第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

As we saw earlier, the amount earned on an account increases as the compounding frequency increases. Table 5 shows that the increase from annual to semi-annual compounding is larger than the increase from monthly to daily compounding. This might lead us to ask whether this pattern will continue.

先ほど見たとおり、口座で得られる金額は複利の回数が増えるにつれて増える。表5から、年1回から年2回への増え方が、毎月から毎日への増え方より大きいと分かる。ここから、この傾向がこのまま続くのかを問いたくなるだろう。

Examine the value of $1 invested at 100% interest for 1 year, compounded at various frequencies, listed in Table 5.

表5に挙げた、1ドルを100%の利子で1年間、さまざまな回数の複利で投資したときの値を調べよ。

These values appear to be approaching a limit as $n$ increases without bound. In fact, as $n$ gets larger and larger, the expression ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ approaches a number used so frequently in mathematics that it has its own name: the letter $e.$ This value is an irrational number, which means that its decimal expansion goes on forever without repeating. Its approximation to six decimal places is shown below.

$n$ が限りなく大きくなるにつれて、これらの値はある極限に近づいていくように見える。実際、$n$ がどんどん大きくなると、式 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ はある数に近づく。この数は数学であまりに頻繁に使われるので、それ自身の名前を持っている。文字 $e$ である。この値は無理数であり、小数の展開が繰り返さずに永遠に続くということである。小数第六位までの近似を下に示す。