第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Transformations of exponential graphs behave similarly to those of other functions. Just as with other parent functions, we can apply the four types of transformations—shifts, reflections, stretches, and compressions—to the parent function $f(x)=b^x$ without loss of shape. For instance, just as the quadratic function maintains its parabolic shape when shifted, reflected, stretched, or compressed, the exponential function also maintains its general shape regardless of the transformations applied.

指数のグラフの変形は、ほかの関数のそれと同じようにふるまう。ほかの親関数と同じく、四つの種類の変形——移動、折り返し、伸長、圧縮——を、形を崩さずに親関数 $f(x)=b^x$ に当てはめられる。たとえば、二次関数が移動・折り返し・伸長・圧縮されても放物線の形を保つのと同じく、指数関数もどんな変形を当てはめてもその全体の形を保つ。

The first transformation occurs when we add a constant $d$ to the parent function $f(x)=b^x,$ giving us a vertical shift $d$ units in the same direction as the sign. For example, if we begin by graphing a parent function, $f(x)=2^x,$ we can then graph two vertical shifts alongside it, using $d=3:$ the upward shift, $g(x)=2^x+3$ and the downward shift, $h(x)=2^x-3.$ Both vertical shifts are shown in Figure 5.

一つ目の変形は、親関数 $f(x)=b^x$ に定数 $d$ を足したときに起こり、符号と同じ向きに $d$ 単位の縦の移動になる。たとえば、まず親関数 $f(x)=2^x$ のグラフを描き、その隣に二つの縦の移動のグラフを描ける。$d=3:$ を使って上への移動 $g(x)=2^x+3$ を、そして下への移動 $h(x)=2^x-3.$ を描く。二つの縦の移動を図5に示す。

Observe the results of shifting $f(x)=2^x$ vertically:

$f(x)=2^x$ を縦に移した結果を見よう。

• The domain, $\left(-\infty ,\infty \right)$ remains unchanged.• When the function is shifted up $3$ units to $g(x)=2^x+3:$ The y-intercept shifts up $3$ units to $\left(0,4\right).$ The asymptote shifts up $3$ units to $y=3.$ The range becomes $\left(3,\infty \right).$• When the function is shifted down $3$ units to $h(x)=2^x-3:$ The y-intercept shifts down $3$ units to $\left(0,-2\right).$ The asymptote also shifts down $3$ units to $y=-3.$ The range becomes $\left(-3,\infty \right).$

・定義域 $\left(-\infty ,\infty \right)$ は変わらない。・この関数を上に $3$ 単位移して $g(x)=2^x+3:$ にすると、y切片は上に $3$ 単位移って $\left(0,4\right)$ になる。漸近線は上に $3$ 単位移って $y=3.$ になる。値域は $\left(3,\infty \right)$ になる。・この関数を下に $3$ 単位移して $h(x)=2^x-3:$ にすると、y切片は下に $3$ 単位移って $\left(0,-2\right)$ になる。漸近線も下に $3$ 単位移って $y=-3.$ になる。値域は $\left(-3,\infty \right)$ になる。

The next transformation occurs when we add a constant $c$ to the input of the parent function $f(x)=b^x,$ giving us a horizontal shift $c$ units in the opposite direction of the sign. For example, if we begin by graphing the parent function $f(x)=2^x,$ we can then graph two horizontal shifts alongside it, using $c=3:$ the shift left, $g(x)=2^{x+3},$ and the shift right, $h(x)=2^{x-3}.$ Both horizontal shifts are shown in Figure 6.

次の変形は、親関数 $f(x)=b^x$ の入力に定数 $c$ を足したときに起こり、符号と逆の向きに $c$ 単位の横の移動になる。たとえば、まず親関数 $f(x)=2^x$ のグラフを描き、その隣に二つの横の移動のグラフを描ける。$c=3:$ を使って左への移動 $g(x)=2^{x+3}$ を、そして右への移動 $h(x)=2^{x-3}$ を描く。二つの横の移動を図6に示す。

Observe the results of shifting $f(x)=2^x$ horizontally:

$f(x)=2^x$ を横に移した結果を見よう。

• The domain, $\left(-\infty ,\infty \right),$ remains unchanged.• The asymptote, $y=0,$ remains unchanged.• The y-intercept shifts such that: When the function is shifted left $3$ units to $g(x)=2^{x+3},$ the y-intercept becomes $\left(0,8\right).$ This is because $2^{x+3}=\left(8\right)2^x,$ so the initial value of the function is $8.$ When the function is shifted right $3$ units to $h(x)=2^{x-3},$ the y-intercept becomes $\left(0,\frac{1}{8}\right).$ Again, see that $2^{x-3}=\left(\frac{1}{8}\right)2^x,$ so the initial value of the function is $\frac{1}{8}.$

・定義域 $\left(-\infty ,\infty \right)$ は変わらない。・漸近線 $y=0$ は変わらない。・y切片は次のように移る。この関数を左に $3$ 単位移して $g(x)=2^{x+3}$ にすると、y切片は $\left(0,8\right)$ になる。これは $2^{x+3}=\left(8\right)2^x$ なので、この関数の初期値が $8.$ になるからである。この関数を右に $3$ 単位移して $h(x)=2^{x-3}$ にすると、y切片は $\left(0,\frac{1}{8}\right)$ になる。ここでも $2^{x-3}=\left(\frac{1}{8}\right)2^x$ なので、この関数の初期値は $\frac{1}{8}$ である。

While horizontal and vertical shifts involve adding constants to the input or to the function itself, a stretch or compression occurs when we multiply the parent function $f(x)=b^x$ by a constant $\left|a\right|>0.$ For example, if we begin by graphing the parent function $f(x)=2^x,$ we can then graph the stretch, using $a=3,$ to get $g(x)=3{\left(2\right)}^x$ as shown on the left in Figure 8, and the compression, using $a=\frac{1}{3},$ to get $h(x)=\frac{1}{3}{\left(2\right)}^x$ as shown on the right in Figure 8.

横と縦の移動が入力や関数そのものに定数を足すのに対し、伸長や圧縮は親関数 $f(x)=b^x$ に定数 $\left|a\right|>0.$ を掛けたときに起こる。たとえば、まず親関数 $f(x)=2^x$ のグラフを描き、次に $a=3$ を使って伸長 $g(x)=3{\left(2\right)}^x$ のグラフを描ける。これは図8の左に示す。$a=\frac{1}{3}$ を使った圧縮 $h(x)=\frac{1}{3}{\left(2\right)}^x$ は図8の右に示す。

In addition to shifting, compressing, and stretching a graph, we can also reflect it about the x-axis or the y-axis. When we multiply the parent function $f(x)=b^x$ by $\mathrm{-1},$ we get a reflection about the x-axis. When we multiply the input by $\mathrm{-1},$ we get a reflection about the y-axis. For example, if we begin by graphing the parent function $f(x)=2^x,$ we can then graph the two reflections alongside it. The reflection about the x-axis, $g(x)={\mathrm{-2}}^x,$ is shown on the left side of Figure 10, and the reflection about the y-axis $h(x)=2^{-x},$ is shown on the right side of Figure 10.

グラフを移し、縮め、伸ばすほかに、x軸や y軸に関して折り返すこともできる。親関数 $f(x)=b^x$ に $\mathrm{-1}$ を掛けると、x軸に関する折り返しになる。入力に $\mathrm{-1}$ を掛けると、y軸に関する折り返しになる。たとえば、まず親関数 $f(x)=2^x$ のグラフを描き、その隣に二つの折り返しのグラフを描ける。x軸に関する折り返し $g(x)={\mathrm{-2}}^x$ を図10の左に、y軸に関する折り返し $h(x)=2^{-x}$ を図10の右に示す。

Now that we have worked with each type of translation for the exponential function, we can summarize them in Table 6 to arrive at the general equation for translating exponential functions.

指数関数の平行移動の種類をひととおり扱ったので、表6にまとめて、指数関数を平行移動する一般の式にたどりつこう。