第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

When exploring linear growth, we observed a constant rate of change—a constant number by which the output increased for each unit increase in input. For example, in the equation $f(x)=3x+4,$ the slope tells us the output increases by 3 each time the input increases by 1. The scenario in the India population example is different because we have a percent change per unit time (rather than a constant change) in the number of people.

一次の増加を調べたとき、変化の割合が一定であるのを見た。入力が1単位増えるごとに、出力が一定の数だけ増えるのである。たとえば式 $f(x)=3x+4$ では、傾きが、入力が1増えるたびに出力が3増えると教えている。インドの人口の例の筋書きは違う。人の数が、単位時間あたり(一定の変化ではなく)百分率で変わるからである。

A study found that the percent of the population who are vegans in the United States doubled from 2009 to 2011. In 2011, 2.5% of the population was vegan, adhering to a diet that does not include any animal products—no meat, poultry, fish, dairy, or eggs. If this rate continues, vegans will make up 10% of the U.S. population in 2015, 40% in 2019, and 80% in 2021.

ある研究によれば、アメリカ合衆国で完全菜食主義者が人口に占める割合は、2009年から2011年で2倍になった。2011年には人口の2.5%が完全菜食主義者で、肉・鶏肉・魚・乳製品・卵といった動物性の食品を一切含まない食生活を守っていた。この割合が続けば、完全菜食主義者は2015年にアメリカ合衆国の人口の10%、2019年に40%、2021年に80%を占めることになる。

What exactly does it mean to grow exponentially? What does the word double have in common with percent increase? People toss these words around errantly. Are these words used correctly? The words certainly appear frequently in the media.

指数的に増えるとは、正確にはどういうことか。2倍になるという言葉と、割合の増加に共通するものは何か。人はこうした言葉を当てずっぽうに投げつける。これらの言葉は正しく使われているだろうか。この言葉はたしかに報道によく現れる。

• Percent change refers to a change based on a percent of the original amount.• Exponential growth refers to an increase based on a constant multiplicative rate of change over equal increments of time, that is, a percent increase of the original amount over time.• Exponential decay refers to a decrease based on a constant multiplicative rate of change over equal increments of time, that is, a percent decrease of the original amount over time.

・割合の変化とは、元の量の百分率にもとづく変化のことである。・指数的な増加とは、等しい時間の刻みにわたって掛け算の変化の割合が一定である増加、つまり時間とともに元の量が百分率で増えていくことをいう。・指数的な減少とは、等しい時間の刻みにわたって掛け算の変化の割合が一定である減少、つまり時間とともに元の量が百分率で減っていくことをいう。

For us to gain a clear understanding of exponential growth, let us contrast exponential growth with linear growth. We will construct two functions. The first function is exponential. We will start with an input of 0, and increase each input by 1. We will double the corresponding consecutive outputs. The second function is linear. We will start with an input of 0, and increase each input by 1. We will add 2 to the corresponding consecutive outputs. See Table 1.

指数的な増加をはっきり理解するために、指数的な増加と一次の増加を対比しよう。二つの関数を作る。一つ目の関数は指数の関数である。入力0から始め、入力を1ずつ増やす。それに対応する出力は次々と2倍にする。二つ目の関数は一次関数である。入力0から始め、入力を1ずつ増やす。それに対応する出力には次々と2を足す。表1を見よ。

From Table 1 we can infer that for these two functions, exponential growth dwarfs linear growth.

表1から、この二つの関数について、指数的な増加が一次の増加を圧倒すると推し量れる。

• Exponential growth refers to the original value from the range increasing by the same percentage over equal increments found in the domain.• Linear growth refers to the original value from the range increasing by the same amount over equal increments found in the domain.

・指数的な増加とは、定義域の等しい刻みにわたって、値域の元の値が同じ百分率で増えることをいう。・一次の増加とは、定義域の等しい刻みにわたって、値域の元の値が同じ量だけ増えることをいう。

Apparently, the difference between “the same percentage” and “the same amount” is quite significant. For exponential growth, over equal increments, the constant multiplicative rate of change resulted in doubling the output whenever the input increased by one. For linear growth, the constant additive rate of change over equal increments resulted in adding 2 to the output whenever the input was increased by one.

「同じ百分率」と「同じ量」の違いは、どうやらかなり大きい。指数的な増加では、等しい刻みにわたって掛け算の変化の割合が一定なので、入力が1増えるたびに出力が2倍になった。一次の増加では、等しい刻みにわたって足し算の変化の割合が一定なので、入力が1増えるたびに出力に2が足された。

The general form of the exponential function is $f(x)=a{b}^x,$ where $a$ is any nonzero number, $b$ is a positive real number not equal to 1.

指数関数の一般形は $f(x)=a{b}^x$ である。ここで $a$ は0でない任意の数、$b$ は1に等しくない正の実数である。

• If $b>1,$ the function grows at a rate proportional to its size.• If the function decays at a rate proportional to its size.

・$b>1$ なら、この関数は自身の大きさに比例する割合で増える。・ なら、この関数は自身の大きさに比例する割合で減る。

Let’s look at the function $f(x)=2^x$ from our example. We will create a table (Table 2) to determine the corresponding outputs over an interval in the domain from $-3$ to $3.$

例に出た関数 $f(x)=2^x$ を見よう。定義域の $-3$ から $3.$ までの区間で、対応する出力を決めるために表(表2)を作る。

Let us examine the graph of $f$ by plotting the ordered pairs we observe on the table in Figure 1, and then make a few observations.

図1の表で見た順序対を打って $f$ のグラフを調べ、いくつか気づくことを挙げよう。

Let’s define the behavior of the graph of the exponential function $f(x)=2^x$ and highlight some its key characteristics.

指数関数 $f(x)=2^x$ のグラフの特徴を定め、その主だった特徴をいくつか挙げよう。

• the domain is $\left(-\infty ,\infty \right),$• the range is $\left(0,\infty \right),$• as $x\to \infty ,f(x)\to \infty ,$• as $x\to -\infty ,f(x)\to 0,$• $f(x)$ is always increasing,• the graph of $f(x)$ will never touch the x-axis because base two raised to any exponent never has the result of zero.• $y=0$ is the horizontal asymptote.• the y-intercept is 1.

・定義域は $\left(-\infty ,\infty \right)$ である。・値域は $\left(0,\infty \right)$ である。・$x\to \infty ,f(x)\to \infty$ となる。・$x\to -\infty ,f(x)\to 0$ となる。・$f(x)$ はつねに増加する。・底2をどんな指数で累乗しても結果が0になることは無いので、$f(x)$ のグラフが x軸に触れることは決して無い。・$y=0$ が水平漸近線である。・y切片は1である。