第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Finding the Domain of a Logarithmic Function対数関数の定義域を求める

Before working with graphs, we will take a look at the domain (the set of input values) for which the logarithmic function is defined.

グラフを扱う前に、対数関数が定義される定義域(入力値の集合)を見よう。

Recall that the exponential function is defined as $y = b^{x}$ for any real number $x$ and constant $b > 0,$ $b \neq 1,$ where

指数関数は、任意の実数 $x$ と定数 $b > 0$ 、 $b \neq 1$ について $y = b^{x}$ と定められたのを思い出そう。ここで、

• The domain of $y$ is $(- \infty, \infty) .$ • The range of $y$ is $(0, \infty) .$

・ $y$ の定義域は $(- \infty, \infty)$ である。・ $y$ の値域は $(0, \infty)$ である。

In the last section we learned that the logarithmic function $y = \log_{b} (x)$ is the inverse of the exponential function $y = b^{x} .$ So, as inverse functions:

前の節で、対数関数 $y = \log_{b} (x)$ が指数関数 $y = b^{x}$ の逆関数だと学んだ。よって、互いに逆関数なので次が成り立つ。

• The domain of $y = \log_{b} (x)$ is the range of $y = b^{x} :$ $(0, \infty) .$ • The range of $y = \log_{b} (x)$ is the domain of $y = b^{x} :$ $(- \infty, \infty) .$

・ $y = \log_{b} (x)$ の定義域は $y = b^{x} :$ の値域 $(0, \infty)$ である。・ $y = \log_{b} (x)$ の値域は $y = b^{x} :$ の定義域 $(- \infty, \infty)$ である。

Transformations of the parent function $y = \log_{b} (x)$ behave similarly to those of other functions. Just as with other parent functions, we can apply the four types of transformations—shifts, stretches, compressions, and reflections.

親関数 $y = \log_{b} (x)$ の変形は、ほかの関数のそれと同じようにふるまう。ほかの親関数と同じく、四つの種類の変形——移動、伸長、圧縮、折り返し——を当てはめられる。

In Graphs of Exponential Functions we saw that certain transformations can change the range of $y = b^{x} .$ Similarly, applying transformations to the parent function $y = \log_{b} (x)$ can change the domain. When finding the domain of a logarithmic function, therefore, it is important to remember that the domain consists only of positive real numbers. That is, the argument of the logarithmic function must be greater than zero.

「指数関数のグラフ」で、ある種の変形が $y = b^{x}$ の値域を変えうるのを見た。同じように、親関数 $y = \log_{b} (x)$ に変形を当てはめると定義域が変わりうる。したがって、対数関数の定義域を求めるときは、定義域が正の実数だけからなることを忘れないことが大切である。つまり、対数関数の真数は0より大きくなければならない。

For example, consider $f (x) = \log_{4} (2 x - 3) .$ This function is defined for any values of $x$ such that the argument, in this case $2 x - 3,$ is greater than zero. To find the domain, we set up an inequality and solve for $x :$

たとえば $f (x) = \log_{4} (2 x - 3)$ を考えよう。この関数は、真数(この場合は $2 x - 3$ )が0より大きくなる $x$ のどの値についても定義される。定義域を求めるには、不等式を立てて $x :$ について解く。

\begin{array}{l} 2 x - 3 > 0 & Show the argument greater than zero . \\ 2 x > 3 & Add 3 . \\ x > 1.5 \begin{matrix}  \end{matrix} & Divide by 2 . \end{array}

In interval notation, the domain of $f (x) = \log_{4} (2 x - 3)$ is $(1.5, \infty) .$

区間の記法では、 $f (x) = \log_{4} (2 x - 3)$ の定義域は $(1.5, \infty)$ である。

How To 手順

Given a logarithmic function, identify the domain.

対数関数が与えられたとき、その定義域を見分ける。

1. Set up an inequality showing the argument greater than zero.2. Solve for $x .$ 3. Write the domain in interval notation.

1. 真数が0より大きいという不等式を立てる。2. $x$ について解く。3. 定義域を区間の記法で書く。

Example 1例1

Identifying the Domain of a Logarithmic Shift対数を移したものの定義域を見分ける

What is the domain of $f (x) = \log_{2} (x + 3) ?$

$f (x) = \log_{2} (x + 3) ?$ の定義域は何か。

Solution 解答

The logarithmic function is defined only when the input is positive, so this function is defined when $x + 3 > 0.$ Solving this inequality,

対数関数は入力が正のときにしか定義されないので、この関数は $x + 3 > 0.$ のとき定義される。この不等式を解くと、次のようになる。

\begin{array}{l} x + 3 > 0 & The input must be positive . \\ x > - 3 \begin{matrix}  \end{matrix} & Subtract 3 . \end{array}

The domain of $f (x) = \log_{2} (x + 3)$ is $(- 3, \infty) .$

$f (x) = \log_{2} (x + 3)$ の定義域は $(- 3, \infty)$ である。

Try It #1やってみよう1

What is the domain of $f (x) = \log_{5} (x - 2) + 1 ?$

$f (x) = \log_{5} (x - 2) + 1 ?$ の定義域は何か。

Example 2例2

Identifying the Domain of a Logarithmic Shift and Reflection対数を移して折り返したものの定義域を見分ける

What is the domain of $f (x) = \log (5 - 2 x) ?$

$f (x) = \log (5 - 2 x) ?$ の定義域は何か。

Solution 解答

The logarithmic function is defined only when the input is positive, so this function is defined when $5 - 2 x > 0 .$ Solving this inequality,

対数関数は入力が正のときにしか定義されないので、この関数は $5 - 2 x > 0$ のとき定義される。この不等式を解くと、次のようになる。

\begin{array}{l} 5 - 2 x > 0 & The input must be positive . \\ - 2 x > - 5 & Subtract 5. \\ x < \frac{5}{2} \begin{matrix}  \end{matrix} & Divide by - 2 and switch the inequality . \end{array}

The domain of $f (x) = \log (5 - 2 x)$ is $(- \infty, \frac{5}{2}) .$

$f (x) = \log (5 - 2 x)$ の定義域は $(- \infty, \frac{5}{2})$ である。

Try It #2やってみよう2

What is the domain of $f (x) = \log (x - 5) + 2 ?$

$f (x) = \log (x - 5) + 2 ?$ の定義域は何か。