第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Finding Equations of Exponential Functions指数関数の式を求める

In the previous examples, we were given an exponential function, which we then evaluated for a given input. Sometimes we are given information about an exponential function without knowing the function explicitly. We must use the information to first write the form of the function, then determine the constants $a$ and $b,$ and evaluate the function.

これまでの例では指数関数が与えられ、それに与えられた入力を入れて値を求めた。指数関数がはっきり分からないまま、それについての情報だけが与えられることもある。その情報を使って、まず関数の形を書き、次に定数 $a$ と $b$ を決めて、関数の値を求めなければならない。

How To 手順

Given two data points, write an exponential model.

資料の点が二つ与えられたとき、指数のモデルを書く。

1. If one of the data points has the form $(0, a),$ then $a$ is the initial value. Using $a,$ substitute the second point into the equation $f (x) = a {(b)}^{x},$ and solve for $b .$ 2. If neither of the data points have the form $(0, a),$ substitute both points into two equations with the form $f (x) = a {(b)}^{x} .$ Solve the resulting system of two equations in two unknowns to find $a$ and $b .$ 3. Using the $a$ and $b$ found in the steps above, write the exponential function in the form $f (x) = a {(b)}^{x} .$

1. 資料の点の一方が $(0, a)$ の形なら、 $a$ が初期値である。 $a$ を使い、二つ目の点を式 $f (x) = a {(b)}^{x}$ に代入して $b$ について解く。2. どちらの点も $(0, a)$ の形でないなら、両方の点を $f (x) = a {(b)}^{x}$ の形の二つの式に代入する。できあがった二元二式の連立方程式を解いて、 $a$ と $b$ を求める。3. 上の手順で求めた $a$ と $b$ を使って、指数関数を $f (x) = a {(b)}^{x}$ の形で書く。

Example 4例4

Writing an Exponential Model When the Initial Value Is Known初期値が分かっているとき、指数のモデルを書く

In 2006, 80 deer were introduced into a wildlife refuge. By 2012, the population had grown to 180 deer. The population was growing exponentially. Write an exponential function $N (t)$ representing the population $(N)$ of deer over time $t .$

2006年、野生動物保護区に鹿が80頭放たれた。2012年までに、この個体数は180頭に増えていた。個体数は指数的に増えていた。時間 $t$ にわたる鹿の個体数 $(N)$ を表す指数関数 $N (t)$ を書け。

Solution 解答

We let our independent variable $t$ be the number of years after 2006. Thus, the information given in the problem can be written as input-output pairs: (0, 80) and (6, 180). Notice that by choosing our input variable to be measured as years after 2006, we have given ourselves the initial value for the function, $a = 80.$ We can now substitute the second point into the equation $N (t) = 80 b^{t}$ to find $b :$

独立変数 $t$ を2006年からの年数とする。すると、問題で与えられた情報は入力と出力の組 (0, 80) と (6, 180) として書ける。入力の変数を2006年からの年数で測ることにしたので、この関数の初期値 $a = 80.$ が自ずと得られていることに注目しよう。これで二つ目の点を式 $N (t) = 80 b^{t}$ に代入して $b :$ が求められる。

\begin{array}{l} N (t) & = 80 b^{t} \\ 180 & = 80 b^{6} & Substitute using point (6, 180) . \\ \frac{9}{4} & = b^{6} & Divide and write in lowest terms . \\ b & = {(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{6}} & Isolate b using properties of exponents . \\ b & \approx 1.1447 \begin{matrix}  \end{matrix} & Round to 4 decimal places . \end{array}

NOTE: Unless otherwise stated, do not round any intermediate calculations. Then round the final answer to four places for the remainder of this section.

注意: とくに断らない限り、途中の計算は丸めないこと。そしてこの節の残りでは、最後の答えを小数第四位まで丸めること。

The exponential model for the population of deer is $N (t) = 80 {(1.1447)}^{t} .$ (Note that this exponential function models short-term growth. As the inputs gets large, the output will get increasingly larger, so much so that the model may not be useful in the long term.)

鹿の個体数の指数のモデルは $N (t) = 80 {(1.1447)}^{t}$ である。(この指数関数は短い期間の増加のモデルであることに注意せよ。入力が大きくなると出力はますます大きくなり、長い目で見るとこのモデルは役に立たなくなりうるほどである。)

We can graph our model to observe the population growth of deer in the refuge over time. Notice that the graph in Figure 3 passes through the initial points given in the problem, $(0, 80)$ and $(6, 180) .$ We can also see that the domain for the function is $[0, \infty),$ and the range for the function is $[80, \infty) .$

このモデルのグラフを描けば、保護区の鹿の個体数が時間とともに増えるようすが見てとれる。図3のグラフが、問題で与えられた初めの点 $(0, 80)$ と $(6, 180)$ を通っていることに注目しよう。この関数の定義域が $[0, \infty)$ 、値域が $[80, \infty)$ であることも見てとれる。

Graph of the exponential function, N(t) = 80(1.1447)^t, with labeled points at (0, 80) and (6, 180). — Figure 3 Graph showing the population of deer over time, $N (t) = 80 {(1.1447)}^{t},$ $t$ years after 2006図3 2006年から $t$ 年後の鹿の個体数 $N (t) = 80 {(1.1447)}^{t}$ を時間とともに示したグラフ

Try It #4やってみよう4

A wolf population is growing exponentially. In 2011, $129$ wolves were counted. By $2013,$ the population had reached 236 wolves. What two points can be used to derive an exponential equation modeling this situation? Write the equation representing the population $N$ of wolves over time $t .$

狼の個体数が指数的に増えている。2011年には狼が $129$ 頭数えられた。 $2013,$ 年までに、個体数は236頭に達していた。この状況のモデルとなる指数の式を導くのに使える二つの点はどれか。時間 $t$ にわたる狼の個体数 $N$ を表す式を書け。

Example 5例5

Writing an Exponential Model When the Initial Value is Not Known初期値が分からないとき、指数のモデルを書く

Find an exponential function that passes through the points $(- 2, 6)$ and $(2, 1) .$

点 $(- 2, 6)$ と $(2, 1)$ を通る指数関数を求めよ。

Solution 解答

Because we don’t have the initial value, we substitute both points into an equation of the form $f (x) = a b^{x},$ and then solve the system for $a$ and $b .$

初期値が分からないので、両方の点を $f (x) = a b^{x}$ の形の式に代入し、その連立方程式を $a$ と $b$ について解く。

• Substituting $(- 2, 6)$ gives $6 = a b^{- 2}$ • Substituting $(2, 1)$ gives $1 = a b^{2}$

・ $(- 2, 6)$ を代入すると $6 = a b^{- 2}$ となる。・ $(2, 1)$ を代入すると $1 = a b^{2}$ となる。

Use the first equation to solve for $a$ in terms of $b :$

一つ目の式を使って、 $b :$ で $a$ について解く。

Mathematical steps showing how to solve for 'a' from the equation 6 = ab^-2, by dividing by b^-2 and then using exponent properties to simplify to a = 6b^2.

Substitute $a$ in the second equation, and solve for $b :$

$a$ を二つ目の式に代入し、 $b :$ について解く。

The image shows steps on how to substitute the expression found for a into a second equation to find the value of b.

Use the value of $b$ in the first equation to solve for the value of $a :$

$b$ の値を一つ目の式で使い、 $a :$ の値について解く。

A mathematical equation shows 'a = 6b^2 ≈ 6(0.6389)^2 ≈ 2.4492', demonstrating the calculation and approximation of the variable 'a' based on a given value of 'b'.

Thus, the equation is $f (x) = 2.4492 {(0.6389)}^{x} .$

したがって、式は $f (x) = 2.4492 {(0.6389)}^{x}$ である。

We can graph our model to check our work. Notice that the graph in Figure 4 passes through the initial points given in the problem, $(- 2, 6)$ and $(2, 1) .$ The graph is an example of an exponential decay function.

このモデルのグラフを描けば検算できる。図4のグラフが、問題で与えられた初めの点 $(- 2, 6)$ と $(2, 1)$ を通っていることに注目しよう。このグラフは指数的な減少の関数の一例である。

Graph of the exponential function, f(x)=2.4492(0.6389)^x, with labeled points at (-2, 6) and (2, 1). — Figure 4 The graph of $f (x) = 2.4492 {(0.6389)}^{x}$ models exponential decay.図4 $f (x) = 2.4492 {(0.6389)}^{x}$ のグラフは指数的な減少のモデルである。

Try It #5やってみよう5

Given the two points $(1, 3)$ and $(2, 4.5),$ find the equation of the exponential function that passes through these two points.

二つの点 $(1, 3)$ と $(2, 4.5)$ が与えられたとき、この二点を通る指数関数の式を求めよ。

Q&A 疑問と答え

Do two points always determine a unique exponential function?

二つの点は、つねに指数関数をただ一つに定めるか。

Yes, provided the two points are either both above the x-axis or both below the x-axis and have different x-coordinates. But keep in mind that we also need to know that the graph is, in fact, an exponential function. Not every graph that looks exponential really is exponential. We need to know the graph is based on a model that shows the same percent growth with each unit increase in $x,$ which in many real world cases involves time.

そうである。ただし、二つの点がどちらも x軸の上にあるか、どちらも x軸の下にあり、x座標が違う場合に限る。ただし、そのグラフが実際に指数関数であることも分かっている必要があるのを忘れないでほしい。指数関数に見えるグラフが、どれも本当に指数関数なわけではない。そのグラフが、 $x$ が1単位増えるごとに同じ百分率で増えるモデルにもとづいていると分かっている必要がある。現実の多くの場合、この $x$ は時間である。

How To 手順

Given the graph of an exponential function, write its equation.

指数関数のグラフが与えられたとき、その式を書く。

1. First, identify two points on the graph. Choose the y-intercept as one of the two points whenever possible. Try to choose points that are as far apart as possible to reduce round-off error.2. If one of the data points is the y-intercept $(0, a)$ , then $a$ is the initial value. Using $a,$ substitute the second point into the equation $f (x) = a {(b)}^{x},$ and solve for $b .$ 3. If neither of the data points have the form $(0, a),$ substitute both points into two equations with the form $f (x) = a {(b)}^{x} .$ Solve the resulting system of two equations in two unknowns to find $a$ and $b .$ 4. Write the exponential function, $f (x) = a {(b)}^{x} .$

1. まず、グラフ上の二つの点を見分ける。できるかぎり、二点のうち一つには y切片を選ぶ。丸めの誤差を減らすために、できるだけ離れた点を選ぶようにする。2. 資料の点の一方が y切片 $(0, a)$ なら、 $a$ が初期値である。 $a$ を使い、二つ目の点を式 $f (x) = a {(b)}^{x}$ に代入して $b$ について解く。3. どちらの点も $(0, a)$ の形でないなら、両方の点を $f (x) = a {(b)}^{x}$ の形の二つの式に代入する。できあがった二元二式の連立方程式を解いて、 $a$ と $b$ を求める。4. 指数関数 $f (x) = a {(b)}^{x}$ を書く。

Example 6例6

Writing an Exponential Function Given Its Graphグラフから指数関数を書く

Find an equation for the exponential function graphed in Figure 5.

図5にグラフを描いた指数関数の式を求めよ。

Graph of an increasing exponential function with notable points at (0, 3) and (2, 12).

Solution 解答

We can choose the y-intercept of the graph, $(0, 3),$ as our first point. This gives us the initial value, $a = 3.$ Next, choose a point on the curve some distance away from $(0, 3)$ that has integer coordinates. One such point is $(2, 12) .$

グラフの y切片 $(0, 3)$ を一つ目の点に選べる。これで初期値 $a = 3.$ が得られる。次に、 $(0, 3)$ からある程度離れた、座標が整数である曲線上の点を選ぶ。そうした点の一つが $(2, 12)$ である。

\begin{array}{l} y = a b^{x} & Write the general form of an exponential equation . \\ y = 3 b^{x} & Substitute the initial value 3 for a . \\ 12 = 3 b^{2} & Substitute in 12 for y and 2 for x . \\ 4 = b^{2} & Divide by 3 . \\ b = \pm 2 \begin{matrix}  \end{matrix} & Take the square root . \end{array}

Because we restrict ourselves to positive values of $b,$ we will use $b = 2.$ Substitute $a$ and $b$ into the standard form to yield the equation $f (x) = 3 {(2)}^{x} .$

$b$ の正の値に限っているので、 $b = 2.$ を使う。 $a$ と $b$ を標準の形に代入すると、式 $f (x) = 3 {(2)}^{x}$ が得られる。

Try It #6やってみよう6

Find an equation for the exponential function graphed in Figure 6.

図6にグラフを描いた指数関数の式を求めよ。

Graph of an increasing function with a labeled point at (0, sqrt(2)).

How To 手順

Given two points on the curve of an exponential function, use a graphing calculator to find the equation.

指数関数の曲線上の二点が与えられたとき、グラフ電卓を使ってその式を求める。

1. Press [STAT].2. Clear any existing entries in columns L1 or L2.3. In L1, enter the x-coordinates given.4. In L2, enter the corresponding y-coordinates.5. Press [STAT] again. Cursor right to CALC, scroll down to ExpReg (Exponential Regression), and press [ENTER].6. The screen displays the values of a and b in the exponential equation $y = a \cdot b^{x}$ .

1. [STAT] を押す。2. L1 列と L2 列にすでに入っている値を消す。3. L1 に、与えられた x座標を入れる。4. L2 に、対応する y座標を入れる。5. もう一度 [STAT] を押す。カーソルを右に動かして CALC に移り、ExpReg(指数回帰)まで下にたどって [ENTER] を押す。6. 画面に、指数の式 $y = a \cdot b^{x}$ の a と b の値が表示される。

Example 7例7

Using a Graphing Calculator to Find an Exponential Functionグラフ電卓を使って指数関数を求める

Use a graphing calculator to find the exponential equation that includes the points $(2, 24.8)$ and $(5, 198.4) .$

グラフ電卓を使って、点 $(2, 24.8)$ と $(5, 198.4)$ を含む指数の式を求めよ。

Solution 解答

Follow the guidelines above. First press [STAT], [EDIT], [1: Edit…], and clear the lists L1 and L2. Next, in the L1 column, enter the x-coordinates, 2 and 5. Do the same in the L2 column for the y-coordinates, 24.8 and 198.4.

上の手引きに従う。まず [STAT]、[EDIT]、[1: Edit…] を押し、リスト L1 と L2 を消す。次に L1 列に x座標2と5を入れる。L2 列にも同じように y座標24.8と198.4を入れる。

Now press [STAT], [CALC], [0: ExpReg] and press [ENTER]. The values $a = 6.2$ and $b = 2$ will be displayed. The exponential equation is $y = 6.2 \cdot 2^{x} .$

次に [STAT]、[CALC]、[0: ExpReg] を押し、[ENTER] を押す。値 $a = 6.2$ と $b = 2$ が表示される。指数の式は $y = 6.2 \cdot 2^{x}$ である。

Try It #7やってみよう7

Use a graphing calculator to find the exponential equation that includes the points (3, 75.98) and (6, 481.07).

グラフ電卓を使って、点 (3, 75.98) と (6, 481.07) を含む指数の式を求めよ。