第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

In 2010, a major earthquake struck Haiti, destroying or damaging over 285,000 homes4. One year later, another, stronger earthquake devastated Honshu, Japan, destroying or damaging over 332,000 buildings,5 like those shown in Figure 1. Even though both caused substantial damage, the earthquake in 2011 was 100 times stronger than the earthquake in Haiti. How do we know? The magnitudes of earthquakes are measured on a scale known as the Richter Scale. The Haitian earthquake registered a 7.0 on the Richter Scale6 whereas the Japanese earthquake registered a 9.0.7

2010年、ハイチを大地震が襲い、285,000戸を超える家屋が壊れるか傷ついた。4 その1年後、さらに強い地震が日本の本州を破壊し、図1に示すような332,000棟を超える建物が壊れるか傷ついた。5 どちらも大きな被害をもたらしたが、2011年の地震はハイチの地震の100倍の強さだった。なぜそう分かるのか。地震の規模はリヒター尺度と呼ばれる尺度で測られる。ハイチの地震はリヒター尺度で7.0を記録し、6 日本の地震は9.0を記録した。7

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閲覧日：2013年3月4日。

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The Richter Scale is a base-ten logarithmic scale. In other words, an earthquake of magnitude 8 is not twice as great as an earthquake of magnitude 4. It is ${10}^{8-4}={10}^4=\mathrm{10,000}$ times as great! In this lesson, we will investigate the nature of the Richter Scale and the base-ten function upon which it depends.

リヒター尺度は底が10の対数の尺度である。言い換えれば、規模8の地震は規模4の地震の2倍の大きさではない。${10}^{8-4}={10}^4=\mathrm{10,000}$ 倍の大きさである。この節では、リヒター尺度の性質と、それが依る底10の関数を調べる。

In order to analyze the magnitude of earthquakes or compare the magnitudes of two different earthquakes, we need to be able to convert between logarithmic and exponential form. For example, suppose the amount of energy released from one earthquake were 500 times greater than the amount of energy released from another. We want to calculate the difference in magnitude. The equation that represents this problem is ${10}^x=500,$ where $x$ represents the difference in magnitudes on the Richter Scale. How would we solve for $x?$

地震の規模を調べたり、二つの違う地震の規模を比べたりするには、対数の形と指数の形を行き来できる必要がある。たとえば、ある地震が放ったエネルギーの量が、別の地震が放った量の500倍だったとしよう。規模の差を計算したい。この問題を表す式は ${10}^x=500$ である。ここで $x$ はリヒター尺度での規模の差を表す。$x?$ についてどう解けばよいか。

We have not yet learned a method for solving exponential equations. None of the algebraic tools discussed so far is sufficient to solve ${10}^x=500.$ We know that ${10}^2=100$ and ${10}^3=1000,$ so it is clear that $x$ must be some value between 2 and 3, since $y={10}^x$ is increasing. We can examine a graph, as in Figure 2, to better estimate the solution.

指数の方程式を解く方法はまだ学んでいない。ここまでに論じた代数の道具のどれも、${10}^x=500.$ を解くには足りない。${10}^2=100$ と ${10}^3=1000$ は分かっており、$y={10}^x$ は増加するので、$x$ が2と3のあいだのどこかの値であるのは明らかである。図2のようにグラフを調べれば、解をもっとよく見積もれる。

Estimating from a graph, however, is imprecise. To find an algebraic solution, we must introduce a new function. Observe that the graph in Figure 2 passes the horizontal line test. The exponential function $y=b^x$ is one-to-one, so its inverse, $x=b^y$ is also a function. As is the case with all inverse functions, we simply interchange $x$ and $y$ and solve for $y$ to find the inverse function. To represent $y$ as a function of $x,$ we use a logarithmic function of the form $y={\log }_b\left(x\right).$ The base $b$ logarithm of a number is the exponent by which we must raise $b$ to get that number.

だがグラフからの見積もりは精しくない。代数的な解を求めるには、新しい関数を導入しなければならない。図2のグラフが横の直線の判定に通ることに注目しよう。指数関数 $y=b^x$ は一対一なので、その逆 $x=b^y$ もまた関数である。すべての逆関数と同じく、$x$ と $y$ を入れ替えて $y$ について解けば逆関数が求まる。$y$ を $x$ の関数として表すには、$y={\log }_b\left(x\right)$ の形の対数関数を使う。ある数の底 $b$ の対数とは、その数を得るために $b$ を累乗しなければならない指数のことである。

We read a logarithmic expression as, “The logarithm with base $b$ of $x$ is equal to $y,$ ” or, simplified, “log base $b$ of $x$ is $y.$ ” We can also say, “ $b$ raised to the power of $y$ is $x,$ ” because logs are exponents. For example, the base 2 logarithm of 32 is 5, because 5 is the exponent we must apply to 2 to get 32. Since $2^5=32,$ we can write ${\log }_{2}32=5.$ We read this as “log base 2 of 32 is 5.”

対数の式は「$x$ の底 $b$ の対数は $y$ に等しい」、あるいは縮めて「$x$ の log 底 $b$ は $y$」と読む。対数は指数なので、「$b$ を $y$ 乗すると $x$」とも言える。たとえば32の底2の対数は5である。32を得るために2に当てなければならない指数が5だからである。$2^5=32$ なので ${\log }_{2}32=5.$ と書ける。これを「32の log 底2は5」と読む。

We can express the relationship between logarithmic form and its corresponding exponential form as follows:

対数の形と、それに対応する指数の形の関係は、次のように表せる。

Note that the base $b$ is always positive.

底 $b$ はつねに正であることに注意せよ。

Because logarithm is a function, it is most correctly written as ${\log }_b(x),$ using parentheses to denote function evaluation, just as we would with $f(x).$ However, when the input is a single variable or number, it is common to see the parentheses dropped and the expression written without parentheses, as ${\log }_{b}x.$ Note that many calculators require parentheses around the $x.$

対数は関数なので、$f(x)$ と同じように、関数の値を求めることを示す括弧を使って ${\log }_b(x)$ と書くのが最も正しい。だが入力が変数一つや数一つのときは、括弧を落として ${\log }_{b}x$ のように括弧無しで書かれるのがふつうである。多くの電卓は $x$ を括弧で囲むことを求めるので注意せよ。

We can illustrate the notation of logarithms as follows:

対数の記法は次のように図示できる。

Notice that, comparing the logarithm function and the exponential function, the input and the output are switched. This means $y={\log }_b\left(x\right)$ and $y=b^x$ are inverse functions.

対数関数と指数関数を比べると、入力と出力が入れ替わっているのに注目しよう。つまり $y={\log }_b\left(x\right)$ と $y=b^x$ は互いに逆関数である。

To convert from exponents to logarithms, we follow the same steps in reverse. We identify the base $b,$ exponent $x,$ and output $y.$ Then we write $x={\log }_b\left(y\right).$

指数から対数に直すには、同じ手順を逆にたどる。底 $b$、指数 $x$、出力 $y$ を見分ける。そして $x={\log }_b\left(y\right)$ と書く。

Knowing the squares, cubes, and roots of numbers allows us to evaluate many logarithms mentally. For example, consider ${\log }_{2}8.$ We ask, “To what exponent must $2$ be raised in order to get 8?” Because we already know $2^3=8,$ it follows that ${\log }_{2}8=3.$

数の2乗、3乗、根を知っていれば、多くの対数を暗算で求められる。たとえば ${\log }_{2}8.$ を考えよう。「8を得るには $2$ を何乗しなければならないか」と問う。$2^3=8$ はすでに知っているので、${\log }_{2}8=3.$ となる。

Now consider solving ${\log }_{7}49$ and ${\log }_{3}27$ mentally.

次に ${\log }_{7}49$ と ${\log }_{3}27$ を暗算で解くことを考えよう。

• We ask, “To what exponent must 7 be raised in order to get 49?” We know $7^2=49.$ Therefore, ${\log }_{7}49=2$• We ask, “To what exponent must 3 be raised in order to get 27?” We know $3^3=27.$ Therefore, ${\log }_{3}27=3$

・「49を得るには7を何乗しなければならないか」と問う。$7^2=49.$ と分かっている。したがって ${\log }_{7}49=2$ である。・「27を得るには3を何乗しなければならないか」と問う。$3^3=27.$ と分かっている。したがって ${\log }_{3}27=3$ である。

Even some seemingly more complicated logarithms can be evaluated without a calculator. For example, let’s evaluate ${\log }_{\frac{2}{3}}\frac{4}{9}$ mentally.

一見もっと込み入って見える対数でさえ、電卓を使わずに求められることがある。たとえば ${\log }_{\frac{2}{3}}\frac{4}{9}$ を暗算で求めよう。

• We ask, “To what exponent must $\frac{2}{3}$ be raised in order to get $\frac{4}{9}?$ ” We know $2^2=4$ and $3^2=9,$ so ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}.$ Therefore, ${\log }_{\frac{2}{3}}\left(\frac{4}{9}\right)=2.$

・「$\frac{4}{9}?$ を得るには $\frac{2}{3}$ を何乗しなければならないか」と問う。$2^2=4$ と $3^2=9$ が分かっているので ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ である。したがって ${\log }_{\frac{2}{3}}\left(\frac{4}{9}\right)=2.$ である。

Sometimes you may see a logarithm written without a base. When you see one written this way, you need to look at the expression before evaluating it. It may be that the base you use doesn't matter. If you find it in computer science, it often means ${\log }_2(x)$. However, in mathematics it almost always means the common logarithm of 10. In other words, the expression $\log (x)$ often means ${\log }_{10}(x).$

底を書かない対数を見かけることがある。そう書かれたものを見たら、値を求める前にその式を見る必要がある。使う底が何であれ関係ないこともある。計算機科学で見かけるなら、しばしば ${\log }_2(x)$ を意味する。だが数学では、ほとんどつねに底10の常用対数を意味する。言い換えれば、式 $\log (x)$ はしばしば ${\log }_{10}(x)$ を意味する。

Currently, we use ${\log }_b\left(x\right),\lg \left(x\right)$ as the common logarithm, $\mathrm{lb}\left(x\right)$ as the binary logarithm, and $\ln \left(x\right)$ as the natural logarithm. Writing $\lg \left(x\right)$ without specifying a base is now considered bad form, despite being frequently found in older materials.

今日では、常用対数に ${\log }_b\left(x\right),\lg \left(x\right)$、二進対数に $\mathrm{lb}\left(x\right)$、自然対数に $\ln \left(x\right)$ を使う。底を明記せずに $\lg \left(x\right)$ と書くのは、古い資料にはよく見られるが、今では良くない書き方とされる。

The most frequently used base for logarithms is $e,$ the value of which is approximately $2.71828$. Base $e$ logarithms are important in calculus and some scientific applications; they are called natural logarithms. The base $e$ logarithm, ${\log }_e\left(x\right),$ has its own notation, $\ln (x).$

対数の底として最も頻繁に使われるのは $e$ で、その値はおよそ $2.71828$ である。底 $e$ の対数は微積分といくつかの科学の応用で大切であり、自然対数と呼ばれる。底 $e$ の対数 ${\log }_e\left(x\right)$ にはそれ自身の記法 $\ln (x)$ がある。

Most values of $\ln \left(x\right)$ can be found only using a calculator. The major exception is that, because the logarithm of 1 is always 0 in any base, $\ln 1=0.$ For other natural logarithms, we can use the $\ln$ key that can be found on most scientific calculators. We can also find the natural logarithm of any power of $e$ using the inverse property of logarithms.

$\ln \left(x\right)$ の値はほとんど、電卓を使わなければ求められない。大きな例外は、どの底でも1の対数はつねに0なので $\ln 1=0.$ となることである。ほかの自然対数には、ほとんどの関数電卓にある $\ln$ キーが使える。対数の逆の性質を使えば、$e$ のどの累乗の自然対数も求められる。