第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Investigating Continuous Growth連続の増加を調べる

So far we have worked with rational bases for exponential functions. For most real-world phenomena, however, e is used as the base for exponential functions. Exponential models that use $e$ as the base are called continuous growth or decay models. We see these models in finance, computer science, and most of the sciences, such as physics, toxicology, and fluid dynamics.

ここまでは指数関数の底として有理数を扱ってきた。だが現実の現象のほとんどでは、指数関数の底として e を使う。 $e$ を底とする指数のモデルを、連続の増加または連続の減少のモデルと呼ぶ。このモデルは、金融、計算機科学、そして物理学・毒性学・流体力学など科学のほとんどの分野で見られる。

The Continuous Growth/Decay Formula 連続的な指数増加・減少の公式

For all real numbers $t,$ and all positive numbers $a$ and $r,$ continuous growth or decay is represented by the formula

すべての実数 $t$ と、すべての正の数 $a$ と $r$ について、連続の増加または減少は次の公式で表される。

A (t) = a e^{r t}

where

ここで

• $a$ is the initial value,• $r$ is the continuous growth rate per unit time,• and $t$ is the elapsed time.

・ $a$ は初期値、・ $r$ は単位時間あたりの連続の増加の割合、・ $t$ は経った時間である。

If $r > 0$ , then the formula represents continuous growth. If $r < 0$ , then the formula represents continuous decay.

$r > 0$ なら、この公式は連続の増加を表す。 $r < 0$ なら、この公式は連続の減少を表す。

For business applications, the continuous growth formula is called the continuous compounding formula and takes the form

商いへの応用では、連続の増加の公式は連続複利の公式と呼ばれ、次の形をとる。

A (t) = P e^{r t}

where

ここで

• $P$ is the principal or the initial invested,• $r$ is the growth or interest rate per unit time,• and $t$ is the period or term of the investment.

・ $P$ は元金、すなわち初めに投じた額、・ $r$ は単位時間あたりの増加の割合すなわち利率、・ $t$ は投資の期間である。

How To 手順

Given the initial value, rate of growth or decay, and time $t,$ solve a continuous growth or decay function.

初期値、増加または減少の割合、時間 $t$ が与えられたとき、連続の増加または減少の関数を解く。

1. Use the information in the problem to determine $a$ , the initial value of the function.2. Use the information in the problem to determine the growth rate $r .$ If the problem refers to continuous growth, then $r > 0.$ If the problem refers to continuous decay, then $r < 0.$ 3. Use the information in the problem to determine the time $t .$ 4. Substitute the given information into the continuous growth formula and solve for $A (t) .$

1. 問題の情報を使って、この関数の初期値 $a$ を決める。2. 問題の情報を使って、増加の割合 $r$ を決める。問題が連続の増加を指すなら $r > 0.$ 、連続の減少を指すなら $r < 0.$ である。3. 問題の情報を使って、時間 $t$ を決める。4. 与えられた情報を連続の増加の公式に代入して、 $A (t)$ について解く。

Example 11例11

Calculating Continuous Growth連続の増加を計算する

A person invested $1,000 in an account earning a nominal 10% per year compounded continuously. How much was in the account at the end of one year?

ある人が、名目で年10%が連続複利でつく口座に1,000ドルを投資した。1年の終わりに、この口座にはいくらあったか。

Solution 解答

Since the account is growing in value, this is a continuous compounding problem with growth rate $r = 0.10.$ The initial investment was $1,000, so $P = 1000.$ We use the continuous compounding formula to find the value after $t = 1$ year:

口座の値は増えているので、これは増加の割合 $r = 0.10.$ の連続複利の問題である。初めの投資は1,000ドルだったので $P = 1000.$ である。連続複利の公式を使って、 $t = 1$ 年後の値を求める。

\begin{array}{l} A (t) & = P e^{r t} & Use the continuous compounding formula . \\ = 1000 {(e)}^{0.1} \begin{matrix}  \end{matrix} & Substitute known values for P, r, and t . \\ \approx 1105.17 & Use a calculator to approximate . \end{array}

The account is worth $1,105.17 after one year.

この口座は1年後に1,105.17ドルになる。

Try It #11やってみよう11

A person invests $100,000 at a nominal 12% interest per year compounded continuously. What will be the value of the investment in 30 years?

ある人が、名目で年12%の利子が連続複利でつく口座に100,000ドルを投資する。30年後、この投資の値はいくらになるか。

Example 12例12

Calculating Continuous Decay連続の減少を計算する

Radon-222 decays at a continuous rate of 17.3% per day. How much will 100 mg of Radon-222 decay to in 3 days?

ラドン222は1日あたり17.3%の連続の割合で減る。ラドン222が100mgあるとき、3日でどれだけに減るか。

Solution 解答

Since the substance is decaying, the rate, $17.3 %$ , is negative. So, $r = - 0.173.$ The initial amount of radon-222 was $100$ mg, so $a = 100.$ We use the continuous decay formula to find the value after $t = 3$ days:

この物質は減っているので、割合 $17.3 %$ は負である。よって $r = - 0.173.$ である。初めのラドン222の量は $100$ mgだったので $a = 100.$ である。連続の減少の公式を使って、 $t = 3$ 日後の値を求める。

\begin{array}{l} A (t) & = a e^{r t} & Use the continuous growth formula . \\ = 100 e^{- 0.173 (3)} \begin{matrix}  \end{matrix} & Substitute known values for a, r, and t . \\ \approx 59.5115 & Use a calculator to approximate . \end{array}

So 59.5115 mg of radon-222 will remain.

よってラドン222は59.5115mg残る。

Try It #12やってみよう12

Using the data in Example 12, how much radon-222 will remain after one year?

例12の資料を使って、1年後にラドン222がどれだけ残るかを求めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with exponential functions.

指数関数についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Exponential Growth Function• Compound Interest

・指数的な増加の関数・複利

Verbal言葉で答える問題

1. Explain why the values of an increasing exponential function will eventually overtake the values of an increasing linear function.

1. 増加する指数関数の値が、いずれ増加する一次関数の値を追い越すのはなぜかを説明せよ。

2. Given a formula for an exponential function, is it possible to determine whether the function grows or decays exponentially just by looking at the formula? Explain.

2. 指数関数の式が与えられたとき、その式を見るだけで、その関数が指数的に増えるか減るかを決められるか。説明せよ。

3. The Oxford Dictionary defines the word nominal as a value that is “stated or expressed but not necessarily corresponding exactly to the real value.”3 Develop a reasonable argument for why the term nominal rate is used to describe the annual percentage rate of an investment account that compounds interest.

3. オックスフォード辞典は名目という語を「述べられている、あるいは表されているが、必ずしも実際の値とちょうど一致するとは限らない値」と定めている。3 利子が複利でつく投資口座の年利を述べるのに名目利率という言葉が使われるのはなぜか、理にかなった説明を組み立てよ。

Oxford Dictionary.

http://oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/nomina

Algebraic代数の問題

For the following exercises, identify whether the statement represents an exponential function. Explain.

次の各問について、その記述が指数関数を表すかどうかを見分けよ。説明せよ。

4. The average annual population increase of a pack of wolves is 25.

4. ある狼の群れの年ごとの平均の個体数の増加は25である。

5. A population of bacteria decreases by a factor of $\frac{1}{8}$ every $24$ hours.

5. ある細菌の個体数は $24$ 時間ごとに $\frac{1}{8}$ 分の1になる。

6. The value of a coin collection has increased by $3.25 %$ annually over the last $20$ years.

6. ある硬貨のコレクションの価値は、この $20$ 年で年に $3.25 %$ ずつ上がっている。

7. For each training session, a personal trainer charges his clients $$ 5$ less than the previous training session.

7. ある個人トレーナーは、指導1回ごとに、前回より $$ 5$ だけ安く客に請求する。

8. The height of a projectile at time $t$ is represented by the function $h (t) = - 4.9 t^{2} + 18 t + 40.$

8. 時刻 $t$ における投射体の高さは、関数 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 18 t + 40.$ で表される。

For the following exercises, consider this scenario: For each year $t,$ the population of a forest of trees is represented by the function $A (t) = 115 {(1.025)}^{t} .$ In a neighboring forest, the population of the same type of tree is represented by the function $B (t) = 82 {(1.029)}^{t} .$ (Round answers to the nearest whole number.)

次の各問では、次の筋書きを考えよ。各年 $t$ について、ある森の木の本数は関数 $A (t) = 115 {(1.025)}^{t}$ で表される。隣の森では、同じ種類の木の本数が関数 $B (t) = 82 {(1.029)}^{t}$ で表される。(答えは整数に丸めよ。)

9. Which forest’s population is growing at a faster rate?

9. どちらの森の本数のほうが速く増えているか。

10. Which forest had a greater number of trees initially? By how many?

10. 初めに木の本数が多かったのはどちらの森か。何本多いか。

11. Assuming the population growth models continue to represent the growth of the forests, which forest will have a greater number of trees after $20$ years? By how many?

11. この個体数の増加のモデルが森の成長を表し続けるとして、 $20$ 年後に木の本数が多いのはどちらの森か。何本多いか。

12. Assuming the population growth models continue to represent the growth of the forests, which forest will have a greater number of trees after $100$ years? By how many?

12. この個体数の増加のモデルが森の成長を表し続けるとして、 $100$ 年後に木の本数が多いのはどちらの森か。何本多いか。

13. Discuss the above results from the previous four exercises. Assuming the population growth models continue to represent the growth of the forests, which forest will have the greater number of trees in the long run? Why? What are some factors that might influence the long-term validity of the exponential growth model?

13. 前の四問の結果について論じよ。この個体数の増加のモデルが森の成長を表し続けるとして、長い目で見て木の本数が多いのはどちらの森か。それはなぜか。指数的な増加のモデルが長い目で見て通用するかどうかに関わる要因を、いくつか挙げよ。

For the following exercises, determine whether the equation represents exponential growth, exponential decay, or neither. Explain.

次の各問について、その式が指数的な増加を表すか、指数的な減少を表すか、どちらでもないかを判定せよ。説明せよ。

14. $y = 300 {(1 - t)}^{5}$

15. $y = 220 {(1.06)}^{x}$

16. $y = 16.5 {(1.025)}^{\frac{1}{x}}$

17. $y = 11, 701 {(0.97)}^{t}$

For the following exercises, find the formula for an exponential function that passes through the two points given.

次の各問について、与えられた二点を通る指数関数の式を求めよ。

18. $(0, 6)$ and $(3, 750)$

18. $(0, 6)$ と $(3, 750)$

19. $(0, 2000)$ and $(2, 20)$

19. $(0, 2000)$ と $(2, 20)$

20. $(- 1, \frac{3}{2})$ and $(3, 24)$

20. $(- 1, \frac{3}{2})$ と $(3, 24)$

21. $(- 2, 6)$ and $(3, 1)$

21. $(- 2, 6)$ と $(3, 1)$

22. $(3, 1)$ and $(5, 4)$

22. $(3, 1)$ と $(5, 4)$

For the following exercises, determine whether the table could represent a function that is linear, exponential, or neither. If it appears to be exponential, find a function that passes through the points.

次の各問について、その表が一次関数を表しうるか、指数関数を表しうるか、どちらでもないかを判定せよ。指数関数に見えるなら、その点を通る関数を求めよ。

23.

$x$	1	2	3	4
$f (x)$	70	40	10	-20

24.

$x$	1	2	3	4
$h (x)$	70	49	34.3	24.01

25.

$x$	1	2	3	4
$m (x)$	80	61	42.9	25.61

26.

$x$	1	2	3	4
$f (x)$	10	20	40	80

27.

$x$	1	2	3	4
$g (x)$	-3.25	2	7.25	12.5

For the following exercises, use the compound interest formula, $A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} .$

次の各問では、複利の公式 $A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t}$ を使え。

28. After a certain number of years, the value of an investment account is represented by the equation $A = 10, 250 {(1 + \frac{0.04}{12})}^{120} .$ What is the value of the account?

28. ある年数の後、投資口座の値は式 $A = 10, 250 {(1 + \frac{0.04}{12})}^{120}$ で表される。この口座の値はいくらか。

29. What was the initial deposit made to the account in the previous exercise?

29. 前問の口座に初めに預けた額はいくらか。

30. How many years had the account from the previous exercise been accumulating interest?

30. 前問の口座は何年のあいだ利子を積み上げてきたか。

31. An account is opened with an initial deposit of $6,500 and earns $3.6 %$ interest compounded semi-annually. What will the account be worth in $20$ years?

31. 初めに6,500ドルを預けて口座を開き、年2回の複利で $3.6 %$ の利子がつく。 $20$ 年後、この口座はいくらになるか。

32. How much more would the account in the previous exercise have been worth if the interest were compounding weekly?

32. 前問の口座の利子が週ごとの複利だったら、いくら多くなっていたか。

33. Solve the compound interest formula for the principal, $P$ .

33. 複利の公式を元金 $P$ について解け。

34. Use the formula found in the previous exercise to calculate the initial deposit of an account that is worth $$ 14, 472.74$ after earning $5.5 %$ interest compounded monthly for $5$ years. (Round to the nearest dollar.)

34. 前問で求めた公式を使って、 $5$ 年のあいだ月ごとの複利で $5.5 %$ の利子がつき、 $$ 14, 472.74$ になった口座の初めの預金額を計算せよ。(ドル単位に丸めよ。)

35. How much more would the account in the previous two exercises be worth if it were earning interest for $5$ more years?

35. 前の二問の口座が、さらに $5$ 年のあいだ利子を得ていたら、いくら多くなっていたか。

36. Use properties of rational exponents to solve the compound interest formula for the interest rate, $r .$

36. 有理数の指数の性質を使って、複利の公式を利率 $r$ について解け。

37. Use the formula found in the previous exercise to calculate the interest rate for an account that was compounded semi-annually, had an initial deposit of $9,000 and was worth $13,373.53 after 10 years.

37. 前問で求めた公式を使って、年2回の複利で、初めの預金が9,000ドル、10年後に13,373.53ドルになった口座の利率を計算せよ。

38. Use the formula found in the previous exercise to calculate the interest rate for an account that was compounded monthly, had an initial deposit of $5,500, and was worth $38,455 after 30 years.

38. 前問で求めた公式を使って、月ごとの複利で、初めの預金が5,500ドル、30年後に38,455ドルになった口座の利率を計算せよ。

For the following exercises, determine whether the equation represents continuous growth, continuous decay, or neither. Explain.

次の各問について、その式が連続の増加を表すか、連続の減少を表すか、どちらでもないかを判定せよ。説明せよ。

39. $y = 3742 {(e)}^{0.75 t}$

40. $y = 150 {(e)}^{\frac{3.25}{t}}$

41. $y = 2.25 {(e)}^{- 2 t}$

42. Suppose an investment account is opened with an initial deposit of $$ 12, 000$ earning $7.2 %$ interest compounded continuously. How much will the account be worth after $30$ years?

42. 初めに $$ 12, 000$ を預けて投資口座を開き、 $7.2 %$ の利子が連続複利でつくとする。 $30$ 年後、この口座はいくらになるか。

43. How much less would the account from Exercise 42 be worth after $30$ years if it were compounded monthly instead?

43. 問42の口座が代わりに月ごとの複利だったら、 $30$ 年後にいくら少なくなるか。

Numeric数値の問題

For the following exercises, evaluate each function. Round answers to four decimal places, if necessary.

次の各問について、各関数の値を求めよ。必要なら小数第四位まで丸めよ。

44. $f (x) = 2 {(5)}^{x},$ for $f (- 3)$

44. $f (- 3)$ のときの $f (x) = 2 {(5)}^{x}$

45. $f (x) = - 4^{2 x + 3},$ for $f (- 1)$

45. $f (- 1)$ のときの $f (x) = - 4^{2 x + 3}$

46. $f (x) = e^{x},$ for $f (3)$

46. $f (3)$ のときの $f (x) = e^{x}$

47. $f (x) = - 2 e^{x - 1},$ for $f (- 1)$

47. $f (- 1)$ のときの $f (x) = - 2 e^{x - 1}$

48. $f (x) = 2.7 {(4)}^{- x + 1} + 1.5,$ for $f (- 2)$

48. $f (- 2)$ のときの $f (x) = 2.7 {(4)}^{- x + 1} + 1.5$

49. $f (x) = 1.2 e^{2 x} - 0.3,$ for $f (3)$

49. $f (3)$ のときの $f (x) = 1.2 e^{2 x} - 0.3$

50. $f (x) = - \frac{3}{2} {(3)}^{- x} + \frac{3}{2},$ for $f (2)$

50. $f (2)$ のときの $f (x) = - \frac{3}{2} {(3)}^{- x} + \frac{3}{2}$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a graphing calculator to find the equation of an exponential function given the points on the curve.

次の各問について、曲線上の点が与えられたとき、グラフ電卓を使って指数関数の式を求めよ。

51. $(0, 3)$ and $(3, 375)$

51. $(0, 3)$ と $(3, 375)$

52. $(3, 222.62)$ and $(10, 77.456)$

52. $(3, 222.62)$ と $(10, 77.456)$

53. $(20, 29.495)$ and $(150, 730.89)$

53. $(20, 29.495)$ と $(150, 730.89)$

54. $(5, 2.909)$ and $(13, 0.005)$

54. $(5, 2.909)$ と $(13, 0.005)$

55. $(11,310.035)$ and $(25,356365.2)$

55. $(11,310.035)$ と $(25,356365.2)$

Extensions発展問題

56. The annual percentage yield (APY) of an investment account is a representation of the actual interest rate earned on a compounding account. It is based on a compounding period of one year. Show that the APY of an account that compounds monthly can be found with the formula $APY = {(1 + \frac{r}{12})}^{12} - 1.$

56. 投資口座の年利回り(APY)は、複利のつく口座で実際に得られる利率を表す。これは1年を複利の期間とする。月ごとに複利のつく口座の APY が、公式 $APY = {(1 + \frac{r}{12})}^{12} - 1.$ で求められることを示せ。

57. Repeat the previous exercise to find the formula for the APY of an account that compounds daily. Use the results from this and the previous exercise to develop a function $I (n)$ for the APY of any account that compounds $n$ times per year.

57. 前問と同じことをして、毎日複利のつく口座の APY の公式を求めよ。この問と前問の結果を使って、年に $n$ 回複利のつく任意の口座の APY を与える関数 $I (n)$ を組み立てよ。

58. Recall that an exponential function is any equation written in the form $f (x) = a \cdot b^{x}$ such that $a$ and $b$ are positive numbers and $b \neq 1.$ Any positive number $b$ can be written as $b = e^{n}$ for some value of $n$ . Use this fact to rewrite the formula for an exponential function that uses the number $e$ as a base.

58. 指数関数とは、 $a$ と $b$ が正の数で $b \neq 1.$ を満たす、 $f (x) = a \cdot b^{x}$ の形で書かれた式であることを思い出そう。どんな正の数 $b$ も、ある $n$ の値について $b = e^{n}$ と書ける。この事実を使って、数 $e$ を底とする指数関数の式に書き直せ。

59. In an exponential decay function, the base of the exponent is a value between 0 and 1. Thus, for some number $b > 1,$ the exponential decay function can be written as $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{b})}^{x} .$ Use this formula, along with the fact that $b = e^{n},$ to show that an exponential decay function takes the form $f (x) = a {(e)}^{- n x}$ for some positive number $n$ .

59. 指数的な減少の関数では、指数の底が0と1のあいだの値である。したがって、ある数 $b > 1$ について、指数的な減少の関数は $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{b})}^{x}$ と書ける。この式と $b = e^{n}$ という事実を使って、指数的な減少の関数が、ある正の数 $n$ について $f (x) = a {(e)}^{- n x}$ の形をとることを示せ。

60. The formula for the amount $A$ in an investment account with a nominal interest rate $r$ at any time $t$ is given by $A (t) = a {(e)}^{r t},$ where $a$ is the amount of principal initially deposited into an account that compounds continuously. Prove that the percentage of interest earned to principal at any time $t$ can be calculated with the formula $I (t) = e^{r t} - 1.$

60. 名目利率 $r$ の投資口座の、任意の時刻 $t$ における金額 $A$ の公式は $A (t) = a {(e)}^{r t}$ で与えられる。ここで $a$ は、連続複利のつく口座に初めに預けた元金である。任意の時刻 $t$ における元金に対する利子の割合が、公式 $I (t) = e^{r t} - 1.$ で計算できることを証明せよ。

Real-World Applications応用問題

61. The fox population in a certain region has an annual growth rate of 9% per year. In the year 2012, there were 23,900 fox counted in the area. What is the fox population predicted to be in the year 2020?

61. ある地域の狐の個体数は、年ごとに9%の割合で増えている。2012年、この地域で狐が23,900頭数えられた。2020年の狐の個体数はいくらと予測されるか。

62. A scientist begins with 100 milligrams of a radioactive substance that decays exponentially. After 35 hours, 50mg of the substance remains. How many milligrams will remain after 54 hours?

62. ある科学者が、指数的に減る放射性物質100ミリグラムから始める。35時間後、この物質は50mg残っている。54時間後には何ミリグラム残るか。

63. In the year 1985, a house was valued at $110,000. By the year 2005, the value had appreciated to $145,000. What was the annual growth rate between 1985 and 2005? Assume that the value continued to grow by the same percentage. What was the value of the house in the year 2010?

63. 1985年、ある家の価値は110,000ドルだった。2005年までに、その価値は145,000ドルに上がっていた。1985年から2005年までの年ごとの増加の割合はいくらか。その価値が同じ百分率で増え続けたとする。2010年のこの家の価値はいくらだったか。

64. A car was valued at $38,000 in the year 2007. By 2013, the value had depreciated to $11,000 If the car’s value continues to drop by the same percentage, what will it be worth by 2017?

64. ある車の価値は2007年に38,000ドルだった。2013年までに、その価値は11,000ドルに下がっていた。この車の価値が同じ百分率で下がり続けるなら、2017年にはいくらになるか。

65. Jaylen wants to save $54,000 for a down payment on a home. How much will he need to invest in an account with 8.2% APR, compounding daily, in order to reach his goal in 5 years?

65. Jaylen は家の頭金として54,000ドルを貯めたい。5年でこの目標に届くには、年利8.2%、毎日複利の口座にいくら投じる必要があるか。

66. Kyoko has $10,000 that she wants to invest. Her bank has several investment accounts to choose from, all compounding daily. Her goal is to have $15,000 by the time she finishes graduate school in 6 years. To the nearest hundredth of a percent, what should her minimum annual interest rate be in order to reach her goal? (Hint: solve the compound interest formula for the interest rate.)

66. Kyoko は投資したい10,000ドルを持っている。彼女の銀行には選べる投資口座がいくつかあり、どれも毎日複利がつく。目標は、6年後に大学院を終えるときまでに15,000ドルにすることである。この目標に届くには、年の利率を最低いくらにすればよいか。百分率で小数第二位まで求めよ。(ヒント: 複利の公式を利率について解け。)

67. Alyssa opened a retirement account with 7.25% APR in the year 2000. Her initial deposit was $13,500. How much will the account be worth in 2025 if interest compounds monthly? How much more would she make if interest compounded continuously?

67. Alyssa は2000年に年利7.25%の退職年金口座を開いた。初めの預金は13,500ドルだった。利子が月ごとの複利なら、2025年にこの口座はいくらになるか。連続複利なら、いくら多くなるか。

68. An investment account with an annual interest rate of 7% was opened with an initial deposit of $4,000 Compare the values of the account after 9 years when the interest is compounded annually, quarterly, monthly, and continuously.

68. 年の利率7%の投資口座を、初めに4,000ドルを預けて開いた。利子が年1回、四半期ごと、月ごと、連続でつくときの、9年後の口座の値を比べよ。