

Solution 1解答 1

An asymptote is a line that the graph of a function approaches, as $x$ either increases or decreases without bound. The horizontal asymptote of an exponential function tells us the limit of the function’s values as the independent variable gets either extremely large or extremely small.

漸近線とは、 $x$ が限りなく増えるか減るかするときに、関数のグラフが近づく直線である。指数関数の水平漸近線は、独立変数がきわめて大きくなるか、きわめて小さくなるときの、その関数の値の限りを教えてくれる。

Solution 3解答 3

$g (x) = 4 {(3)}^{- x};$ y-intercept: $(0, 4);$ Domain: all real numbers; Range: all real numbers greater than $0.$

$g (x) = 4 {(3)}^{- x};$ 。y切片: $(0, 4);$ 。定義域: 実数全体。値域: $0.$ より大きい実数全体。

Solution 5解答 5

$g (x) = - 10^{x} + 7;$ y-intercept: $(0, 6);$ Domain: all real numbers; Range: all real numbers less than $7.$

$g (x) = - 10^{x} + 7;$ 。y切片: $(0, 6);$ 。定義域: 実数全体。値域: $7.$ より小さい実数全体。

Solution 7解答 7

$g (x) = 2 {(\frac{1}{4})}^{x};$ y-intercept: $(0, 2);$ Domain: all real numbers; Range: all real numbers greater than $0.$

$g (x) = 2 {(\frac{1}{4})}^{x};$ 。y切片: $(0, 2);$ 。定義域: 実数全体。値域: $0.$ より大きい実数全体。

Solution 9解答 9

Graph of two functions, g(-x)=-2(0.25)^(-x) in blue and g(x)=-2(0.25)^x in orange.

y-intercept: $(0, - 2)$

y切片: $(0, - 2)$

Solution 11解答 11

Graph of three functions, g(x)=3(2)^(x) in blue, h(x)=3(4)^(x) in green, and f(x)=3(1/4)^(x) in orange.

Solution 13解答 13

Solution 15解答 15

Solution 17解答 17

Solution 19解答 19

Solution 21解答 21

Solution 23解答 23

Graph of two functions, f(x)=(1/2)(4)^(x) in blue and -f(x)=(-1/2)(4)^x in orange.

Solution 25解答 25

Graph of two functions, -f(x)=(4)(2)^(x)-2 in blue and f(x)=(-4)(2)^x+1 in orange.

Solution 27解答 27

Horizontal asymptote: $h (x) = 3;$ Domain: all real numbers; Range: all real numbers strictly greater than $3.$

水平漸近線: $h (x) = 3;$ 。定義域: 実数全体。値域: $3.$ より真に大きい実数全体。

Solution 29解答 29

As $x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty$ ;
As $x \to - \infty$ , $f (x) \to - 1$

$x \to \infty$ のとき $f (x) \to - \infty$ 。 $x \to - \infty$ のとき $f (x) \to - 1$ 。

Solution 31解答 31

As $x \to \infty$ , $f (x) \to 2$ ;
As $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$

$x \to \infty$ のとき $f (x) \to 2$ 。 $x \to - \infty$ のとき $f (x) \to \infty$ 。

Solution 33解答 33

$f (x) = 4^{x} - 3$

Solution 35解答 35

$f (x) = 4^{x - 5}$

Solution 37解答 37

$f (x) = 4^{- x}$

Solution 39解答 39

$y = - 2^{x} + 3$

Solution 41解答 41

$y = - 2 {(3)}^{x} + 7$

Solution 43解答 43

$g (6) = 800 + \frac{1}{3} \approx 800.3333$

Solution 45解答 45

$h (- 7) = - 58$

Solution 47解答 47

$x \approx - 2.953$

Solution 49解答 49

$x \approx - 0.222$

Solution 51解答 51

The graph of $G (x) = {(\frac{1}{b})}^{x}$ is the refelction about the y-axis of the graph of $F (x) = b^{x};$ For any real number $b > 0$ and function $f (x) = b^{x},$ the graph of ${(\frac{1}{b})}^{x}$ is the the reflection about the y-axis, $F (- x) .$

$G (x) = {(\frac{1}{b})}^{x}$ のグラフは、 $F (x) = b^{x};$ のグラフを y軸に関して折り返したものである。任意の実数 $b > 0$ と関数 $f (x) = b^{x}$ について、 ${(\frac{1}{b})}^{x}$ のグラフは y軸に関する折り返し $F (- x)$ である。

Solution 53解答 53

The graphs of $g (x)$ and $h (x)$ are the same and are a horizontal shift to the right of the graph of $f (x);$ For any real number n, real number $b > 0,$ and function $f (x) = b^{x},$ the graph of $(\frac{1}{b^{n}}) b^{x}$ is the horizontal shift $f (x - n) .$

$g (x)$ と $h (x)$ のグラフは同じで、 $f (x);$ のグラフを右に横に移したものである。任意の実数 n、実数 $b > 0$ 、関数 $f (x) = b^{x}$ について、 $(\frac{1}{b^{n}}) b^{x}$ のグラフは横の移動 $f (x - n)$ である。

6.3 Section Exercises6.3 節末問題

Solution 1解答 1

A logarithm is an exponent. Specifically, it is the exponent to which a base $b$ is raised to produce a given value. In the expressions given, the base $b$ has the same value. The exponent, $y,$ in the expression $b^{y}$ can also be written as the logarithm, $\log_{b} x,$ and the value of $x$ is the result of raising $b$ to the power of $y .$

対数は指数である。具体的には、与えられた値を生むために底 $b$ を累乗する指数である。与えられた式では、底 $b$ が同じ値である。式 $b^{y}$ の指数 $y$ は対数 $\log_{b} x$ とも書け、 $x$ の値は $b$ を $y$ 乗した結果である。

Solution 3解答 3

Since the equation of a logarithm is equivalent to an exponential equation, the logarithm can be converted to the exponential equation $b^{y} = x,$ and then properties of exponents can be applied to solve for $x .$

対数の式は指数の方程式と同値なので、この対数を指数の方程式 $b^{y} = x$ に直せば、指数の性質を当てはめて $x$ について解ける。

Solution 5解答 5

The natural logarithm is a special case of the logarithm with base $b$ in that the natural log always has base $e .$ Rather than notating the natural logarithm as $\log_{e} (x),$ the notation used is $\ln (x) .$

自然対数は底 $b$ の対数の特別な場合で、自然対数の底はつねに $e$ である。自然対数を $\log_{e} (x)$ と書く代わりに、 $\ln (x)$ という記法を使う。

Solution 7解答 7

$a^{c} = b$

Solution 9解答 9

$x^{y} = 64$

Solution 11解答 11

$15^{b} = a$

Solution 13解答 13

$13^{a} = 142$

Solution 15解答 15

$e^{n} = w$

Solution 17解答 17

${log}_{c} (k) = d$

Solution 19解答 19

$\log_{19} y = x$

Solution 21解答 21

$\log_{n} (103) = 4$

Solution 23解答 23

$\log_{y} (\frac{39}{100}) = x$

Solution 25解答 25

$ln (h) = k$

Solution 27解答 27

$x = 2^{- 3} = \frac{1}{8}$

Solution 29解答 29

$x = 3^{3} = 27$

Solution 31解答 31

$x = 9^{\frac{1}{2}} = 3$

Solution 33解答 33

$x = 6^{- 3} = \frac{1}{216}$

Solution 35解答 35

$x = e^{2}$

Solution 37解答 37

$32$

Solution 39解答 39

$1.06$

Solution 41解答 41

$14.125$

Solution 43解答 43

$\frac{1}{2}$

Solution 45解答 45

$4$

Solution 47解答 47

$- 3$

Solution 49解答 49

$- 12$

Solution 51解答 51

$0$

Solution 53解答 53

$10$

Solution 55解答 55

$2.708$

Solution 57解答 57

$0.151$

Solution 59解答 59

No, the function has no defined value for $x = 0.$ To verify, suppose $x = 0$ is in the domain of the function $f (x) = \log (x) .$ Then there is some number $n$ such that $n = \log (0) .$ Rewriting as an exponential equation gives: $10^{n} = 0,$ which is impossible since no such real number $n$ exists. Therefore, $x = 0$ is not the domain of the function $f (x) = \log (x) .$

いいえ。この関数は $x = 0.$ で値が定まらない。確かめるために、 $x = 0$ が関数 $f (x) = \log (x)$ の定義域に入るとしよう。すると $n = \log (0)$ となる数 $n$ がある。これを指数の方程式に書き直すと $10^{n} = 0$ となるが、そんな実数 $n$ は存在しないのでありえない。したがって $x = 0$ は関数 $f (x) = \log (x)$ の定義域に入らない。

Solution 61解答 61

Yes. Suppose there exists a real number $x$ such that $\ln x = 2.$ Rewriting as an exponential equation gives $x = e^{2},$ which is a real number. To verify, let $x = e^{2} .$ Then, by definition, $\ln (x) = \ln (e^{2}) = 2.$

はい。 $\ln x = 2.$ となる実数 $x$ が存在するとしよう。これを指数の方程式に書き直すと $x = e^{2}$ となり、これは実数である。確かめるために $x = e^{2}$ とする。すると定義により $\ln (x) = \ln (e^{2}) = 2.$ となる。

Solution 63解答 63

No; $\ln (1) = 0,$ so $\frac{\ln (e^{1.725})}{\ln (1)}$ is undefined.

いいえ。 $\ln (1) = 0$ なので $\frac{\ln (e^{1.725})}{\ln (1)}$ は定義されない。

Solution 65解答 65

$2$

6.4 Section Exercises6.4 節末問題

Solution 1解答 1

Since the functions are inverses, their graphs are mirror images about the line $y = x .$ So for every point $(a, b)$ on the graph of a logarithmic function, there is a corresponding point $(b, a)$ on the graph of its inverse exponential function.

この二つの関数は互いに逆関数なので、そのグラフは直線 $y = x$ に関する鏡像である。よって、対数関数のグラフ上のどの点 $(a, b)$ に対しても、その逆の指数関数のグラフ上に対応する点 $(b, a)$ がある。

Solution 3解答 3

Shifting the function right or left and reflecting the function about the y-axis will affect its domain.

関数を右や左に移すこと、y軸に関して折り返すことが、その定義域に影響する。

Solution 5解答 5

No. A horizontal asymptote would suggest a limit on the range, and the range of any logarithmic function in general form is all real numbers.

いいえ。水平漸近線があれば値域に限りがあることになるが、一般形のどの対数関数の値域も実数全体である。

Solution 7解答 7

Domain: $(- \infty, \frac{1}{2});$ Range: $(- \infty, \infty)$

定義域: $(- \infty, \frac{1}{2});$ 。値域: $(- \infty, \infty)$ 。

Solution 9解答 9

Domain: $(- \frac{17}{4}, \infty);$ Range: $(- \infty, \infty)$

定義域: $(- \frac{17}{4}, \infty);$ 。値域: $(- \infty, \infty)$ 。

Solution 11解答 11

Domain: $(5, \infty);$ Vertical asymptote: $x = 5$

定義域: $(5, \infty);$ 。垂直漸近線: $x = 5$ 。

Solution 13解答 13

Domain: $(- \frac{1}{3}, \infty);$ Vertical asymptote: $x = - \frac{1}{3}$

定義域: $(- \frac{1}{3}, \infty);$ 。垂直漸近線: $x = - \frac{1}{3}$ 。

Solution 15解答 15

Domain: $(- 3, \infty);$ Vertical asymptote: $x = - 3$

定義域: $(- 3, \infty);$ 。垂直漸近線: $x = - 3$ 。

Solution 17解答 17

Domain: $(\frac{3}{7}, \infty)$ ;
Vertical asymptote: $x = \frac{3}{7}$ ; End behavior: as $x \to {(\frac{3}{7})}^{+}, f (x) \to - \infty$ and as $x \to \infty, f (x) \to \infty$

定義域: $(\frac{3}{7}, \infty)$ 。垂直漸近線: $x = \frac{3}{7}$ 。端のふるまい: $x \to {(\frac{3}{7})}^{+}, f (x) \to - \infty$ となり、 $x \to \infty, f (x) \to \infty$ となる。

Solution 19解答 19

Domain: $(- 3, \infty)$ ; Vertical asymptote: $x = - 3$ ;
End behavior: as $x \to - 3^{+}$ , $f (x) \to - \infty$ and as $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$

定義域: $(- 3, \infty)$ 。垂直漸近線: $x = - 3$ 。端のふるまい: $x \to - 3^{+}$ のとき $f (x) \to - \infty$ 、 $x \to \infty$ のとき $f (x) \to \infty$ 。

Solution 21解答 21

Domain: $(1, \infty);$ Range: $(- \infty, \infty);$ Vertical asymptote: $x = 1;$ x-intercept: $(\frac{5}{4}, 0);$ y-intercept: DNE

定義域: $(1, \infty);$ 。値域: $(- \infty, \infty);$ 。垂直漸近線: $x = 1;$ 。x切片: $(\frac{5}{4}, 0);$ 。y切片: DNE。

Solution 23解答 23

Domain: $(- \infty, 0);$ Range: $(- \infty, \infty);$ Vertical asymptote: $x = 0;$ x-intercept: $(- e^{2}, 0);$ y-intercept: DNE

定義域: $(- \infty, 0);$ 。値域: $(- \infty, \infty);$ 。垂直漸近線: $x = 0;$ 。x切片: $(- e^{2}, 0);$ 。y切片: DNE。

Solution 25解答 25

Domain: $(0, \infty);$ Range: $(- \infty, \infty);$ Vertical asymptote: $x = 0;$ x-intercept: $(e^{3}, 0);$ y-intercept: DNE

定義域: $(0, \infty);$ 。値域: $(- \infty, \infty);$ 。垂直漸近線: $x = 0;$ 。x切片: $(e^{3}, 0);$ 。y切片: DNE。

Solution 27解答 27

Solution 29解答 29

Solution 31解答 31

Solution 33解答 33

Solution 35解答 35

Graph of two functions, g(x) = log_(1/2)(x) in orange and f(x)=log(x) in blue.

Solution 37解答 37

Graph of two functions, g(x) = ln(1/2)(x) in orange and f(x)=e^(x) in blue.

Solution 39解答 39

Solution 41解答 41

Solution 43解答 43

Solution 45解答 45

Solution 47解答 47

$f (x) = \log_{2} (- (x - 1))$

Solution 49解答 49

$f (x) = 3 \log_{4} (x + 2)$

Solution 51解答 51

$x = 2$

Solution 53解答 53

$x \approx 2 .303$

Solution 55解答 55

$x \approx - 0.472$

Solution 57解答 57

The graphs of $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x)$ and $g (x) = - \log_{2} (x)$ appear to be the same; Conjecture: for any positive base $b \neq 1,$ $\log_{b} (x) = - \log_{\frac{1}{b}} (x) .$

$f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x)$ と $g (x) = - \log_{2} (x)$ のグラフは同じに見える。予想: 任意の正の底 $b \neq 1$ について $\log_{b} (x) = - \log_{\frac{1}{b}} (x)$ 。

Solution 59解答 59

Recall that the argument of a logarithmic function must be positive, so we determine where $\frac{x + 2}{x - 4} > 0$ . From the graph of the function $f (x) = \frac{x + 2}{x - 4},$ note that the graph lies above the x-axis on the interval $(- \infty, - 2)$ and again to the right of the vertical asymptote, that is $(4, \infty) .$ Therefore, the domain is $(- \infty, - 2) \cup (4, \infty) .$

対数関数の真数は正でなければならないことを思い出し、 $\frac{x + 2}{x - 4} > 0$ となるところを決める。関数 $f (x) = \frac{x + 2}{x - 4}$ のグラフから、グラフが x軸より上にあるのは区間 $(- \infty, - 2)$ と、垂直漸近線の右すなわち $(4, \infty)$ だと分かる。したがって定義域は $(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$ である。

A graph of a rational function is shown on an xy-coordinate plane. The x-axis ranges from -10 to 10, and the y-axis ranges from -10 to 10. A vertical dashed orange line, labeled

6.5 Section Exercises6.5 節末問題

Solution 1解答 1

Any root expression can be rewritten as an expression with a rational exponent so that the power rule can be applied, making the logarithm easier to calculate. Thus, $\log_{b} (x^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \log_{b} (x) .$

どんな根の式も有理数の指数を持つ式に書き直せるので、累乗の法則を当てはめられ、対数の計算が楽になる。したがって $\log_{b} (x^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \log_{b} (x)$ である。

Solution 3解答 3

$\log_{b} (2) + \log_{b} (7) + \log_{b} (x) + \log_{b} (y)$

Solution 5解答 5

$\log_{b} (13) - \log_{b} (17)$

Solution 7解答 7

$- k \ln (4)$

Solution 9解答 9

$\ln (7 x y)$

Solution 11解答 11

$\log_{b} (4)$

Solution 13解答 13

${log}_{b} (7)$

Solution 15解答 15

$15 \log (x) + 13 \log (y) - 19 \log (z)$

Solution 17解答 17

$\frac{3}{2} \log (x) - 2 \log (y)$

Solution 19解答 19

$\frac{8}{3} \log (x) + \frac{14}{3} \log (y)$

Solution 21解答 21

$\ln (2 x^{7})$

Solution 23解答 23

$\log (\frac{x z^{3}}{\sqrt{y}})$

Solution 25解答 25

$\log_{7} (15) = \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Solution 27解答 27

$\log_{11} (5) = \frac{\log_{5} (5)}{\log_{5} (11)} = \frac{1}{b}$

Solution 29解答 29

$\log_{11} (\frac{6}{11}) = \frac{\log_{5} (\frac{6}{11})}{\log_{5} (11)} = \frac{\log_{5} (6) - \log_{5} (11)}{\log_{5} (11)} = \frac{a - b}{b} = \frac{a}{b} - 1$

Solution 31解答 31

$3$

Solution 33解答 33

$2.81359$

Solution 35解答 35

$0.93913$

Solution 37解答 37

$- 2.23266$

Solution 39解答 39

$x = 4;$ By the quotient rule: $\log_{6} (x + 2) - \log_{6} (x - 3) = \log_{6} (\frac{x + 2}{x - 3}) = 1.$

$x = 4;$ 。商の法則により $\log_{6} (x + 2) - \log_{6} (x - 3) = \log_{6} (\frac{x + 2}{x - 3}) = 1.$ 。

Rewriting as an exponential equation and solving for $x :$

指数の方程式に書き直して $x :$ について解く。

$\begin{array}{l} 6^{1} & = \frac{x + 2}{x - 3} (after multiplying both sides by (x - 3)) \\ 6 (x - 3) & = x + 2 (carry out distributive multiplication on left) \\ 6 x - 18 & = x + 2 (add 18 to both sides, subtract x from both sides) \\ 5 x & = 20 \\ x & = 4 \end{array}$

Checking, we find that $\log_{6} (4 + 2) - \log_{6} (4 - 3) = \log_{6} (6) - \log_{6} (1)$ is defined, so $x = 4.$

確かめると $\log_{6} (4 + 2) - \log_{6} (4 - 3) = \log_{6} (6) - \log_{6} (1)$ は定義されるので、 $x = 4.$ である。

Solution 41解答 41

Let $b$ and $n$ be positive integers greater than $1.$ Then, by the change-of-base formula, $\log_{b} (n) = \frac{\log_{n} (n)}{\log_{n} (b)} = \frac{1}{\log_{n} (b)} .$

$b$ と $n$ を $1.$ より大きい正の整数とする。すると底の変換公式により $\log_{b} (n) = \frac{\log_{n} (n)}{\log_{n} (b)} = \frac{1}{\log_{n} (b)}$ となる。

6.6 Section Exercises6.6 節末問題

Solution 1解答 1

Determine first if the equation can be rewritten so that each side uses the same base. If so, the exponents can be set equal to each other. If the equation cannot be rewritten so that each side uses the same base, then apply the logarithm to each side and use properties of logarithms to solve.

まず、両辺が同じ底を使うように方程式を書き直せるかどうかを決める。書き直せるなら、指数どうしを等しいとおける。両辺が同じ底を使うように書き直せないなら、両辺に対数を当てはめ、対数の性質を使って解く。

Solution 3解答 3

The one-to-one property can be used if both sides of the equation can be rewritten as a single logarithm with the same base. If so, the arguments can be set equal to each other, and the resulting equation can be solved algebraically. The one-to-one property cannot be used when each side of the equation cannot be rewritten as a single logarithm with the same base.

一対一の性質は、方程式の両辺を同じ底の一つの対数に書き直せる場合に使える。書き直せるなら、真数どうしを等しいとおき、できあがった方程式を代数的に解ける。方程式の両辺を同じ底の一つの対数に書き直せないときは、一対一の性質は使えない。

Solution 5解答 5

$x = - \frac{1}{3}$

Solution 7解答 7

$n = - 1$

Solution 9解答 9

$b = \frac{6}{5}$

Solution 11解答 11

$x = 10$

Solution 13解答 13

No solution

解なし

Solution 15解答 15

$p = \log (\frac{17}{8}) - 7$

Solution 17解答 17

$k = - \frac{\ln (38)}{3}$

Solution 19解答 19

$x = \frac{\ln (\frac{38}{3}) - 8}{9}$

Solution 21解答 21

$x = \ln 12$

Solution 23解答 23

$x = \frac{\ln (\frac{3}{5}) - 3}{8}$

Solution 25解答 25

no solution

解なし

Solution 27解答 27

$x = \ln (3)$

Solution 29解答 29

$10^{- 2} = \frac{1}{100}$

Solution 31解答 31

$n = 49$

Solution 33解答 33

$k = \frac{1}{36}$

Solution 35解答 35

$x = \frac{9 - e}{8}$

Solution 37解答 37

$n = 1$

Solution 39解答 39

No solution

解なし

Solution 41解答 41

No solution

解なし

Solution 43解答 43

$x = \pm \frac{10}{3}$

Solution 45解答 45

$x = 10$

Solution 47解答 47

$x = 0$

Solution 49解答 49

$x = \frac{3}{4}$

Solution 51解答 51

$x = 9$

Solution 53解答 53

$x = \frac{e^{2}}{3} \approx 2.5$

Solution 55解答 55

$x = - 5$

Solution 57解答 57

$x = \frac{e + 10}{4} \approx 3.2$

Solution 59解答 59

No solution

解なし

Graph of log_11(-2x^2-7x)=y and y=log_11(x-2).

Solution 61解答 61

$x = \frac{11}{5} \approx 2.2$

Graph of log_9(3-x)=y and y=log_9(4x-8).

Solution 63解答 63

$x = \frac{101}{11} \approx 9.2$

Graph of 3/log_2(10)-log(x-9)=y and y=log(44).

Solution 65解答 65

about $$ 27, 710.24$

およそ $$ 27, 710.24$

Graph of f(x)=6500e^(0.0725x) with the labeled point at (20, 27710.24).

Solution 67解答 67

about 5 years

およそ5年

Graph of P(t)=1650e^(0.5x) with the labeled point at (5, 20000).

Solution 69解答 69

$\frac{\ln (17)}{5} \approx 0.567$

Solution 71解答 71

$x = \frac{\log (38) + 5 \log (3)}{4 \log (3)} \approx 2.078$

Solution 73解答 73

$x \approx 2.2401$

Solution 75解答 75

$x \approx - 44655.7143$

Solution 77解答 77

about $5.83$

およそ $5.83$

Solution 79解答 79

$t = \ln ({(\frac{y}{A})}^{\frac{1}{k}})$

Solution 81解答 81

$t = \ln ({(\frac{T - T_{s}}{T_{0} - T_{s}})}^{- \frac{1}{k}})$

6.7 Section Exercises6.7 節末問題

Solution 1解答 1

Half-life is a measure of decay and is thus associated with exponential decay models. The half-life of a substance or quantity is the amount of time it takes for half of the initial amount of that substance or quantity to decay.

半減期は減少を測るものであり、したがって指数的な減少のモデルに結びつく。物質や量の半減期とは、その物質や量の初めの量の半分が減るのにかかる時間である。

Solution 3解答 3

Doubling time is a measure of growth and is thus associated with exponential growth models. The doubling time of a substance or quantity is the amount of time it takes for the initial amount of that substance or quantity to double in size.

倍加時間は増加を測るものであり、したがって指数的な増加のモデルに結びつく。物質や量の倍加時間とは、その物質や量の初めの量が2倍になるのにかかる時間である。

Solution 5解答 5

An order of magnitude is the nearest power of ten by which a quantity exponentially grows. It is also an approximate position on a logarithmic scale; Sample response: Orders of magnitude are useful when making comparisons between numbers that differ by a great amount. For example, the mass of Saturn is 95 times greater than the mass of Earth. This is the same as saying that the mass of Saturn is about $10^{2}$ times, or 2 orders of magnitude greater, than the mass of Earth.

桁とは、ある量が指数的に増えるときの、最も近い10の累乗である。対数の尺度上のおおよその位置でもある。答えの例: 桁は、大きく違う数どうしを比べるときに役立つ。たとえば土星の質量は地球の質量の95倍である。これは、土星の質量が地球の質量のおよそ $10^{2}$ 倍、すなわち2桁大きいと言うのと同じである。

Solution 7解答 7

$f (0) \approx 16.7;$ The amount initially present is about 16.7 units.

$f (0) \approx 16.7;$ 。初めにある量はおよそ16.7単位である。

Solution 9解答 9

150

Solution 11解答 11

exponential; $f (x) = {1.2}^{x}$

指数。 $f (x) = {1.2}^{x}$

Solution 13解答 13

logarithmic

対数

Solution 15解答 15

logarithmic

対数

Solution 17解答 17

Solution 19解答 19

about $1.4$ years

およそ $1.4$ 年

Solution 21解答 21

about $7.3$ years

およそ $7.3$ 年

Solution 23解答 23

$4$ half-lives; $8.18$ minutes

半減期 $4$ 回。 $8.18$ 分。

Solution 25解答 25

$\begin{array}{l} M = \frac{2}{3} \log (\frac{S}{S_{0}}) \\ \log (\frac{S}{S_{0}}) = \frac{3}{2} M \\ \frac{S}{S_{0}} = 10^{\frac{3 M}{2}} \\ S = S_{0} 10^{\frac{3 M}{2}} \end{array}$

Solution 27解答 27

Let $y = b^{x}$ for some non-negative real number $b$ such that $b \neq 1.$ Then,

$b \neq 1.$ を満たす0以上の実数 $b$ について $y = b^{x}$ とする。すると、

$\begin{array}{l} \ln (y) = \ln (b^{x}) \\ \ln (y) = x \ln (b) \\ e^{\ln (y)} = e^{x \ln (b)} \\ y = e^{x \ln (b)} \end{array}$

Solution 29解答 29

$A = 125 e^{(- 0.3567 t)}; A \approx 43$ mg

Solution 31解答 31

about $60$ days

およそ $60$ 日

Solution 33解答 33

$A (t) = 250 e^{(- 0.00822 t)};$ half-life: about $84$ minutes

$A (t) = 250 e^{(- 0.00822 t)};$ 。半減期: およそ $84$ 分。

Solution 35解答 35

$r \approx - 0.0667,$ So the hourly decay rate is about $6.67 %$

$r \approx - 0.0667$ 。よって1時間ごとの崩壊の割合はおよそ $6.67 %$ である。

Solution 37解答 37

$f (t) = 1350 e^{(0.03466 t)};$ after 3 hours: $P (180) \approx 691, 200$

$f (t) = 1350 e^{(0.03466 t)};$ 。3時間後: $P (180) \approx 691, 200$ 。

Solution 39解答 39

$f (t) = 256 e^{(0.068110 t)};$ doubling time: about $10$ minutes

$f (t) = 256 e^{(0.068110 t)};$ 。倍加時間: およそ $10$ 分。

Solution 41解答 41

about $88$ minutes

およそ $88$ 分

Solution 43解答 43

$T (t) = 90 e^{(- 0.008377 t)} + 75,$ where $t$ is in minutes.

$T (t) = 90 e^{(- 0.008377 t)} + 75$ 。ここで $t$ は分である。

Solution 45解答 45

about $113$ minutes

およそ $113$ 分

Solution 47解答 47

$\log (x) = 1.5; x \approx 31.623$

Solution 49解答 49

MMS magnitude: $5.82$

MMS の規模: $5.82$

Solution 51解答 51

$N (3) \approx 71$

Solution 53解答 53

6.8 Section Exercises6.8 節末問題

Solution 1解答 1

Logistic models are best used for situations that have limited values. For example, populations cannot grow indefinitely since resources such as food, water, and space are limited, so a logistic model best describes populations.

ロジスティックのモデルは、値に限りのある状況に最も向いている。たとえば、食料・水・場所といった資源には限りがあるので個体数は無限には増えられない。よってロジスティックのモデルが個体数を最もよく述べる。

Solution 3解答 3

Regression analysis is the process of finding an equation that best fits a given set of data points. To perform a regression analysis on a graphing utility, first list the given points using the STAT then EDIT menu. Next graph the scatter plot using the STAT PLOT feature. The shape of the data points on the scatter graph can help determine which regression feature to use. Once this is determined, select the appropriate regression analysis command from the STAT then CALC menu.

回帰分析とは、与えられた資料の点の組に最もよく当てはまる式を求める作業である。グラフ作成ツールで回帰分析を行うには、まず STAT から EDIT のメニューで与えられた点を並べる。次に STAT PLOT の機能を使って散布図を描く。散布図の点の形が、どの回帰の機能を使うかを決めるのに役立つ。それが決まったら、STAT から CALC のメニューでふさわしい回帰分析の命令を選ぶ。

Solution 5解答 5

The y-intercept on the graph of a logistic equation corresponds to the initial population for the population model.

ロジスティックの式のグラフの y切片は、その個体数のモデルの初めの個体数に当たる。

Solution 7解答 7

Solution 9解答 9

Solution 11解答 11

$P (0) = 22$ ; 175

Solution 13解答 13

$p \approx 2.67$

Solution 15解答 15

y-intercept: $(0, 15)$

y切片: $(0, 15)$

Solution 17解答 17

$4$ koi

$4$ 匹の錦鯉

Solution 19解答 19

about $6.8$ months.

およそ $6.8$ か月。

Solution 21解答 21

A two-dimensional line graph with an x-axis ranging from 0 to 20 and a y-axis ranging from 0 to 600. A dark blue, S-shaped curve begins near the origin, approximately at (1, 15), and ascends through the graph, passing roughly through points (5, 80), (10, 300), and (15, 500), before ending with an arrow around (17.5, 550) towards the top right.

Solution 23解答 23

About 38 wolves

およそ38頭の狼

Solution 25解答 25

About 8.7 years

およそ8.7年

Solution 27解答 27

$f (x) = 776.682 {(1.426)}^{x}$

Solution 29解答 29

A graph illustrating exponential growth, showing an orange curve with six blue data points plotted. As the x-value increases, the y-value rapidly increases, indicating a steep upward trend.

Solution 31解答 31

A scatter plot on a grid shows six blue data points with x-values from 1 to 6 and corresponding y-values decreasing from 550 to 120, illustrating a negative correlation.

Solution 33解答 33

$f (x) = {731.92 e}^{-0.3038 x}$

Solution 35解答 35

When $f (x) = 250, x \approx 3.6$

$f (x) = 250, x \approx 3.6$ のとき

Solution 37解答 37

$y = 5.063 + 1.934 log (x)$

Solution 39解答 39

An image showing an orange curve passing through six blue data points on a grid with x-axis from 0 to 7 and y-axis from 0 to 10, indicating an increasing trend.

Solution 41解答 41

A scatter plot shows a series of data points illustrating a decreasing trend. As the x-value increases from 1 to 8, the corresponding y-value generally decreases from approximately 7.5 to 2.9, indicating a negative correlation.

Solution 43解答 43

When $f (10) \approx 2.3$

$f (10) \approx 2.3$ のとき

Solution 45解答 45

When $f (x) = 8, x \approx 0.82$

$f (x) = 8, x \approx 0.82$ のとき

Solution 47解答 47

$f (x) = \frac{25.081}{1 + 3.182 e^{- 0.545 x}}$

Solution 49解答 49

About 25

およそ25

Solution 51解答 51

A scatter plot shows ten data points on a grid with an x-axis from 0 to 18 and a y-axis from 0 to 140. The points exhibit a strong increasing trend.

Solution 53解答 53

A graph with an x-axis labeled from 0 to 18 and a y-axis labeled from 0 to 140. An orange S-shaped curve is plotted, starting near (0, 11), increasing steeply through points such as (2, 29), (4, 53), (5, 70), (7, 100), (8, 112), and (10, 126), and then flattening out as it approaches a maximum y-value around 135-136, with data points at (11, 128) and (15, 134). The curve suggests logistic growth.

Solution 55解答 55

When $f (x) = 68, x \approx 4.9$

$f (x) = 68, x \approx 4.9$ のとき

Solution 57解答 57

$f (x) = 1.034341 {(1.281204)}^{x}$ ; $g (x) = 4.035510$ ; the regression curves are symmetrical about $y = x$ , so it appears that they are inverse functions.

$f (x) = 1.034341 {(1.281204)}^{x}$ 。 $g (x) = 4.035510$ 。この回帰の曲線は $y = x$ に関して対称なので、互いに逆関数だと見られる。

Solution 59解答 59

$f^{- 1} (x) = \frac{ln (a) - ln (\frac{c}{x} - 1)}{b}$

Review Exercises復習問題

Solution 1解答 1

exponential decay; The growth factor, $0.825,$ is between $0$ and $1.$

指数的な減少。増加因子 $0.825$ が $0$ と $1.$ のあいだにある。

Solution 3解答 3

$y = 0.25 {(3)}^{x}$

Solution 5解答 5

$$ 42, 888.18$

Solution 7解答 7

continuous decay; the growth rate is negative.

連続の減少。増加の割合が負である。

Solution 9解答 9

domain: all real numbers; range: all real numbers strictly greater than zero; y-intercept: (0, 3.5);

定義域: 実数全体。値域: 0より真に大きい実数全体。y切片: (0, 3.5)。

Solution 11解答 11

$g (x) = 7 {(6.5)}^{- x};$ y-intercept: $(0, 7);$ Domain: all real numbers; Range: all real numbers greater than $0.$

$g (x) = 7 {(6.5)}^{- x};$ 。y切片: $(0, 7);$ 。定義域: 実数全体。値域: $0.$ より大きい実数全体。

Solution 13解答 13

$17^{x} = 4913$

Solution 15解答 15

$\log_{a} b = - \frac{2}{5}$

Solution 17解答 17

$x = 64^{\frac{1}{3}} = 4$

Solution 19解答 19

$\log (0 .000001) = - 6$

Solution 21解答 21

$\ln (e^{- 0.8648}) = - 0.8648$

Solution 23解答 23

Solution 25解答 25

Domain: $x > - 5;$ Vertical asymptote: $x = - 5;$ End behavior: as $x \to - 5^{+}, f (x) \to - \infty$ and as $x \to \infty, f (x) \to \infty .$

定義域: $x > - 5;$ 。垂直漸近線: $x = - 5;$ 。端のふるまい: $x \to - 5^{+}, f (x) \to - \infty$ となり、 $x \to \infty, f (x) \to \infty$ となる。

Solution 27解答 27

${log}_{8} (65 x y)$

Solution 29解答 29

$\ln (\frac{z}{x y})$

Solution 31解答 31

${log}_{y} (12)$

Solution 33解答 33

$\ln (2) + \ln (b) + \frac{\ln (b + 1) - \ln (b - 1)}{2}$

Solution 35解答 35

$\log_{7} (\frac{v^{3} w^{6}}{\sqrt[3]{u}})$

Solution 37解答 37

$x = \frac{\frac{\log (125)}{\log (5)} + 17}{12} = \frac{5}{3}$

Solution 39解答 39

$x = - 3$

Solution 41解答 41

no solution

解なし

Solution 43解答 43

no solution

解なし

Solution 45解答 45

$x = \ln (11)$

Solution 47解答 47

$a = e^{4} - 3$

Solution 49解答 49

$x = \pm \frac{9}{5}$

Solution 51解答 51

about $5.45$ years

およそ $5.45$ 年

Solution 53解答 53

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2^{4 x} - 1}$

Solution 55解答 55

$f (t) = 300 {(0.83)}^{t};$
$f (24) \approx 3.43 g$

Solution 57解答 57

about $45$ minutes

およそ $45$ 分

Solution 59解答 59

about $8.5$ days

およそ $8.5$ 日

Solution 61解答 61

exponential

指数

Solution 63解答 63

$y = 4 {(0.2)}^{x};$ $y = 4 e^{-1.609438 x}$

Solution 65解答 65

about $7.2$ days

およそ $7.2$ 日

Solution 67解答 67

logarithmic; $y = 16.68718 - 9.71860 \ln (x)$

対数。 $y = 16.68718 - 9.71860 \ln (x)$

Practice Test実力テスト

Solution 1解答 1

About 13 dolphins.

およそ13頭のイルカ。

Solution 3解答 3

$$ 1,947$

Solution 5解答 5

y-intercept: $(0, 5)$

y切片: $(0, 5)$

Graph of f(-x)=5(0.5)^-x in blue and f(x)=5(0.5)^x in orange.

Solution 7解答 7

${8.5}^{a} = 614.125$

Solution 9解答 9

$x = {(\frac{1}{7})}^{2} = \frac{1}{49}$

Solution 11解答 11

$\ln (0.716) \approx - 0.334$

Solution 13解答 13

Domain: $x < 3;$ Vertical asymptote: $x = 3;$ End behavior: $x \to 3^{-}, f (x) \to - \infty$ and $x \to - \infty, f (x) \to \infty$

定義域: $x < 3;$ 。垂直漸近線: $x = 3;$ 。端のふるまい: $x \to 3^{-}, f (x) \to - \infty$ と $x \to - \infty, f (x) \to \infty$ 。

Solution 15解答 15

$\log_{t} (12)$

Solution 17解答 17

$3 \ln (y) + 2 \ln (z) + \frac{\ln (x - 4)}{3}$

Solution 19解答 19

$x = \frac{\frac{\ln (1000)}{\ln (16)} + 5}{3} \approx 2.497$

Solution 21解答 21

$a = \frac{\ln (4) + 8}{10}$

Solution 23解答 23

no solution

解なし

Solution 25解答 25

$x = \ln (9)$

Solution 27解答 27

$x = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Solution 29解答 29

$f (t) = 112 e^{- .019792 t};$ half-life: about $35$ days

$f (t) = 112 e^{- .019792 t};$ 。半減期: およそ $35$ 日。

Solution 31解答 31

$T (t) = 36 e^{- 0.025131 t} + 35; T (60) \approx 43^{o} F$

Solution 33解答 33

logarithmic

対数

Solution 35解答 35

exponential; $y = 15.10062 {(1.24621)}^{x}$

指数。 $y = 15.10062 {(1.24621)}^{x}$

Solution 37解答 37

logistic; $y = \frac{18.41659}{1 + 7.54644 e^{- 0.68375 x}}$

ロジスティック。 $y = \frac{18.41659}{1 + 7.54644 e^{- 0.68375 x}}$